Reeb küre teoremi - Reeb sphere theorem

İçinde matematik, Reeb küre teoremi, adını Georges Reeb, şunu belirtir

Kapalı yönelimli bağlı bir manifold M ⁿ kabul eden tekil yapraklanma sadece merkezlere sahip olmak homomorfik için küre Sⁿ ve yapraklanma tam olarak iki tekilliğe sahiptir.

Mors yapraklanması

Bir yapraklanmanın tekilliği F -den Mors türü eğer küçük mahallesinde yaprakların tüm yaprakları seviye setleri bir Mors işlevi tekillik olmak kritik nokta işlevin. Tekillik bir merkez eğer bir yerel ekstremum fonksiyonun; aksi takdirde, tekillik bir sele.

Merkezlerin sayısı c ve eyer sayısı ${ displaystyle s}$özellikle ${ displaystyle c-s}$, manifold topolojisine sıkıca bağlıdır.

Biz gösteririz ${ displaystyle operatöradı {ind} p = min (k, n-k)}$, indeks tekillikten ${ displaystyle p}$, nerede k bir Mors işlevinin karşılık gelen kritik noktasının dizinidir. Özellikle, bir merkezin endeksi 0, bir eyerin endeksi en az 1'dir.

Bir Mors yapraklanması F bir manifoldda M bir tekil enine yönelimli eş boyutlu sınıf bir yapraklanma ${ displaystyle C ^ {2}}$ izole tekilliklerle, öyle ki:

• her tekilliği F Mors tipi,
• her biri tekil yaprak L benzersiz bir tekillik içerirp; ek olarak, eğer ${ displaystyle operatöradı {ind} p = 1}$ sonra ${ displaystyle L setminus p}$ bağlı değil.

Reeb küre teoremi

Bu durumda ${ displaystyle c> s = 0}$, eyersiz durum.

Teorem:^[1] İzin Vermek ${ displaystyle M ^ {n}}$ kapalı yönelimli bağlantılı bir boyut manifoldu olmak ${ displaystyle n geq 2}$. Varsayalım ki ${ displaystyle M ^ {n}}$ itiraf ediyor ${ displaystyle C ^ {1}}$-transvers olarak yönlendirilmiş eş boyutlu bir yapraklanma ${ displaystyle F}$ boş olmayan tekillikler kümesi ile hepsi merkezde. Sonra tekil dizi ${ displaystyle F}$ iki noktadan oluşur ve ${ displaystyle M ^ {n}}$ küreye homeomorfiktir ${ displaystyle S ^ {n}}$.

Bir sonucudur Reeb kararlılık teoremi.

Genelleme

Daha genel durum ${ displaystyle c> s geq 0.}$

1978'de Edouar Wagneur, Reeb küre teoremini eyerli Morse foliasyonlarına genelleştirdi. Merkez sayısının eyer sayısıyla karşılaştırıldığında çok fazla olamayacağını gösterdi, özellikle, ${ displaystyle c leq s + 2}$. Yani tam olarak iki durum vardır ${ displaystyle c> s}$:

(1) ${ displaystyle c = s + 2,}$

(2) ${ displaystyle c = s + 1.}$

(1) 'i tatmin eden tekilliklerle bir yapraklanmayı kabul eden manifoldun bir tanımını elde etti.

Teorem:^[2] İzin Vermek ${ displaystyle M ^ {n}}$ Mors yapraklanmasını kabul eden kompakt bağlantılı bir manifold olmak ${ displaystyle F}$ ile ${ displaystyle c}$ merkezler ve ${ displaystyle s}$ eyerler. Sonra ${ displaystyle c leq s + 2}$. Durumunda ${ displaystyle c = s + 2}$,

• ${ displaystyle M}$ homeomorfiktir ${ displaystyle S ^ {n}}$,
• tüm eyerlerin indeksi vardır 1,
• her normal yaprak diffeomorfiktir ${ displaystyle S ^ {n-1}}$.

Son olarak, 2008'de César Camacho ve Bruno Scardua davayı değerlendirdi (2), ${ displaystyle c = s + 1}$. Bu, az sayıda düşük boyutta mümkündür.

Teorem:^[3] İzin Vermek ${ displaystyle M ^ {n}}$ kompakt bağlantılı bir manifold olmak ve ${ displaystyle F}$ bir Mors yapraklanması ${ displaystyle M}$. Eğer ${ displaystyle s = c + 1}$, sonra

• ${ displaystyle n = 2,4,8}$ veya ${ displaystyle 16}$,
• ${ displaystyle M ^ {n}}$ bir Eells-Kuiper manifoldu.

Referanslar