Homojen olmayan vektör uzayı - Prehomogeneous vector space

Matematikte bir homojen vektör uzayı (PVS) sonlu boyutlu vektör alanı V bir alt grupla birlikte G of genel doğrusal grup GL (V) öyle ki G açık yoğun yörünge içinde V. Prehomojen vektör uzayları, Mikio Sato 1970 yılında ve geometri, sayı teorisi ve analiz, Hem de temsil teorisi. İndirgenemez PVS, 1977'de Sato ve Tatsuo Kimura tarafından "rok atma" olarak bilinen bir dönüşüme kadar sınıflandırıldı. Yarı basit kısmının olup olmadığına göre iki türe ayrılırlar. G homojen davranır veya etmez. Olmazsa, üzerinde homojen bir polinom vardır V yarı basit kısmı altında değişmeyen G.

Ayar

Sato'nun ortamında, G bir cebirsel grup ve V rasyonel bir temsilidir G içinde (boş olmayan) bir açık yörüngeye sahip olan Zariski topolojisi. Bununla birlikte, PVS, Lie teorisi açısından da incelenebilir: örneğin, Knapp (2002), G karmaşık bir Lie grubudur ve V holomorfik bir temsilidir G açık yoğun bir yörünge ile. İki yaklaşım temelde aynıdır ve teorinin gerçek sayılar üzerinde geçerliliği vardır. Gösterimin basitliği için, eylemin G açık V bir sadık temsil. Daha sonra tanımlayabiliriz G GL'deki görüntüsü ile (V), pratikte bazen izin vermek uygun olsa da G olmak kaplama grubu.

Homojen olmayan vektör uzayları indirgenemezlerin doğrudan toplamlarına ayrışmasa da, indirgenemez PVS'yi incelemek doğaldır (yani, V indirgenemez bir temsilidir G). Bu durumda, bir teorem Élie Cartan gösterir ki

G ≤ GL (V)

bir indirgeyici grup, Birlikte merkez bu en fazla tek boyutludur. Bu, bariz boyutsal kısıtlamayla birlikte

sönük G ≥ sönük V,

Sato – Kimura sınıflandırmasındaki anahtar bileşendir.

Castling

PVS'nin sınıflandırılması aşağıdaki gerçekle karmaşıktır. Varsayalım m > n > 0 ve V bir mboyutsal gösterimi G F alanı üzerinde. Sonra:

${displaystyle (G imes SL (n), Oy zamanları matematikbb {F} ^ {n})}$ bir PVS'dir ancak ve ancak ${ekran stili (G imes SL (m-n), V ^ {*} zaman matematikselbb {F} ^ {m-n})}$ bir PVS'dir.

Bunun kanıtı, her iki koşulun da eyleminin açık ve yoğun bir yörüngesine eşdeğer olduğunu gözlemlemektir. G üzerinde Grassmanniyen nın-ninnuçaklar V, çünkü bu izomorfiktir Grassmanniyen nın-nin (m-n) uçaklar V^*.

(Bu durumda G indirgeyici, çift (G,V) çiftine eşdeğerdir (G, V^*) bir otomorfizm ile G.)

PVS'nin bu dönüşümü denir Castling. PVS verildiğinde V, gerilerek yeni bir PVS elde edilebilir V F ve rok ile. Bu işlemi tekrarlayarak ve tensör ürünlerini yeniden gruplandırarak, "döküm eşdeğeri" olduğu söylenen birçok yeni örnek elde edilebilir. Böylece PVS, rok eşdeğerlik sınıfları olarak gruplandırılabilir. Sato ve Kimura, bu tür her bir sınıfta, "indirgenmiş" olarak adlandırdıkları, asgari boyutlu bir PVS olduğunu ve indirgenemez PVS'yi sınıflandırdıklarını gösteriyor.

Sınıflandırma

İndirgenemez indirgenmiş PVS'nin sınıflandırılması (G,V) iki duruma ayrılır: G yarı basit ve tek boyutlu merkez ile indirgeyici olanlar. Eğer G yarı basittir, SL'nin bir alt grubudur (belki de bir kaplamasıdır) (V), ve dolayısıyla G× GL (1), V, tek boyutlu merkez ile. Tek boyutlu merkezle PVS'den bu tür önemsiz yarı basit PVS uzantılarını hariç tutuyoruz. Başka bir deyişle, G tek boyutlu merkeze sahipse, yarı basit kısmın değil homojen davranmak; bir göreceli değişmezyani yarı basit kısmı altında değişmeyen bir fonksiyon Gbelli bir dereceye kadar homojen olan d.

Bu, dikkati yarı basite sınırlamayı mümkün kılar. G ≤ SL (V) ve sınıflandırmayı aşağıdaki gibi bölün:

1. (G,V) bir PVS'dir;
2. (G,V) bir PVS değildir, ancak (G× GL (1),V) dır-dir.

Bununla birlikte, yalnızca GL (1) olan ürünlere değil, aynı zamanda SL'ye de izin verilirse, sınıflandırmanın çok daha kısa olduğu ortaya çıkmaktadır (n) ve GL (n). Bu, daha önce tartışılan rok dönüşümü açısından oldukça doğaldır. Bu nedenle, indirgenemez indirgenmiş PVS'yi yarı basit olarak sınıflandırmak istiyoruz. G ≤ SL (V) ve n ≥ 1 öyle ki:

1. ${displaystyle (G imes SL (n), Oy zamanları matematikbb {F} ^ {n})}$ bir PVS'dir;
2. ${displaystyle (G imes SL (n), Oy zamanları matematikbb {F} ^ {n})}$ bir PVS değil, ancak ${displaystyle (G imes GL (n), Oy zamanları matematikbb {F} ^ {n})}$ dır-dir.

İkinci durumda, bir homojen polinom ayıran G× GL (n) yörüngede G× SL (n) yörüngeler.

Bu, Grassmannian Gr açısından bir yoruma sahiptir._n(V) nın-nin nuçaklar V (en azından n ≤ sönük V). Her iki durumda da G Gr üzerinde etkilidir_n(V) yoğun bir açık yörünge ile U. İlk durumda, tamamlayıcı Gr_n(V)-U vardır eş boyut ≥ 2; ikinci durumda bu bir bölen bir dereceye kadar dve göreceli değişmez, homojen bir derece polinomudur nd.

Aşağıda, sınıflandırma listesi karmaşık sayılar üzerinden sunulacaktır.

Genel örnekler

G	V	Tür 1	Tip 2	Tip 2 izotropi grubu	Derece
${displaystyle Gsubseteq SL (m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$	n ≥ m+1	n = m	${displaystyle G}$	m
${displaystyle SL (m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$	m-1 ≥ n ≥ 1*
${displaystyle SL (m, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {m}}$	m garip n = 1,2	m hatta, n = 1	${displaystyle Sp (m, mathbb {C})}$	m/2
${displaystyle SL (m, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {2} mathbb {C} ^ {m}}$		n = 1	${displaystyle SO (m, mathbb {C})}$	m
${displaystyle SO (m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$		m-1 ≥ n ≥ 1*	${displaystyle SO (n, mathbb {C}) SO (m-n, mathbb {C})}$	2
${displaystyle Sp (2m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {2m}}$	2m-1 ≥ n ≥ 1*, n garip	2m-1 ≥ n ≥ 1*, n hatta	${displaystyle Sp (n, mathbb {C}) imes Sp (2m-n, mathbb {C})}$	1

^* Kesinlikle, sınırlamamız gerekir n ≤ (sönük V) / 2 küçültülmüş bir örnek elde etmek için.

Düzensiz örnekler

Tür 1

${displaystyle Spin (10, mathbb {C}) quad mathrm {on} quad mathbb {C} ^ {16}}$

Tip 2

${displaystyle Sp (2m, mathbb {C}) imes SO (3, mathbb {C}) quad mathrm {on} quad mathbb {C} ^ {2m} otimes mathbb {C} ^ {3}}$

Bu örneklerin ikisi de yalnızca PVS'dir. n=1.

Kalan örnekler

Kalan örneklerin tümü tip 2'dir. Ortaya çıkan sonlu grupları tartışmaktan kaçınmak için listeler, Lie cebiri izotropi grubunun kendisinden ziyade izotropi grubunun.

G	V	n	İzotropi cebiri	Derece
${displaystyle SL (2, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {3} mathbb {C} ^ {2}}$	1	0	4
${displaystyle SL (6, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {3} mathbb {C} ^ {6}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C}) imes {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C})}$	4
${displaystyle SL (7, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {3} mathbb {C} ^ {7}}$	1	${displaystyle {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}}}$	7
${displaystyle SL (8, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {3} mathbb {C} ^ {8}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C})}$	16
${displaystyle SL (3, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {2} mathbb {C} ^ {3}}$	2	0	6
${displaystyle SL (5, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {3}}$	3,4	${displaystyle {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}), 0}$	5,10
${displaystyle SL (6, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {3}}$	2	${displaystyle {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) imes {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) imes {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$	6
${displaystyle SL (3, mathbb {C}) imes SL (3, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {3} en çok matematik matematiksel {C} ^ {3}}$	2	${displaystyle {mathfrak {gl}} (1, mathbb {C}) imes {mathfrak {gl}} (1, mathbb {C})}$	6
${displaystyle Sp (6, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda _ {0} ^ {3} mathbb {C} ^ {6}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C})}$	4
${displaystyle Spin (7, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {8}}$	1,2,3	${displaystyle {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}}, {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C}) imes {mathfrak {so}} (2, mathbb {C}), {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) imes {mathfrak {so}} (3, mathbb {C})}$	2,2,2
${displaystyle Spin (9, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {16}}$	1	${displaystyle {mathfrak {spin}} (7, mathbb {C})}$	2
${displaystyle Spin (10, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {16}}$	2,3	${displaystyle {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}} imes {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}), {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) imes {mathfrak {so}} (3, mathbb {C})}$	2,4
${displaystyle Spin (11, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {32}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (5, mathbb {C})}$	4
${displaystyle Spin (12, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {32}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (6, mathbb {C})}$	4
${displaystyle Spin (14, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {64}}$	1	${displaystyle {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}} imes {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}}}$	8
${displaystyle G_ {2} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {7}}$	1,2	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C}), {mathfrak {gl}} (2, mathbb {C})}$	2,2
${displaystyle E_ {6} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {27}}$	1,2	${displaystyle {mathfrak {f}} _ {4} ^ {mathbb {C}}, {mathfrak {so}} (8, mathbb {C})}$	3,6
${displaystyle E_ {7} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {56}}$	1	${displaystyle {mathfrak {e}} _ {6} ^ {mathbb {C}}}$	4

Buraya ${displaystyle Lambda _ {0} ^ {3} mathbb {C} ^ {6} cong mathbb {C} ^ {14}}$ verilen semplektik formla daralması sıfır olan 3-formun uzayını belirtir.

Kanıtlar

Sato ve Kimura, bu sınıflandırmayı olası indirgenemez prehomojenlerin bir listesini oluşturarak oluşturur (G,V), gerçeğini kullanarak G indirgeyici ve boyutsal kısıtlamadır. Daha sonra bu listenin her bir üyesinin homojen olup olmadığını kontrol ederler.

Bununla birlikte, çiftlerin çoğunun neden genel bir açıklaması var (G,V) sınıflandırmada, izotropi temsilleri açısından prehomojendir. genelleştirilmiş bayrak çeşitleri. Nitekim 1974'te, Richardson eğer H yarı basit bir Lie grubudur parabolik alt grup P, sonra eylemi P üzerinde radikal olmayan ${displaystyle {mathfrak {p}} ^ {perp}}$ Lie cebirinin yoğun bir açık yörüngesi vardır. Bu özellikle gösterir (ve bağımsız olarak not edilmiştir. Vinberg 1975'te) Levi faktörü G nın-nin P üzerinde homojen davranır ${displaystyle V: = {mathfrak {p}} ^ {perp} / [{mathfrak {p}} ^ {perp}, {mathfrak {p}} ^ {perp}]}$. Sınıflandırmadaki hemen hemen tüm örnekler bu yapının uygulanmasıyla elde edilebilir. P basit bir Lie grubunun maksimal parabolik bir alt grubu H: bunlar bağlı olarak sınıflandırılır Dynkin diyagramları bir seçkin düğüm ile.

Başvurular

PVS'nin ilginç olmasının bir nedeni de, içinde ortaya çıkan genel nesneleri sınıflandırmalarıdır. G-değişmeyen durumlar. Örneğin, eğer G= GL (7), daha sonra yukarıdaki tablolar eylemi altında genel 3-form olduğunu gösterir Gve böyle bir 3-formun stabilizatörü, istisnai Lie grubu G'ye göre izomorfiktir.₂.

Başka bir örnek, kübik göreceli değişmez olan homojen olmayan vektör uzaylarıyla ilgilidir. Sato-Kimura sınıflandırmasına göre, esasen bu tür dört örnek vardır ve bunların tümü, aşağıdakilerin karmaşıklaştırılmış izotropi temsillerinden gelir. münzevi simetrik uzaylar daha büyük bir grup için H (yani G bir noktanın dengeleyicisinin yarı basit kısmı ve V karşılık gelen teğet temsil).

Her durumda genel bir nokta V onu bir karmaşıklaşması ile tanımlar Jordan cebiri 3 x 3 hermityan matrisin ( bölme cebirleri R, C, H ve Ö sırasıyla) ve kübik göreceli değişmez, uygun bir determinant ile tanımlanır. Böyle genel bir noktanın izotropi cebiri, Lie cebiri G ve Lie cebiri H ilk üç sıranın karmaşıklığını ver Freudenthal sihirli kare.

H	G	V	İzotropi cebiri	Jordan cebiri
${displaystyle mathrm {Sp} (6, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (3, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {2} mathbb {C} ^ {3}}$	${displaystyle {mathfrak {so}} (3, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {3} (mathbb {R})}$
${displaystyle mathrm {SL} (6, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (3, mathbb {C}) imes SL (3, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {3} en çok matematik matematiksel {C} ^ {3}}$	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {3} (mathbb {C})}$
${displaystyle mathrm {SO} (12, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (6, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {6}}$	${displaystyle {mathfrak {sp}} (6, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {3} (mathbb {H})}$
${displaystyle E_ {7} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle E_ {6} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {27}}$	${displaystyle {mathfrak {f}} _ {4} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle J_ {3} (mathbb {O})}$

Diğer Hermit simetrik uzaylar, jenerik noktaları Jordan cebirlerini benzer bir şekilde tanımlayan homojen olmayan vektör uzayları verir.

H	G	V	İzotropi cebiri	Jordan cebiri
${displaystyle mathrm {Sp} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {2} mathbb {C} ^ {n}}$	${displaystyle {mathfrak {so}} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {n} (mathbb {R})}$
${displaystyle mathrm {SL} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (n, mathbb {C}) imes mathrm {SL} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {n} zamanın matematikselliği {C} ^ {n}}$	${displaystyle {mathfrak {sl}} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {n} (mathbb {C})}$
${displaystyle mathrm {SO} (4n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {2n}}$	${displaystyle {mathfrak {sp}} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {n} (mathbb {H})}$
${displaystyle mathrm {SO} (m + 2, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SO} (m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$	${displaystyle {mathfrak {so}} (m-1, mathbb {C})}$	${displaystyle J (m-1)}$

Jordan cebiri J(mSon satırdaki −1) spin faktörüdür (vektör uzayıdır) R^m−1 ⊕ R, iç çarpım kullanılarak tanımlanan bir Jordan cebir yapısı ile R^m−1). Azalır ${displaystyle J_ {2} (mathbb {R}), J_ {2} (mathbb {C}), J_ {2} (mathbb {H}), J_ {2} (mathbb {O})}$ için m= Sırasıyla 3, 4, 6 ve 10.

Hermit simetrik uzaylar ile Jordan cebirleri arasındaki ilişki aşağıdaki şekilde açıklanabilir: Ürdün üçlü sistemler.

Referanslar

• Kimura, Tatsuo (2003), Homojen olmayan vektör uzaylarına giriş, Mathematical Monographs'ın Çevirileri, 215Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, ISBN  978-0-8218-2767-3, BAY  1944442
• Knapp, Anthony (2002), Girişin Ötesinde Yalan Grupları, Matematikte İlerleme, 140 (2. baskı), Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN  0-8176-4259-5, BAY  1920389 Bölüm X'e bakın.
• Sato, Mikio; Kimura, Tatsuo (1977), "İndirgenemez homojen olmayan vektör uzayları ve göreli değişmezlerinin bir sınıflandırması", Nagoya Matematiksel Dergisi, 65: 1–155, doi:10.1017 / s0027763000017633, BAY  0430336
• Richardson, Roger Wolcott, Jr. (1974), "Yarı Basit Cebirsel Grupların Parabolik Alt Gruplarında Eşleşme Sınıfları", Boğa. London Math. Soc., 6: 21–24, doi:10.1112 / blms / 6.1.21, BAY  0330311
• Sato, Mikio (1990), "Homojen olmayan vektör uzayları teorisi (cebirsel kısım) - Shintani'nin notundan Sato'nun dersinin İngilizce çevirisi", Nagoya Matematiksel Dergisi, 120: 1–34, doi:10.1017 / S0027763000003214, ISSN  0027-7630, BAY  1086566
• Sato, Mikio; Shintani, Takuro (1972), "Homojen olmayan vektör uzaylarıyla ilişkili zeta fonksiyonları üzerine", Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi Bildirileri, 69: 1081–1082, doi:10.1073 / pnas.69.5.1081, ISSN  0027-8424, JSTOR  61638, BAY  0296079, PMC  426633, PMID  16591979
• Sato, Mikio; Shintani, Takuro (1974), "Homojen olmayan vektör uzaylarıyla ilişkili zeta fonksiyonları üzerine", Matematik Yıllıkları İkinci Seri, 100: 131–170, doi:10.2307/1970844, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970844, BAY  0344230
• Vinberg, Ernest (1975), "Dereceli Lie cebirlerinin üstelsıfır elemanlarının sınıflandırılması", Sovyet Matematik. Dokl., 16 (6): 1517–1520, BAY  0506488