Geri çekme (topoloji) - Retraction (topology)

İçinde topoloji bir dalı matematik, bir geri çekme bir sürekli haritalama bir topolojik uzay içine alt uzay bu, o alt uzaydaki tüm noktaların konumunu korur.^[1] Alt uzay daha sonra a geri çekmek orijinal alanın. Bir deformasyon geri çekilmesi fikrini yakalayan bir haritadır sürekli küçülen bir altuzaya bir boşluk.

Bir mutlak mahalle geri çekilmesi (ANR) özellikle iyi huylu topolojik uzay türü. Örneğin, her topolojik manifold bir ANR'dir. Her ANR'de homotopi türü çok basit bir topolojik uzay, bir CW kompleksi.

Tanımlar

Geri çek

İzin Vermek X topolojik bir uzay olmak ve Bir bir alt uzay X. Sonra kesintisiz bir harita

${ displaystyle r kolon X ila A}$

bir geri çekme Eğer kısıtlama nın-nin r -e Bir ... kimlik haritası açık Bir; yani, ${ metin stili r (a) = a}$ hepsi için a içinde Bir. Eşdeğer olarak, ile ifade edilir

${ displaystyle iota iki nokta üst üste A hookrightarrow X}$

dahil etme geri çekilme sürekli bir haritadır r öyle ki

${ displaystyle r circ iota = operatorname {id} _ {A},}$

yani, bileşimi r dahil olmak üzere kimliği Bir. Tanım gereği bir geri çekme haritalarının X üstüne Bir. Bir alt uzay Bir denir geri çekmek nın-nin X böyle bir geri çekme varsa. Örneğin, boş olmayan herhangi bir uzay bariz bir şekilde bir noktaya geri çekilir (sabit harita bir geri çekilme verir). Eğer X dır-dir Hausdorff, sonra Bir olmalı kapalı alt küme nın-nin X.

Eğer ${ textstyle r: X - A}$ bir geri çekmedir, ardından kompozisyon ι∘r bir etkisiz sürekli harita X -e X. Tersine, herhangi bir idempotent sürekli harita verildiğinde ${ textstyle s: X - X,}$ görüntüsünde bir geri çekilme elde ediyoruz s kısıtlayarak ortak alan.

Deformasyon geri çekme ve güçlü deformasyon geri çekme

Sürekli bir harita

${ displaystyle F iki nokta üst üste X times [0,1] ila X}$

bir deformasyon geri çekilmesi bir alanın X bir alt uzaya Bir her biri için x içinde X ve a içinde Bir,

${ displaystyle F (x, 0) = x, quad F (x, 1) in A, quad { mbox {ve}} quad F (a, 1) = a.}$

Başka bir deyişle, bir deformasyon geri çekilmesi bir homotopi geri çekilme ile kimlik haritası arasında X. Alt uzay Bir denir deformasyon geri çekilmesi nın-nin X. Deformasyon geri çekilmesi, özel bir durumdur. homotopi denkliği.

Bir geri çekmenin bir deformasyon geri çekilmesi olması gerekmez. Örneğin, bir boşluğun deformasyonunun geri çekilmesi olarak tek bir noktaya sahip olmak X bunu ima ederdi X dır-dir yol bağlandı (ve aslında X dır-dir kasılabilir ).

Not: Deformasyon retraksiyonunun eşdeğer bir tanımı aşağıdaki gibidir. Sürekli bir harita ${ textstyle r: X - A}$ bir geri çekilme ise ve dahil edilmesiyle bileşimi üzerindeki kimlik haritasına homotopikse deformasyon geri çekilmesidir. X. Bu formülasyonda, bir deformasyon geri çekilmesi, üzerindeki kimlik haritası arasında bir homotopi taşır. X ve kendisi.

Deformasyon retraksiyonu tanımına şu şartı eklersek

${ displaystyle F (a, t) = a}$

hepsi için t [0, 1] ve a içinde Bir, sonra F denir güçlü deformasyon geri çekilmesi. Başka bir deyişle, güçlü bir deformasyon geri çekilmesi, Bir homotopi boyunca sabitlendi. (Bazı yazarlar, örneğin Kuluçka makinesi, bunu deformasyon retraksiyonunun tanımı olarak alın.)

Örnek olarak, nküre ${ textstyle S ^ {n}}$ güçlü bir deformasyon geri çekilmesidir ${ textstyle mathbb {R} ^ {n + 1} ters eğik çizgi {0 };}$ güçlü deformasyon geri çekilmesi olarak harita seçilebilir

${ displaystyle F (x, t) = sol ((1-t) + {t fazla | x |} sağ) x.}$

Uyum ve komşu deformasyon geri çekilmesi

Bir harita f: Bir → X topolojik uzayların sayısı bir (Hurewicz ) birlikte titreşim eğer varsa homotopy uzatma özelliği herhangi bir alana haritalar için. Bu, temel kavramlardan biridir. homotopi teorisi. Bir cofibration f her zaman enjekte edici, aslında bir homomorfizm imajına.^[2] Eğer X Hausdorff (veya kompakt olarak oluşturulmuş zayıf Hausdorff alanı ), ardından bir kofibrasyon görüntüsü f kapalı X.

Tüm kapalı kapanımlar arasında kofibrasyonlar aşağıdaki gibi karakterize edilebilir. Kapalı bir alt uzayın dahil edilmesi Bir bir boşlukta X bir kofibrasyondur ancak ve ancak Bir bir mahalle deformasyonu geri çekilmesi nın-nin Xsürekli bir harita olduğu anlamına gelir ${ displaystyle u: X rightarrow [0,1]}$ ile ${ textstyle A = u ^ {- 1} ! sol (0 sağ)}$ ve bir homotopi ${ textstyle H: X times [0,1] rightarrow X}$ öyle ki ${ textstyle H (x, 0) = x}$ hepsi için ${ displaystyle x X,}$ ${ displaystyle H (a, t) = a}$ hepsi için ${ displaystyle a A’da}$ ve ${ displaystyle t in [0,1],}$ ve $A içinde { textstyle H sol (x, 1 sağ) }$ Eğer ${ displaystyle u (x) <1}$.^[3]

Örneğin, bir CW kompleksine bir alt kompleksin dahil edilmesi bir kofibrasyondur.

Özellikleri

• Geri çekmenin temel özelliklerinden biri Bir nın-nin X (geri çekme ile ${ textstyle r: X - A}$), her kesintisiz harita ${ textstyle f: A rightarrow Y}$ en az bir uzantıya sahip ${ textstyle g: X rightarrow Y,}$ yani ${ textstyle g = f circ r}$.
• Deformasyon retraksiyonu, belirli bir homotopi denkliği durumudur. Aslında, iki uzay homotopiye eşdeğerdir ancak ve ancak her ikisi de tek bir geniş alanın deformasyon geri çekilmelerine homeomorfiktir.
• Deformasyonun bir noktaya geri çekildiği herhangi bir topolojik uzay büzüşebilir ve bunun tersi de geçerlidir. Bununla birlikte, bir noktaya kadar güçlü bir şekilde deformasyona uğramayan büzülebilir boşluklar vardır.^[4]

Geri çekme yok teoremi

sınır of nboyutlu top yani (n−1) -sfer, topun geri çekilmesi değildir. (Görmek Brouwer sabit nokta teoremi § Homoloji kullanan bir ispat.)

Mutlak mahalle geri çekme (ANR)

Kapalı bir alt küme ${ textstyle X}$ topolojik bir uzay ${ textstyle Y}$ denir mahalle geri çekilmesi nın-nin ${ textstyle Y}$ Eğer ${ textstyle X}$ bazı açık alt kümelerinin geri çekilmesidir ${ textstyle Y}$ içeren ${ textstyle X}$.

İzin Vermek ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ homeomorfizm altında kapalı ve kapalı alt kümelere geçişli bir topolojik uzaylar sınıfı olabilir. Takip etme Borsuk (1931'den itibaren), bir boşluk ${ textstyle X}$ denir mutlak geri çekilme sınıf için ${ displaystyle { mathcal {C}}}$, yazılı ${ textstyle operatorname {AR} sol ({ mathcal {C}} sağ),}$ Eğer ${ textstyle X}$ içinde ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ ve ne zaman ${ textstyle X}$ boşluğun kapalı bir alt kümesidir ${ textstyle Y}$içinde ${ displaystyle { mathcal {C}}}$, ${ textstyle X}$ geri çekilmiştir ${ textstyle Y}$. Bir boşluk ${ textstyle X}$ bir mutlak mahalle geri çekilmesi sınıf için ${ displaystyle { mathcal {C}}}$, yazılı ${ textstyle operatorname {ANR} sol ({ mathcal {C}} sağ),}$ Eğer ${ textstyle X}$ içinde ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ ve ne zaman ${ textstyle X}$ boşluğun kapalı bir alt kümesidir ${ textstyle Y}$ içinde ${ displaystyle { mathcal {C}}}$, ${ textstyle X}$ mahalle geri çekilmesi ${ textstyle Y}$.

Çeşitli sınıflar ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ gibi normal boşluklar bu tanımda ele alınmıştır, ancak sınıf ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ nın-nin ölçülebilir uzaylar en tatmin edici teoriyi verdiği görülmüştür. Bu nedenle, bu makalede AR ve ANR notasyonları tek başlarına, ${ displaystyle operatorname {AR} sol ({ mathcal {M}} sağ)}$ ve ${ displaystyle operatorname {ANR} sol ({ mathcal {M}} sağ)}$.^[5]

Ölçülebilir alan, ancak ve ancak daraltılabilir ve ANR ise bir AR'dir.^[6] Tarafından Dugundji her yerel dışbükey ölçülebilir topolojik vektör uzayı ${ textstyle V}$ bir AR'dir; daha genel olarak, her boş olmayan dışbükey alt küme böyle bir vektör uzayının ${ textstyle V}$ AR'dir.^[7] Örneğin, herhangi biri normlu vektör uzayı (tamamlayınız veya değil) bir AR'dir. Daha somut olarak, Öklid uzayı ${ textstyle mathbb {R} ^ {n},}$ birim küp ${ textstyle I ^ {n},}$ve Hilbert küpü ${ textstyle I ^ { omega}}$ AR'ler.

ANR'ler dikkate değer bir "iyi huylu "topolojik uzaylar. Özellikleri arasında:

• Bir ANR'nin her açık alt kümesi bir ANR'dir.
• Tarafından Hanner, ölçülebilir bir alan olan açık kapak ANR'ye göre bir ANR'dir.^[8] (Yani, ANR olmak bir yerel mülk ölçülebilir uzaylar için.) Her topolojik manifoldun bir ANR olduğu sonucu çıkar. Örneğin, küre ${ textstyle S ^ {n}}$ bir ANR'dir, ancak bir AR değildir (çünkü sözleşmeye tabi değildir). Sonsuz boyutlarda, Hanner'in teoremi, her Hilbert küp manifoldunun yanı sıra (oldukça farklı, örneğin yerel olarak kompakt ) Hilbert manifoldları ve Banach manifoldları ANR'dir.
• Her yerel olarak sonlu CW kompleksi bir ANR'dir.^[9] Rasgele bir CW kompleksinin ölçülebilir olması gerekmez, ancak her CW kompleksi bir ANR'nin homotopi tipine sahiptir (tanım gereği ölçülebilirdir).^[10]
• Her ANR X dır-dir yerel olarak daraltılabilir her açık mahalle için ${ textstyle U}$ bir noktadan ${ textstyle x}$ içinde ${ textstyle X}$açık bir mahalle var ${ textstyle V}$ nın-nin ${ textstyle x}$ içerdiği ${ textstyle U}$ öyle ki dahil etme ${ textstyle V hookrightarrow U}$ homotopik sabit harita. Bir sonlu boyutlu ölçülebilir uzay, ancak ve ancak bu anlamda yerel olarak daraltılabilirse bir ANR'dir.^[11] Örneğin, Kantor seti bir kompakt çift ​​olmadığı için ANR olmayan gerçek satırın alt kümesi yerel olarak bağlı.
• Karşı örnekler: Borsuk kompakt bir alt küme buldu ${ textstyle mathbb {R} ^ {3}}$ bu bir ANR'dir, ancak kesinlikle yerel olarak daraltılabilir değildir.^[12] (Bir boşluk kesinlikle yerel olarak daraltılabilir eğer her açık mahalle ${ textstyle U}$ her noktanın ${ textstyle x}$ sözleşmeye açık bir mahalleyi içerir ${ textstyle x}$.) Borsuk ayrıca yerel olarak daraltılabilen (yukarıda tanımlandığı gibi) ancak bir ANR olmayan kompakt bir Hilbert küp alt kümesi buldu.^[13]
• Her ANR, bir CW kompleksinin homotopi tipine sahiptir. Whitehead ve Milnor.^[14] Ayrıca, yerel olarak kompakt bir ANR, yerel olarak sonlu bir CW kompleksinin homotopi tipine sahiptir; ve West tarafından, kompakt bir ANR, sonlu bir CW kompleksinin homotopi tipine sahiptir.^[15] Bu anlamda ANR'ler, rastgele topolojik uzayların tüm homotopi-teorik patolojilerinden kaçınır. Örneğin, Whitehead teoremi ANR'ler için geçerlidir: üzerinde bir izomorfizm indükleyen ANR'lerin bir haritası homotopi grupları (tüm temel nokta seçenekleri için) bir homotopi eşdeğeridir. ANR'ler topolojik manifoldları, Hilbert küp manifoldlarını, Banach manifoldlarını ve benzerlerini içerdiğinden, bu sonuçlar büyük bir uzay sınıfı için geçerlidir.
• Çoğu eşleme alanı ANR'dir. Özellikle, izin ver Y kapalı bir alt alanı olan bir ANR olmak Bir bu bir ANR ve izin ver X kapalı bir alt uzay ile herhangi bir kompakt ölçümlenebilir alan olabilir B. Sonra boşluk ${ textstyle sol (Y, A sağ) ^ { sol (X, B sağ)}}$ haritalarının çiftler ${ textstyle sol (X, B sağ) sağ ok sol (Y, A sağ)}$ (ile kompakt açık topoloji üzerinde haritalama alanı ) bir ANR'dir.^[16] Örneğin, döngü alanı herhangi bir CW kompleksi, bir CW kompleksinin homotopi tipine sahiptir.
• Cauty tarafından ölçülebilir bir alan ${ textstyle X}$ bir ANR'dir, ancak ve ancak her açık alt kümesi ${ textstyle X}$ bir CW kompleksinin homotopi tipine sahiptir.^[17]
• Cauty tarafından bir metrik doğrusal uzay ${ textstyle V}$ (bir ile topolojik vektör uzayı anlamına gelir) çeviri değişmez metrik) bu bir AR değildir. Biri alabilir ${ textstyle V}$ olmak ayrılabilir ve bir F alanı (yani, tam bir metrik doğrusal uzay).^[18] (Dugundji'nin yukarıdaki teoremine göre, ${ textstyle V}$ yerel olarak dışbükey olamaz.) ${ textstyle V}$ sözleşme yapılabilir ve AR değildir, aynı zamanda bir ANR değildir. Yukarıdaki Cauty teoremine göre, ${ textstyle V}$ açık bir alt kümeye sahip ${ textstyle U}$ bu bir CW kompleksine eşdeğer homotopi değildir. Böylece ölçülebilir bir alan var ${ textstyle U}$ bu kesinlikle yerel olarak daralabilir ancak bir CW kompleksine eşdeğer homotopi değildir. Kesinlikle yerel olarak daraltılabilen kompakt (veya yerel olarak kompakt) ölçülebilir bir alanın ANR olması gerekip gerekmediği bilinmemektedir.

Notlar

Referanslar

• Borsuk, Karol (1931), "Sur les rétractes", Fundamenta Mathematicae, 17: 152–170, Zbl  0003.02701
• Borsuk, Karol (1967), Geri Çekme Teorisi, Varşova: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, BAY  0216473
• Cauty, Robert (1994), "Une caractérisation des rétractes absolus de voisinage", Fundamenta Mathematicae, 144: 11–22, BAY  1271475
• Cauty, Robert (1994), "Un espace métrique linéaire qui n'est pass un retracte absolu", Fundamenta Mathematicae, 146: 85–99, BAY  1305261
• Fritsch, Rudolf; Piccinini, Renzo (1990), Topolojide Hücresel Yapılar, Cambridge University Press, ISBN  0-521-32784-9, BAY  1074175
• Kuluçka, Allen (2002), Cebirsel Topoloji, Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0, BAY  1867354
• Hu, Sze-Tsen (1965), Geri Çekme TeorisiWayne State University Press, BAY  0181977
• Mardešić, Sibe (1999), "Mutlak komşuluk geri çekilir ve şekil teorisi", James, I. M. (ed.), Topoloji Tarihi, Amsterdam: Kuzey-Hollanda, sayfa 241–269, ISBN  0-444-82375-1, BAY  1674915
• Mayıs, J. Peter (1999), Cebirsel Topolojide Kısa Bir Ders (PDF), Chicago Press Üniversitesi, ISBN  0-226-51182-0, BAY  1702278
• Milnor, John (1959), "Bir CW-kompleksinin homotopi tipine sahip uzaylar üzerine", Amerikan Matematik Derneği İşlemleri, 90: 272–280, doi:10.2307/1993204, BAY  0100267
• Puppe, Dieter (1967), "Bemerkungen über die Erweiterung von Homotopien", Archiv der Mathematik, 18: 81–88, doi:10.1007 / BF01899475, BAY  0206954
• West, James (2004), "Absolute retracts", Hart, K. P. (ed.), Genel Topoloji Ansiklopedisi, Amsterdam: Elsevier, ISBN  0-444-50355-2, BAY  2049453

Dış bağlantılar

• Bu makale, mahalleden alınan materyalleri PlanetMath altında lisanslı olan Creative Commons Atıf / Benzer Paylaşım Lisansı.