Gerçek öğe - Real element

Bu makale bir yetim, başka hiçbir makale olmadığı gibi ona bağlantı. Lütfen bağlantıları tanıtmak dan bu sayfaya İlgili Makaleler; dene Bağlantı bul aracı öneriler için. (Mayıs 2016)

İçinde grup teorisi, modern cebir içinde bir disiplin, bir unsur ${ displaystyle x}$ bir grup ${ displaystyle G}$ denir gerçek öğe nın-nin ${ displaystyle G}$ aynısına aitse eşlenik sınıfı onun gibi ters ${ displaystyle x ^ {- 1}}$yani eğer varsa ${ displaystyle g}$ içinde ${ displaystyle G}$ ile ${ displaystyle x ^ {g} = x ^ {- 1}}$, nerede ${ displaystyle x ^ {g}}$ olarak tanımlanır ${ displaystyle g ^ {- 1} cdot x cdot g}$.^[1] Bir element ${ displaystyle x}$ bir grubun ${ displaystyle G}$ denir kesinlikle gerçek eğer varsa evrim ${ displaystyle t}$ ile ${ displaystyle x ^ {t} = x ^ {- 1}}$.^[2]

Bir element ${ displaystyle x}$ bir grubun ${ displaystyle G}$ gerçektir ancak ve ancak herkes için temsiller ${ displaystyle rho}$ nın-nin ${ displaystyle G}$, iz ${ displaystyle mathrm {Tr} ( rho (g))}$ karşılık gelen matrisin bir gerçek Numara. Başka bir deyişle, bir öğe ${ displaystyle x}$ bir grubun ${ displaystyle G}$ gerçektir ancak ve ancak ${ displaystyle chi (x)}$ herkes için gerçek bir sayıdır karakterler ${ displaystyle chi}$ nın-nin ${ displaystyle G}$.^[3]

Her elementin gerçek olduğu bir gruba kararsız grup. Her kararsız grubun gerçek bir karakter tablosu. simetrik grup ${ displaystyle S_ {n}}$ herhangi bir derecede ${ displaystyle n}$ kararsızdır.

Özellikleri

Kimlik unsuru dışında gerçek unsurlara sahip bir grup, zorunlu olarak eşittir. sipariş.^[3]

Gerçek bir unsur için ${ displaystyle x}$ bir grubun ${ displaystyle G}$, grup elemanlarının sayısı ${ displaystyle g}$ ile ${ displaystyle x ^ {g} = x ^ {- 1}}$ eşittir ${ displaystyle sol | C_ {G} (x) sağ |}$,^[1] nerede ${ displaystyle C_ {G} (x)}$ ... merkezleyici nın-nin ${ displaystyle x}$,

${ displaystyle mathrm {C} _ {G} (x) = {g G ortada x ^ {g} = x }}$.

Her evrim son derece gerçektir. Dahası, iki katılımın ürünü olan her unsur son derece gerçektir. Tersine, son derece gerçek olan her öğe, iki katılımın ürünüdür.

Eğer ${ displaystyle x neq e}$ ve ${ displaystyle x}$ gerçek ${ displaystyle G}$ ve ${ displaystyle sol | C_ {G} (x) sağ |}$ tuhaf, öyleyse ${ displaystyle x}$ kesinlikle gerçektir ${ displaystyle G}$.

Genişletilmiş merkezleyici

genişletilmiş merkezleyici bir elementin ${ displaystyle x}$ bir grubun ${ displaystyle G}$ olarak tanımlanır

${ displaystyle mathrm {C} _ {G} ^ {*} (x) = {g in G mid x ^ {g} = x lor x ^ {g} = x ^ {- 1} },}$

bir elemanın genişletilmiş merkezleyicisini yapmak ${ displaystyle x}$ eşit normalleştirici setin ${ displaystyle sol {x, x ^ {- 1} sağ }}$.^[4]

Bir grubun bir elemanının genişletilmiş merkezileştiricisi ${ displaystyle G}$ her zaman bir alt grubudur ${ displaystyle G}$. Katılımlar veya gerçek olmayan öğeler için, merkezleyici ve genişletilmiş merkezleyici eşittir.^[1] Gerçek bir unsur için ${ displaystyle x}$ bir grubun ${ displaystyle G}$ bu bir çözüm değil

${ displaystyle sol | mathrm {C} _ {G} ^ {*} (x): mathrm {C} _ {G} (x) sağ | = 2.}$

Ayrıca bakınız

• Brauer-Fowler teoremi

Notlar

Referanslar

• Gorenstein, Daniel (2007) [1980'de yayınlanan bir çalışmanın yeniden basımı]. Sonlu Gruplar. AMS Chelsea Yayınları. ISBN  978-0821843420.
• Isaacs, I. Martin (1994) [ilk olarak Academic Press, New York tarafından 1976'da yayınlanan çalışmanın kısaltılmamış, düzeltilmiş yeniden yayımlanması]. Sonlu Grupların Karakter Teorisi. Dover Yayınları. ISBN  978-0486680149.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)
• Rose, John S. (2012) [ilk olarak Cambridge University Press, Cambridge, İngiltere tarafından 1978'de yayınlanan bir çalışmanın kısaltılmamış ve değiştirilmemiş yeniden yayınlanması]. Grup Teorisi Kursu. Dover Yayınları. ISBN  0-486-68194-7.CS1 bakimi: ref = harv (bağlantı)