Karşılıklılık hukuku - Reciprocity law

Bu makale genel bir liste içerir Referanslar, ancak büyük ölçüde doğrulanmamış kalır çünkü yeterli karşılık gelmiyor satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (Ocak 2019) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Matematikte bir karşılıklılık yasası bir genellemedir ikinci dereceden karşılıklılık yasası.

Karşılıklılık yasalarını ifade etmenin birkaç farklı yolu vardır. 19. yüzyılda bulunan erken mütekabiliyet yasaları genellikle bir güç kalıntısı sembolü (p/q) genellemek ikinci dereceden karşılıklılık sembolü, ne zaman bir asal sayı bir ngüç kalıntısı modulo başka bir asal ve arasında bir ilişki verdi (p/q) ve (q/p). Hilbert karşılıklılık yasalarını bir ürünün bittiğini söyleyerek yeniden formüle etti p Hilbert'in norm kalıntı sembolleri (a,b/p), birliğin köklerinden değer almak, 1'e eşittir. Artin Karşılıklılık yasalarını, Artin sembolünün ideallerden (veya idellerden) bir Galois grubu belirli bir alt grupta önemsizdir. Daha yeni birkaç genelleme, grupların kohomolojisini veya adelik grupların veya cebirsel K-gruplarının temsillerini kullanarak karşılıklılık yasalarını ifade eder ve bunların orijinal ikinci dereceden karşılıklılık yasasıyla ilişkisini görmek zor olabilir.

İkinci dereceden karşılıklılık

Açısından Legendre sembolü, pozitif garip asal durumları için ikinci dereceden karşılıklılık yasası

${ displaystyle sol ({ frac {p} {q}} sağ) sol ({ frac {q} {p}} sağ) = (- 1) ^ {{ frac {p-1} {2}} { frac {q-1} {2}}}.}$

Kübik karşılıklılık

İçin kübik karşılıklılık yasası Eisenstein tamsayıları α ve β birincil ise (2 mod 3 ile uyumlu asallar) o zaman

${ displaystyle { Bigg (} { frac { alpha} { beta}} { Bigg)} _ {3} = { Bigg (} { frac { beta} { alpha}} { Bigg )} _ {3}.}$

Kuartik karşılıklılık

Kuartik kalıntı sembolü açısından, dörtlü karşılıklılık yasası Gauss tamsayıları π ve θ birincil ise (1 mod ile uyumlu (1+ben)³) Gauss asalları o zaman

${ displaystyle { Bigg [} { frac { pi} { theta}} { Bigg]} sol [{ frac { theta} { pi}} sağ] ^ {- 1} = ( -1) ^ {{ frac {N pi -1} {4}} { frac {N theta -1} {4}}}.}$

Octic karşılıklılık

Eisenstein karşılıklılık

Diyelim ki ζ bir ${ displaystyle l}$Bazı tuhaf asallar için birlik kökü ${ displaystyle l}$. Güç karakteri, ζ'nin gücüdür, öyle ki

${ displaystyle sol ({ frac { alpha} { mathfrak {p}}} sağ) _ {l} equiv alpha ^ { frac {N ({ mathfrak {p}}) - 1} {l}} { pmod { mathfrak {p}}}}$

herhangi bir asal ideal için ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ nın-nin Z[ζ]. Çok yönlülük ile diğer ideallere genişletilir. Eisenstein karşılıklılık yasası şunu belirtir:

${ displaystyle sol ({ frac {a} { alpha}} sağ) _ {l} = sol ({ frac { alpha} {a}} sağ) _ {l}}$

için a herhangi bir rasyonel tamsayı coprime ${ displaystyle l}$ ve α'nın herhangi bir öğesi Z[ζ] a ve ${ displaystyle l}$ ve rasyonel bir tam sayı modulo (1 – ζ) ile uyumlu².

Kummer karşılıklılık

Diyelim ki ζ bir lBazı tuhaflar için birliğin kökü normal asal l. Dan beri l düzenlidir, {} sembolünü ideallere benzersiz bir şekilde genişletebiliriz öyle ki

${ displaystyle sol {{ frac {p} {q}} sağ } ^ {n} = sol {{ frac {p ^ {n}} {q}} sağ }}$ nerede n bazı tamsayı asal l öyle ki pⁿ müdür.

Kummer karşılıklılık yasası şunu belirtir:

${ displaystyle sol {{ frac {p} {q}} sağ } = sol {{ frac {q} {p}} sağ }}$

için p ve q herhangi bir farklı asal ideal Z[ζ] (1 – ζ) dışında.

Hilbert karşılıklılık

Hilbert sembolü açısından, Hilbert'in bir cebirsel sayı alanı için karşılıklılık yasası şunu belirtir:

${ displaystyle prod _ {v} (a, b) _ {v} = 1}$

çarpım tüm sonlu ve sonsuz yerlerin üzerindedir. Rasyonel sayıların üzerinde bu, ikinci dereceden karşılıklılık yasasına eşdeğerdir. Bunu görmek için a ve b farklı garip asallar olmak. Sonra Hilbert yasası olur ${ displaystyle (p, q) _ { infty} (p, q) _ {2} (p, q) _ {p} (p, q) _ {q} = 1}$Fakat (p,q)_p Legendre sembolüne eşittir, (p,q)_∞ 1 ise p ve q pozitif, -1 aksi takdirde ve (p,q)₂ (-1)^{(p–1)(q–1)/4}. İçin böylece p ve q pozitif tuhaf asallar Hilbert yasası ikinci dereceden karşılıklılık yasasıdır.

Artin karşılıklılık

Dilinde ideller, sonlu bir uzatma için Artin karşılıklılık yasası L/K şunu belirtir: Artin haritası -den idele sınıf grubu C_K için değişme Gal(L/K)^ab Galois grubunun N_L/K(C_L) ve bir izomorfizma neden olur

${ displaystyle theta: C_ {K} / {N_ {L / K} (C_ {L})} - { text {Gal}} (L / K) ^ { text {ab}}.}$

Hemen açık olmamakla birlikte, Artin karşılıklılık yasası, daha önce keşfedilen tüm karşılıklılık yasalarını, uygun uzantılara uygulayarak kolayca ima eder. L/K. Örneğin, özel durumda ne zaman K içerir nbirliğin kökleri ve L=K[a^1/n] bir Kummer uzantısıdır KArtin haritasının kaybolduğu gerçeği N_L/K(C_L), Hilbert'in Hilbert sembolü için karşılıklılık yasasını ifade eder.

Yerel karşılıklılık

Hasse, yerel karşılıklılık yasası olarak adlandırılan, Artin karşılıklılık yasasının yerel bir analoğunu tanıttı. Bunun bir biçimi, sonlu değişmeli genişlemesi için L/K Yerel alanların bir izomorfizmidir Artin haritası ${ displaystyle K ^ { times} / N_ {L / K} (L ^ { times})}$ Galois grubuna ${ displaystyle Gal (L / K)}$.

Açık karşılıklılık yasaları

Hilbert karşılıklılık yasasından klasik tarzda bir karşılıklılık yasası elde etmek için Π (a,b)_p= 1, değerlerinin bilinmesi gerekir (a,b)_p için p bölme n. Bunun açık formüllerine bazen açık karşılıklılık yasaları denir.

Güç karşılıklılık yasaları

Bir güç karşılıklılık yasası bir analog olarak formüle edilebilir ikinci dereceden karşılıklılık yasası Hilbert sembolleri açısından^[1]

${ displaystyle sol ({ frac { alpha} { beta}} sağ) _ {n} sol ({ frac { beta} { alpha}} sağ) _ {n} ^ {- 1} = prod _ {{ mathfrak {p}} | n infty} ( alpha, beta) _ { mathfrak {p}} .}$

Rasyonel karşılıklılık yasaları

Rasyonel bir karşılıklılık yasası, birliğin kökleri kullanılmadan rasyonel tamsayılar açısından ifade edilen bir yasadır.

Scholz'un karşılıklılık yasası

Shimura karşılıklılık

Weil karşılıklılık yasası

Langlands karşılıklılık

Langlands programı GL grubunun özeline yönelik olan genel indirgeyici cebirsel gruplar için birkaç varsayım içerir₁ Artin karşılıklılık yasasını ima eder.

Yamamoto'nun karşılıklılık yasası

Yamamoto'nun karşılıklılık yasası, ikinci dereceden sayı alanlarının sınıf sayılarıyla ilgili bir karşılıklılık yasasıdır.

Ayrıca bakınız

• Hilbert'in dokuzuncu problemi
• Stanley'nin karşılıklılık teoremi

Referanslar

• Frei, Günther (1994), "Euler'den Eisenstein'a karşılıklılık yasası", Chikara, Sasaki (ed.), Tarih ve matematiğin kesişme noktası. 31 Ağustos - 1 Eylül 1990, Tokyo, Japonya'da düzenlenen matematik tarihi sempozyumunda sunulan bildiriler, Sci. Ağlar Geçmişi Damızlık., 15, Basel: Birkhäuser, s. 67–90, doi:10.1090 / S0002-9904-1972-12997-5, ISBN  9780817650292, BAY  0308080, Zbl  0818.01002
• Hilbert, David (1897), "Die Theorie der cebebraischen Zahlkörper", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (Almanca'da), 4: 175–546, ISSN  0012-0456
• Hilbert, David (1998), Cebirsel sayı alanları teorisi, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03545-0, ISBN  978-3-540-62779-1, BAY  1646901
• Lemmermeyer, Franz (2000), Karşılıklılık yasaları. Euler'den Eisenstein'a, Matematikte Springer Monografileri, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN  3-540-66957-4, BAY  1761696, Zbl  0949.11002
• Lemmermeyer, Franz, Karşılıklılık yasaları. Kummer'den Hilbert'e
• Neukirch, Jürgen (1999), Cebirsel sayı teorisi, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Norbert Schappacher, Berlin tarafından Almanca'dan çevrilmiştir: Springer-Verlag, ISBN  3-540-65399-6, Zbl  0956.11021
• Stepanov, S. A. (2001) [1994], "Karşılıklılık yasaları", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın
• Wyman, B. F. (1972), "Karşılıklılık yasası nedir?", Amer. Matematik. Aylık, 79 (6): 571–586, doi:10.2307/2317083, JSTOR  2317083, BAY  0308084. Düzeltme, age. 80 (1973), 281.