Yansıma teoremi - Reflection theorem

Bu makale olabilir kafa karıştırıcı veya belirsiz okuyuculara. Lütfen bize yardım et makaleyi netleştir. Bununla ilgili bir tartışma olabilir konuşma sayfası. (2010 Şubat) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Küme teorisindeki yansıma ilkeleri için bkz. yansıtma ilkesi.

İçinde cebirsel sayı teorisi, bir yansıma teoremi veya Spiegelungssatz (Almanca için yansıma teoremi - görmek Spiegel ve Satz ), farklı boyutların boyutlarını birbirine bağlayan teoremler koleksiyonundan biridir. ideal sınıf grupları (veya ray sınıfı grupları ) veya farklı boyutları izotipik bileşenler bir sınıf grubunun. Orijinal örnek şundan kaynaklanmaktadır: Ernst Eduard Kummer, sınıf numarasının kim olduğunu gösterdi siklotomik alan ${ displaystyle mathbb {Q} sol ( zeta _ {p} sağ)}$, ile p bir asal sayı, ile bölünebilir p maksimal gerçek alt alanın sınıf numarası ${ displaystyle mathbb {Q} sol ( zeta _ {p} sağ) ^ {+}}$ dır-dir. Bir başka örnek de Scholz'dan kaynaklanıyor.^[1] Teoreminin basitleştirilmiş bir versiyonu, 3'ün a'nın sınıf numarasını böldüğünü belirtir. gerçek ikinci dereceden alan ${ displaystyle mathbb {Q} sol ({ sqrt {d}} sağ)}$, ardından 3 aynı zamanda sınıf numarasını da böler hayali ikinci dereceden alan ${ displaystyle mathbb {Q} sol ({ sqrt {-3d}} sağ)}$.

Leopoldt'un Spiegelungssatz

Yukarıdaki sonuçların her ikisi de şu şekilde genelleştirilmiştir: Leopoldt ile ilgili olan "Spiegelungssatz" p dereceleri olarak kabul edilen bir sayı alanının sınıf grubunun farklı izotipik bileşenlerinin modül üzerinde Galois grubu bir Galois uzantısının.

İzin Vermek L/K grup ile sayı alanlarının sonlu bir Galois uzantısı olmak G, derece asal p ve L içeren p-birliğin kökleri. İzin Vermek Bir ol pSınıf grubunun -Sylow alt grubu L. Grup yüzüğünün indirgenemez karakterlerinin üzerinden geçelim Q_p[G] ve izin ver Bir_φ karşılık gelen doğrudan zirveleri gösterir Bir. Herhangi bir izin için q = p^{φ (1)} ve izin ver G-rank e_φ dizindeki üs ol

${ displaystyle [A _ { phi}: A _ { phi} ^ {p}] = q ^ {e _ { phi}}.}$

Ω karakteri olsun G

${ displaystyle zeta ^ {g} = zeta ^ { omega (g)} { text {for}} zeta in mu _ {p}.}$

Yansıma (Spiegelung) φ^* tarafından tanımlanır

${ displaystyle phi ^ {*} (g) = omega (g) phi (g ^ {- 1}).}$

İzin Vermek E birim grubu olmak K. Ε'nin "birincil" olduğunu söylüyoruz, eğer ${ displaystyle K ({ sqrt [{p}] { epsilon}}) / K}$ çerçevesiz ve izin ver E₀ modulo birincil birimler grubunu gösterir E^p. Hadi δ_φ belirtmek Gφ bileşeninin sıralaması E₀.

Spiegelungssatz şunu belirtir:

${ displaystyle | e _ { phi ^ {*}} - e _ { phi} | leq delta _ { phi}.}$

Uzantılar

Bu Spiegelungssatz'ın uzantıları, sınıf gruplarının artık Galois grubunun karakterleriyle ilişkilendirilmediği Oriat ve Oriat-Satge tarafından verildi. K/kama daha ziyade bir grup yüzük Galois grubu üzerinde K/k. Leopoldt'un Spiegelungssatz'ı, Kuroda tarafından farklı bir yönde genelleştirildi ve onu bir ifadeye genişletti. ray sınıfı grupları. Bu, çok genel olarak daha da geliştirildi "T-S yansıma teoremi " Georges Gras.^[2] Kenkichi Iwasawa ayrıca sağladı Iwasawa-teorik yansıma teoremi.

Referanslar

• Koch, Helmut (1997). Cebirsel Sayı Teorisi. Encycl. Matematik. Sci. 62 (1. baskı 2. baskı). Springer-Verlag. s. 147–149. ISBN  3-540-63003-1. Zbl  0819.11044.