Yarı analitik fonksiyon - Quasi-analytic function

İçinde matematik, bir yarı analitik sınıfı fonksiyonlar gerçek sınıfının bir genellemesidir analitik fonksiyonlar aşağıdaki gerçeğe dayanarak: f bir aralıktaki analitik bir fonksiyondur [a,b] ⊂ Rve bir noktada f ve tüm türevleri sıfırdır, o zaman f tüm [a,b]. Yarı analitik sınıflar, bu ifadenin hala geçerli olduğu daha geniş işlev sınıflarıdır.

Tanımlar

İzin Vermek ${ displaystyle M = {M_ {k} } _ {k = 0} ^ { infty}}$ pozitif gerçek sayılar dizisi olabilir. Ardından Denjoy-Carleman sınıfı işlevler C^M([a,b]) bunlar olarak tanımlanır f ∈ C^∞([a,b]) tatmin eden

${ displaystyle sol | { frac {d ^ {k} f} {dx ^ {k}}} (x) sağ | leq A ^ {k + 1} k! M_ {k}}$

hepsi için x ∈ [a,b], biraz sabit Birve tüm negatif olmayan tam sayılar k. Eğer M_k = 1 bu tam olarak gerçek sınıftır analitik fonksiyonlar üzerinde [a,b].

Sınıf C^M([a,b]) olduğu söyleniyor yarı analitik ne zaman olursa olsun f ∈ C^M([a,b]) ve

${ displaystyle { frac {d ^ {k} f} {dx ^ {k}}} (x) = 0}$

bir noktaya kadar x ∈ [a,b] ve tüm k, sonra f aynı şekilde sıfıra eşittir.

Bir işlev f denir yarı analitik fonksiyon Eğer f yarı analitik bir sınıftadır.

Çeşitli değişkenlerin yarı analitik fonksiyonları

Bir işlev için ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} - mathbb {R}}$ ve çoklu dizinler ${ displaystyle j = (j_ {1}, j_ {2}, ldots, j_ {n}) in mathbb {N} ^ {n}}$, belirtmek ${ displaystyle | j | = j_ {1} + j_ {2} + ldots + j_ {n}}$, ve

${ displaystyle D ^ {j} = { frac { kısmi ^ {j}} { kısmi x_ {1} ^ {j_ {1}} kısmi x_ {2} ^ {j_ {2}} ldots kısmi x_ {n} ^ {j_ {n}}}}}$

${ displaystyle j! = j_ {1}! j_ {2}! ldots j_ {n}!}$

ve

${ displaystyle x ^ {j} = x_ {1} ^ {j_ {1}} x_ {2} ^ {j_ {2}} ldots x_ {n} ^ {j_ {n}}.}$

Sonra ${ displaystyle f}$ açık küme üzerinde yarı analitik olarak adlandırılır ${ displaystyle U altküme mathbb {R} ^ {n}}$ her kompakt için ${ displaystyle K alt kümesi U}$ sabit var ${ displaystyle A}$ öyle ki

${ displaystyle sol | D ^ {j} f (x) sağ | leq A ^ {| j | +1} j! M_ {| j |}}$

tüm çoklu dizinler için ${ displaystyle j in mathbb {N} ^ {n}}$ ve tüm noktalar ${ displaystyle x K dilinde}$.

Denjoy-Carleman sınıfının işlevleri ${ displaystyle n}$ diziye göre değişkenler ${ displaystyle M}$ sette ${ displaystyle U}$ gösterilebilir ${ displaystyle C_ {n} ^ {M} (U)}$diğer gösterimler bol olmasına rağmen.

Denjoy-Carleman sınıfı ${ displaystyle C_ {n} ^ {M} (U)}$ Bir noktada tüm kısmi türevleri sıfıra eşit olan tek işlev, sıfıra eşit olarak eşit olduğunda, yarı analitik olduğu söylenir.

Yarı analitik bir Denjoy-Carleman sınıfına ait olduğunda, birkaç değişkenli bir fonksiyonun yarı analitik olduğu söylenir.

Logaritmik dışbükey dizilere göre yarı analitik sınıflar

Yukarıdaki tanımlarda şunu varsaymak mümkündür: ${ displaystyle M_ {1} = 1}$ ve bu dizi ${ displaystyle M_ {k}}$ azalmaz.

Sekans ${ displaystyle M_ {k}}$ olduğu söyleniyor logaritmik olarak dışbükey, Eğer

${ displaystyle M_ {k + 1} / M_ {k}}$ artıyor.

Ne zaman ${ displaystyle M_ {k}}$ logaritmik olarak dışbükeydir, bu durumda ${ displaystyle (M_ {k}) ^ {1 / k}}$ artıyor ve

${ displaystyle M_ {r} M_ {s} leq M_ {r + s}}$ hepsi için ${ displaystyle (r, s) in mathbb {N} ^ {2}}$.

Yarı analitik sınıf ${ displaystyle C_ {n} ^ {M}}$ logaritmik olarak dışbükey bir diziye göre ${ displaystyle M}$ tatmin eder:

• ${ displaystyle C_ {n} ^ {M}}$ bir yüzük. Özellikle çarpma altında kapalıdır.
• ${ displaystyle C_ {n} ^ {M}}$ kompozisyon altında kapalıdır. Özellikle, eğer ${ displaystyle f = (f_ {1}, f_ {2}, ldots f_ {p}) içinde (C_ {n} ^ {M}) ^ {p}}$ ve $C_ {p} ^ {M}} içinde { displaystyle g$, sonra $C_ {n} ^ {M}} içinde { displaystyle g circ f$.

Denjoy-Carleman teoremi

Denjoy-Carleman teoremi, Carleman (1926) sonra Denjoy (1921) bazı kısmi sonuçlar verdi, sırayla ilgili kriterler verdi M hangi altında C^M([a,b]) yarı analitik bir sınıftır. Aşağıdaki koşulların eşdeğer olduğunu belirtir:

• C^M([a,b]) yarı analitiktir.
• ${ displaystyle toplamı 1 / L_ {j} = infty}$ nerede ${ displaystyle L_ {j} = inf _ {k geq j} (k cdot M_ {k} ^ {1 / k})}$.
• ${ displaystyle toplam _ {j} { frac {1} {j}} (M_ {j} ^ {*}) ^ {- 1 / j} = infty}$, nerede M_j^* yukarıda belirtilen en büyük dışbükey log dizisidir M_j.
• ${ displaystyle toplam _ {j} { frac {M_ {j-1} ^ {*}} {(j + 1) M_ {j} ^ {*}}} = infty.}$

Son iki koşulun ikinci kullanımlara eşdeğer olduğunun kanıtı Carleman eşitsizliği.

Misal: Denjoy (1921) işaret etti ki M_n dizilerden biri tarafından verilir

${ displaystyle 1, , {( ln n)} ^ {n}, , {( ln n)} ^ {n} , {( ln ln n)} ^ {n}, , {( ln n)} ^ {n} , {( ln ln n)} ^ {n} , {( ln ln ln n)} ^ {n}, noktalar,}$

o zaman karşılık gelen sınıf yarı analitiktir. İlk sıra analitik fonksiyonlar verir.

Ek özellikler

Logaritmik olarak dışbükey bir dizi için ${ displaystyle M}$ Karşılık gelen işlev sınıfının aşağıdaki özellikleri tutulur:

• ${ displaystyle C ^ {M}}$ analitik fonksiyonları içerir ve buna eşittir ancak ve ancak ${ displaystyle sup _ {j geq 1} (M_ {j}) ^ {1 / j} < infty}$
• Eğer ${ displaystyle N}$ başka bir logaritmik dışbükey dizidir. ${ displaystyle M_ {j} leq C ^ {j} N_ {j}}$ bazı sabitler için ${ displaystyle C}$, sonra ${ displaystyle C ^ {M} alt küme C ^ {N}}$.
• ${ displaystyle C ^ {M}}$ farklılaşma altında kararlıdır ancak ve ancak ${ displaystyle sup _ {j geq 1} (M_ {j + 1} / M_ {j}) ^ {1 / j} < infty}$.
• Sonsuz türevlenebilir herhangi bir işlev için ${ displaystyle f}$ yarı analitik halkalar var ${ displaystyle C ^ {M}}$ ve ${ displaystyle C ^ {N}}$ ve elementler ${ displaystyle g in C ^ {M}}$, ve ${ displaystyle h in C ^ {N}}$, öyle ki ${ displaystyle f = g + h}$.

Weierstrass bölümü

Bir işlev ${ displaystyle g: mathbb {R} ^ {n} - mathbb {R}}$ olduğu söyleniyor düzenli ${ displaystyle d}$ göre ${ displaystyle x_ {n}}$ Eğer ${ displaystyle g (0, x_ {n}) = h (x_ {n}) x_ {n} ^ {d}}$ ve ${ displaystyle h (0) neq 0}$. Verilen ${ displaystyle g}$ düzenli ${ displaystyle d}$ göre ${ displaystyle x_ {n}}$, bir yüzük ${ displaystyle A_ {n}}$ gerçek veya karmaşık işlevlerin ${ displaystyle n}$ değişkenlerin Weierstrass bölümü ${ displaystyle g}$ her biri için ${ displaystyle f in A_ {n}}$ var ${ displaystyle q A'da}$, ve ${ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, ldots, h_ {d-1} A_ {n-1}} içinde$ öyle ki

${ displaystyle f = gq + h}$ ile ${ displaystyle h (x ', x_ {n}) = toplamı _ {j = 0} ^ {d-1} h_ {j} (x') x_ {n} ^ {j}}$.

Hem analitik fonksiyonlar halkası hem de biçimsel güç serileri halkası Weierstrass bölme özelliğini tatmin ederken, aynı şey diğer yarı analitik sınıflar için geçerli değildir.

Eğer ${ displaystyle M}$ logaritmik olarak dışbükeydir ve ${ displaystyle C ^ {M}}$ analitik fonksiyon sınıfına eşit değildir, o zaman ${ displaystyle C ^ {M}}$ Weierstrass division özelliğini karşılamıyor ${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = x_ {1} + x_ {2} ^ {2}}$.

Referanslar

• Carleman, T. (1926), Les fonctions yarı analitik, Gauthier-Villars
• Cohen, Paul J. (1968), "Denjoy-Carleman teoreminin basit bir kanıtı", American Mathematical Monthly, Amerika Matematik Derneği, 75 (1): 26–31, doi:10.2307/2315100, ISSN  0002-9890, JSTOR  2315100, BAY  0225957
• Denjoy, A. (1921), "Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle", C. R. Acad. Sci. Paris, 173: 1329–1331
• Hörmander, Lars (1990), Doğrusal Kısmi Diferansiyel Operatörlerin Analizi I, Springer-Verlag, ISBN  3-540-00662-1
• Leont'ev, A.F. (2001) [1994], "Yarı analitik sınıf", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Carleman teoremi", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın