Reynolds taşınım teoremi - Reynolds transport theorem

İçinde diferansiyel hesap, Reynolds taşınım teoremi (Leibniz – Reynolds taşıma teoremi olarak da bilinir) veya kısaca Reynolds teoremi, üç boyutlu bir genellemedir Leibniz integral kuralı olarak da bilinen integral işareti altında farklılaşma Teorem adını almıştır. Osborne Reynolds (1842–1912). Entegre büyüklüklerin türevlerini yeniden şekillendirmek için kullanılır ve temel denklemlerin formüle edilmesinde faydalıdır. süreklilik mekaniği.

Entegre etmeyi düşünün f = f(x,t) zamana bağlı bölge üzerinden Ω (t) sınırı olan ∂Ω (t), sonra türevi zamana göre alarak:

${displaystyle {frac {d} {dt}} int _ {Omega (t)} mathbf {f}, dV.}$

Türevi integralin içinde hareket ettirmek istersek, iki konu vardır: zamana bağlılığı fve alanın tanıtılması ve oradan kaldırılması Ω dinamik sınırı nedeniyle. Reynolds taşıma teoremi gerekli çerçeveyi sağlar.

Genel form

Reynolds taşıma teoremi şu şekilde ifade edilebilir:^[1][2][3]

${displaystyle {frac {d} {dt}} int _ {Omega (t)} mathbf {f}, dV = int _ {Omega (t)} {frac {kısmi mathbf {f}} {kısmi t}}, dV + int _ {kısmi Omega (t)} sol (mathbf {v} ^ {b} cdot mathbf {n} ight) mathbf {f}, dA}$

içinde n(x,t) dışa dönük birim normal vektör, x bölgede bir noktadır ve entegrasyon değişkenidir, dV ve dA hacim ve yüzey öğeleridir. x, ve v^b(x,t) alan elemanının hızıdır (değil akış hızı). İşlev f tensör, vektör veya skaler değerli olabilir.^[4] Sol taraftaki integralin yalnızca zamana bağlı bir fonksiyon olduğuna ve bu nedenle toplam türevin kullanıldığına dikkat edin.

Maddi bir unsur için form

Süreklilik mekaniğinde, bu teorem genellikle maddi unsurlar. Bunlar, hiçbir maddenin girmediği veya çıkmadığı sıvı veya katı paketleridir. Eğer Ω (t) maddi bir unsurdur ve bir hız fonksiyonu vardır v = v(x,t)ve sınır unsurları itaat eder

${displaystyle mathbf {v} ^ {b} cdot mathbf {n} = mathbf {v} cdot mathbf {n}.}$

Bu koşul, aşağıdakileri elde etmek için ikame edilebilir:^[5]

${displaystyle {frac {d} {dt}} left (int _ {Omega (t)} mathbf {f}, dVight) = int _ {Omega (t)} {frac {kısmi mathbf {f}} {kısmi t} }, dV + int _ {kısmi Omega (t)} (mathbf {v} cdot mathbf {n}) mathbf {f}, dA.}$

Maddi bir unsurun kanıtı

İzin Vermek Ω0 bölgenin referans konfigürasyonu olabilir Ω (t). Bırakın hareket ve deformasyon gradyanı tarafından verilmek ${displaystyle mathbf {x} = {oldsymbol {varphi}} (mathbf {X}, t),}$ ${displaystyle {oldsymbol {F}} (mathbf {X}, t) = {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {varphi}}.}$ İzin Vermek J(X,t) = det F(X,t). Tanımlamak ${displaystyle {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t) = mathbf {f} ({oldsymbol {varphi}} (mathbf {X}, t), t).}$ Daha sonra akım ve referans konfigürasyonlarındaki integraller ile ilişkilendirilir. ${displaystyle {egin {align} int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t), dV & = int _ {Omega _ {0}} mathbf {f} ({oldsymbol {varphi}} (mathbf {X}, t), t), J (mathbf {X}, t), dV_ {0} & = int _ {Omega _ {0}} {hat {mathbf {f}}} (mathbf { X}, t), J (mathbf {X}, t), dV_ {0} .son {hizalı}}}$ Bu türetmenin bir malzeme öğesi için olduğu, referans konfigürasyonun zaman sabitinde örtüktür: malzeme koordinatlarında sabittir. Bir hacim üzerinden integralin zaman türevi şu şekilde tanımlanır: ${displaystyle {frac {d} {dt}} left (int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t), dVight) = lim _ {Delta tightarrow 0} {frac {1} { Delta t}} left (int _ {Omega (t + Delta t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t + Delta t), dV-int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf { x}, t), dVight).}$ Referans konfigürasyon üzerinden integrallere dönüştürdüğümüzde, ${displaystyle {frac {d} {dt}} left (int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t), dVight) = lim _ {Delta tightarrow 0} {frac {1} { Delta t}} sol (int _ {Omega _ {0}} {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t + Delta t), J (mathbf {X}, t + Delta t), dV_ {0} -int _ {Omega _ {0}} {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t), J (mathbf {X}, t), dV_ {0} ight).}$ Dan beri Ω0 zamandan bağımsızdır, bizde ${displaystyle {egin {hizalı} {frac {d} {dt}} left (int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t), dVight) & = int _ {Omega _ {0 }} sol (lim _ {Delta tightarrow 0} {frac {{hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t + Delta t), J (mathbf {X}, t + Delta t) - {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t), J (mathbf {X}, t)} {Delta t}} ight), dV_ {0} & = int _ {Omega _ {0}} {frac {kısmi} {kısmi t}} sol ({hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t), J (mathbf {X}, t) ight), dV_ {0} & = int _ {Omega _ {0}} sol ({frac {partial} {partly t}} {ig (} {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t) {ig)}, J (mathbf { X}, t) + {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t), {frac {parsiyel} {parsiyel t}} {ig (} J (mathbf {X}, t) {ig) } ight), dV_ {0} .son {hizalı}}}$ Zaman türevi J tarafından verilir:[6] ${displaystyle {egin {hizalı} {frac {kısmi J (mathbf {X}, t)} {kısmi t}} = {frac {kısmi} {kısmi t}} (det {oldsymbol {F}}) & = (det {oldsymbol {F}}) ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v}) & = J (mathbf {X}, t), {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} {ig (} {oldsymbol {varphi}} (mathbf {X}, t), t {ig)} & = J (mathbf {X}, t), {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} (mathbf {x}, t) .end {hizalı}}}$ Bu nedenle, ${displaystyle {egin {hizalı} {frac {d} {dt}} left (int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t), dVight) & = int _ {Omega _ {0 }} sol ({frac {kısmi} {kısmi t}} sol ({hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t) ight), J (mathbf {X}, t) + {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t), J (mathbf {X}, t), {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} (mathbf {x}, t) ight), dV_ {0} & = int _ {Omega _ {0}} sol ({frac {kısmi} {kısmi t}} sol ({hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t) ight) + {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t), {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} (mathbf {x}, t) ight), J (mathbf {X}, t), dV_ {0} & = int _ {Omega (t)} sol ({nokta {mathbf {f}}} (mathbf {x}, t) + mathbf {f} (mathbf {x}, t), {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} (mathbf {x}, t) ight), dV.end {hizalı}}}$ nerede ${displaystyle {dot {mathbf {f}}}}$ ... maddi zaman türevi nın-nin f. Malzeme türevi şu şekilde verilir: ${displaystyle {dot {mathbf {f}}} (mathbf {x}, t) = {frac {kısmi mathbf {f} (mathbf {x}, t)} {kısmi t}} + {ig (} {oldsymbol { abla}} mathbf {f} (mathbf {x}, t) {ig)} cdot mathbf {v} (mathbf {x}, t).}$ Bu nedenle, ${displaystyle {frac {d} {dt}} left (int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t), dVight) = int _ {Omega (t)} sol ({frac { kısmi mathbf {f} (mathbf {x}, t)} {kısmi t}} + {ig (} {oldsymbol {abla}} mathbf {f} (mathbf {x}, t) {ig)} cdot mathbf {v } (mathbf {x}, t) + mathbf {f} (mathbf {x}, t), {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} (mathbf {x}, t) ight), dV,}$ veya, ${displaystyle {frac {d} {dt}} sol (int _ {Omega (t)} mathbf {f}, dVight) = int _ {Omega (t)} sol ({frac {kısmi mathbf {f}} {kısmi t}} + {oldsymbol {abla}} mathbf {f} cdot mathbf {v} + mathbf {f}, {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} ight), dV.}$ Kimliği kullanma ${displaystyle {oldsymbol {abla}} cdot (mathbf {v} otimes mathbf {w}) = mathbf {v} ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {w}) + {oldsymbol {abla}} mathbf {v} cdot mathbf {w},}$ o zaman sahibiz ${displaystyle {frac {d} {dt}} sol (int _ {Omega (t)} mathbf {f}, dVight) = int _ {Omega (t)} sol ({frac {kısmi mathbf {f}} {kısmi t}} + {oldsymbol {abla}} cdot (mathbf {f} otimes mathbf {v}) ight), dV.}$ Kullanmak diverjans teoremi ve kimlik (a ⊗ b) · n = (b · n)a, sahibiz ${displaystyle {egin {hizalı} {frac {d} {dt}} sol (int _ {Omega (t)} mathbf {f}, dVight) & = int _ {Omega (t)} {frac {kısmi mathbf {f }} {kısmi t}}, dV + int _ {kısmi Omega (t)} (mathbf {f} otimes mathbf {v}) cdot mathbf {n}, dA & = int _ {Omega (t)} {frac {kısmi mathbf {f}} {kısmi t}}, dV + int _ {kısmi Omega (t)} (mathbf {v} cdot mathbf {n}) mathbf {f}, dA.qquad square end {align}}}$

Özel bir durum

Eğer alırsak Ω zaman açısından sabit olmak, o zaman v_b = 0 ve kimlik azalır

${displaystyle {frac {d} {dt}} int _ {Omega} f, dV = int _ {Omega} {frac {kısmi f} {kısmi t}}, dV.}$

beklenildiği gibi. (Akış hızı, bir alan elemanının hızı yerine yanlış kullanılırsa, bu basitleştirme mümkün değildir.)

Yorumlama ve tek boyuta indirgeme

Teorem, yüksek boyutlu uzantısıdır. integral işareti altında farklılaşma ve bazı durumlarda bu ifadeye indirgenir. Varsayalım f bağımsızdır y ve z, ve şu Ω (t) birim karedir yz-uzaklı ve var x limitler a(t) ve b(t). Reynolds taşıma teoremi daha sonra

${displaystyle {frac {d} {dt}} int _ {a (t)} ^ {b (t)} f (x, t), dx = int _ {a (t)} ^ {b (t)} {frac {kısmi f} {kısmi t}}, dx + {frac {parsiyel b (t)} {kısmi t}} f {ig (} b (t), t {ig)} - {frac {parsiyel a (t )} {kısmi t}} f {ig (} a (t), t {ig)} ,,}$

hangisi, değiş tokuşa kadar x ve t, integral işaretinin altındaki farklılaştırma için standart ifadedir.

Ayrıca bakınız

• İntegral işaretinin altında farklılaşma
• Leibniz integral kuralı

Notlar

Referanslar

• Leal, L. G. (2007). Gelişmiş taşıma fenomeni: akışkanlar mekaniği ve konvektif taşıma süreçleri. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-84910-4.
• Marsden, J. E.; Tromba, A. (2003). Vektör Kalkülüs (5. baskı). New York: W. H. Freeman. ISBN  978-0-7167-4992-9.
• Reynolds, O. (1903). Mekanik ve Fiziksel Konularla İlgili Makaleler. Cilt 3, Evrenin Alt Mekaniği. Cambridge: Cambridge University Press.

Dış bağlantılar

• Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, üç cilt halinde, yaklaşık 1903'te yayınlanmış, şimdi tamamen ve ücretsiz olarak dijital formatta mevcuttur: Ses seviyesi 1, Cilt 2, Cilt 3,
• "Modül 6 - Reynolds Taşıma Teoremi". ME6601: Akışkanlar Mekaniğine Giriş. Georgia Tech. Arşivlenen orijinal 27 Mart 2008.
• http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem