Projeksiyon yöntemi (akışkanlar dinamiği) - Projection method (fluid dynamics)

projeksiyon yöntemi etkili bir araçtır sayısal olarak zamana bağlı çözme sıkıştırılamaz sıvı akışı sorunlar. Başlangıçta tarafından tanıtıldı Alexandre Chorin 1967'de^[1]^[2]sıkıştırılamaz olanı çözmenin etkili bir yolu olarak Navier-Stokes denklemleri. Projeksiyon yönteminin temel avantajı, hız ve basınç alanlarının hesaplamalarının ayrıştırılmış olmasıdır.

Algoritma

Projeksiyon yönteminin algoritması, Helmholtz ayrışımı (bazen Helmholtz-Hodge ayrıştırması olarak adlandırılır) herhangi bir vektör alanının bir solenoid bölüm ve bir dönüşsüz Bölüm. Tipik olarak, algoritma iki aşamadan oluşur. İlk aşamada, sıkıştırılamazlık sınırlamasını karşılamayan bir ara hız, her zaman adımında hesaplanır. İkincisinde basınç, bir sonraki hız ve basınç güncellemesini elde etmek için ara hızı sapmasız hız alanı boşluğuna yansıtmak için kullanılır.

Helmholtz-Hodge ayrışımı

İzdüşüm tipi yönteminin teorik arka planı, ayrıştırma teoremidir. Ladyzhenskaya bazen Helmholtz-Hodge Ayrışımı veya basitçe Hodge ayrıştırması olarak anılır. Vektör alanının ${displaystyle mathbf {u}}$ üzerinde tanımlanmış basitçe bağlı etki alanı benzersiz bir şekilde ayrışmasız bir şekilde ayrıştırılabilir (solenoid ) Bölüm ${displaystyle mathbf {u} _ {ext {sol}}}$ ve bir dönüşsüz Bölüm ${displaystyle mathbf {u} _ {ext {irrot}}}$ ..^[3]

Böylece,

{displaystyle mathbf {u} = mathbf {u} _ {ext {sol}} + mathbf {u} _ {ext {irrot}} = mathbf {u} _ {ext {sol}} + abla phi}

dan beri ${displaystyle abla imes abla phi = 0}$ bazı skaler işlevler için ${displaystyle, phi}$ . Denklem getirilerinin farkını almak

{displaystyle abla cdot mathbf {u} = abla ^ {2} phi qquad ({ext {beri,}}; abla cdot mathbf {u} _ {ext {sol}} = 0)}

Bu bir Poisson denklemi skaler fonksiyon için ${displaystyle, phi}$ . Vektör alanı ${displaystyle mathbf {u}}$ bilinmektedir, yukarıdaki denklem skaler fonksiyon için çözülebilir ${displaystyle, phi}$ ve sapmasız kısmı ${displaystyle mathbf {u}}$ ilişki kullanılarak çıkarılabilir

{displaystyle mathbf {u} _ {ext {sol}} = mathbf {u} -abla phi}

Bu, sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemlerini çözmek için solenoidal projeksiyon yönteminin özüdür.

Chorin'in projeksiyon yöntemi

Sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemi (momentum denkleminin diferansiyel formu) şu şekilde yazılabilir:

{displaystyle {frac {kısmi mathbf {u}} {kısmi t}} + (mathbf {u} cdot abla) mathbf {u} = - {frac {1} {ho}} abla p + u abla ^ {2} mathbf {u}}

İçinde Chorin projeksiyon yönteminin orijinal versiyonu, ilk olarak bir ara hız hesaplanır, ${displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ , basınç gradyanı terimini göz ardı ederek momentum denklemini açıkça kullanarak:

{displaystyle quad (1) qquad {frac {mathbf {u} ^ {*} - mathbf {u} ^ {n}} {Delta t}} = - (mathbf {u} ^ {n} cdot abla) mathbf {u } ^ {n} + u abla ^ {2} mathbf {u} ^ {n}}

nerede ${displaystyle mathbf {u} ^ {n}}$ hızdır ${görüntü stili, n}$ ^inci zaman adımı. Algoritmanın ikinci yarısında, projeksiyon adım, zaman adımının nihai çözümünü elde etmek için ara hızı düzeltiriz ${displaystyle mathbf {u} ^ {n + 1}}$ :

{displaystyle quad (2) qquad mathbf {u} ^ {n + 1} = mathbf {u} ^ {*} - {frac {Delta t} {ho}}, abla p ^ {n + 1}}

Bu denklemi bir zaman adımı şeklinde yeniden yazabiliriz.

{displaystyle {frac {mathbf {u} ^ {n + 1} -mathbf {u} ^ {*}} {Delta t}} = - {frac {1} {ho}}, abla p ^ {n + 1} }

algoritmanın gerçekten sadece bir operatör bölme viskoz kuvvetleri (ilk yarım adımda) ve basınç kuvvetlerini (ikinci yarım adımda) ayrı ayrı ele alan yaklaşım.

İkinci yarım adımın sağ tarafını hesaplamak, basınç bilgisi gerektirir, ${görüntü stili, p}$ , şurada ${displaystyle, (n + 1)}$ zaman seviyesi. Bu, alınarak elde edilir. uyuşmazlık ve bunu gerektiriyor ${displaystyle abla cdot mathbf {u} ^ {n + 1} = 0}$ , diverjans (süreklilik) koşuludur, dolayısıyla aşağıdaki Poisson denklemi türetilir. ${görüntü stili, p ^ {n + 1}}$ ,

{displaystyle abla ^ {2} p ^ {n + 1} = {frac {ho} {Delta t}}, abla cdot mathbf {u} ^ {*}}

Denklemin şu şekilde yazıldığını not etmek öğreticidir:

{displaystyle mathbf {u} ^ {*} = mathbf {u} ^ {n + 1} + {frac {Delta t} {ho}}, abla p ^ {n + 1}}

sınır koşulu ise standart Hodge ayrışmasıdır ${görüntü stili, p}$ etki alanı sınırında, ${displaystyle kısmi Omega}$ vardır ${displaystyle abla p ^ {n + 1} cdot mathbf {n} = 0}$ . Uygulamada, gerçek basınç (yani, Navier-Stokes denklemlerinin tam çözümündeki basınç) bu tür sınır koşullarını karşılamadığından, bu yöntem alanın sınırına yakın bir yerde gösterdiği hatalardan bu koşul sorumludur.

Açık yöntem için, sınır koşulu ${displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ denklemde (1) doğaldır. Eğer ${displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {n} = 0}$ açık ${displaystyle kısmi Omega}$ , öngörüldüğünde, diverjans içermeyen vektör alanlarının uzayı, dönmesiz vektör alanlarının uzayına ortogonal olacaktır ve denklem (2) 'den biri

{displaystyle {frac {kısmi p ^ {n + 1}} {kısmi n}} = 0qquad {ext {on}} dörtlü kısmi Omega}

Sınır koşulunun açık bir şekilde ele alınması, bir kademeli ızgara ve bunu gerektiriyor ${displaystyle abla cdot mathbf {u} ^ {n + 1}}$ sınırlara bitişik basınç düğümlerinde kaybolur.

Chorin'in projeksiyon yönteminin ayırt edici bir özelliği, hız alanının her zaman adımının sonunda ayrı bir süreklilik kısıtlamasını karşılamaya zorlanmasıdır.

Genel yöntem

Tipik olarak projeksiyon yöntemi, her sayısal zaman adımı için birden fazla hesaplama adımı kullanan bir yöntem olan iki aşamalı bir kesirli adım şeması olarak çalışır. Birçok projeksiyon algoritmasında adımlar şu şekilde bölünmüştür:

İlk olarak, sistem zaman içinde bir orta-zaman adımı konumuna ilerletilir ve uygun bir yönlendirme yöntemi kullanılarak yukarıdaki taşıma denklemlerini kütle ve momentum için çözer. Bu, tahminci adım.
Bu noktada, orta-zaman adımlı hız alanı sapmasız olarak uygulanacak şekilde bir ilk projeksiyon uygulanabilir.
düzeltici algoritmanın bir kısmı daha sonra ilerler. Bunlar, son zaman adımı durumunu oluşturmak için hız, yoğunluk vb.'nin zaman merkezli tahminlerini kullanır.
Daha sonra, hız alanında ıraksama sınırlamasını uygulamak için son bir projeksiyon uygulanır. Sistem artık tamamen yeni zamana güncellendi.

Referanslar

^ Chorin, A.J. (1967), "Sıkıştırılamaz bir akışkan için Navier-Stokes denklemlerinin sayısal çözümü" (PDF), Boğa. Am. Matematik. Soc., 73: 928–931
^ Chorin, A. J. (1968), "Navier-Stokes Denklemlerinin Sayısal Çözümü", Matematik. Comp., 22: 745–762, doi:10.1090 / s0025-5718-1968-0242392-2
^ Chorin, A. J .; J. E. Marsden (1993). Akışkanlar Mekaniğine Matematiksel Bir Giriş (3. baskı). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97918-2.

[1] Chorin, A.J. (1967), "Sıkıştırılamaz bir akışkan için Navier-Stokes denklemlerinin sayısal çözümü" (PDF), Boğa. Am. Matematik. Soc., 73: 928–931

[2] Chorin, A. J. (1968), "Navier-Stokes Denklemlerinin Sayısal Çözümü", Matematik. Comp., 22: 745–762, doi:10.1090 / s0025-5718-1968-0242392-2

[3] Chorin, A. J .; J. E. Marsden (1993). Akışkanlar Mekaniğine Matematiksel Bir Giriş (3. baskı). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97918-2.

[1]

[2]

[3]