Roma yüzeyi - Roman surface - Wikipedia

Roma yüzeyinin bir animasyonu

Roma yüzeyi veya Steiner yüzeyi kendisiyle kesişen bir eşlemedir gerçek yansıtmalı düzlem alışılmadık derecede yüksek bir derece ile üç boyutlu uzaya simetri. Bu eşleme bir daldırma projektif düzlemin; ancak, altı tekil noktanın kaldırılmasından kaynaklanan rakam birdir. Adı, tarafından keşfedildiği için ortaya çıkmaktadır. Jakob Steiner o içerdeyken Roma 1844'te.[1]

En basit yapı, bir küre haritanın altındaki başlangıç ​​noktasında ortalanmış f(x,y,z) = (yz,xz,xy). Bu örtük bir formül nın-nin

Ayrıca, kürenin bir parametrizasyonunu alarak boylam (θ) ve enlem (φ), Roma yüzeyi için aşağıdaki gibi parametrik denklemler verir:

Başlangıç ​​noktası üçlü bir noktadır ve her biri xy-, yz-, ve xz-Uçaklar orada yüzeye teğettir. Kendi kendine kesişmenin diğer yerleri, altı kıstırma noktasında sonlanan her koordinat ekseni boyunca bölümleri tanımlayan çift noktalardır. Tüm yüzey var dört yüzlü simetri. Steiner yüzeyinin belirli bir türüdür (tip 1 olarak adlandırılır), yani 3 boyutlu doğrusal izdüşüm of Veronese yüzeyi.

Örtük formül türetilmesi

Basit olması için sadece durumu dikkate alıyoruz r = 1. Noktalarla tanımlanan küre verildiğinde (x, y, z) öyle ki

bu noktalara dönüşümü uygularız T tarafından tanımlandı söyle.

Ama sonra sahibiz

ve bu yüzden istediğiniz gibi.

TersineVarsayalım bize verildi (U, V, W) doyurucu

(*)

Var olduğunu kanıtlıyoruz (x,y,z) öyle ki

(**)

hangisi için

bir istisna dışında: 3.b. durumunda. aşağıda bunun kanıtlanamayacağını gösteriyoruz.

1. Hiçbirinin olmadığı durumda U, V, W 0, ayarlayabiliriz

((*) İfadesinin ya U, V, W'nin üçünün de pozitif ya da tam olarak ikisinin negatif olduğunu garanti ettiğini unutmayın. Yani bu karekökler pozitif sayılardır.)

(**) değerinin geçerli olduğunu onaylamak için (*) kullanımı kolaydır x, y, z bu şekilde tanımlandı.

2. Farz et ki W 0. (*) 'dan bu,

ve dolayısıyla en az biri U, V ayrıca 0 olmalıdır. Bu, tam olarak birinin imkansız olduğunu gösterir. U, V, W 0 olmak.

3. Tam olarak ikisinin U, V, W 0'dır. Genelliği kaybetmeden farz ediyoruz

(***)

Bunu takip eder

(dan beri ima ediyor ki ve dolayısıyla çelişen (***).)

a. Alt durumda nerede

eğer belirlersek x ve y tarafından

ve

bu (*) 'nın geçerli olmasını sağlar. Bunu doğrulamak kolaydır

ve dolayısıyla işaretlerini seçmek x ve y uygun şekilde garanti edecek

Ayrıca

bu gösteriyor ki bu alt harf istenen sohbete yol açar.

b. Vakanın bu kalan alt harfinde 3., sahibiz

Dan beri

bunu kontrol etmek kolay

ve dolayısıyla bu durumda, nerede

var Hayır (x, y, z) doyurucu

Dolayısıyla çözümler (U, 0, 0) denkleminin (*) ile

ve benzer şekilde, (0, V, 0) ile

ve (0, 0, W) ile

(her biri iki parça halinde bir koordinat ekseninin sıkıştırılmamış kısmıdır) Roma yüzeyindeki herhangi bir noktaya karşılık gelmiyor.

4. Eğer (U, V, W) nokta (0, 0, 0), bu durumda herhangi ikisi x, y, z sıfır ve üçüncünün mutlak değeri 1, açıkça istediğiniz gibi.

Bu, tüm olası durumları kapsar.

Parametrik denklemlerin türetilmesi

Bir kürenin yarıçapı olsun r, boylam φve enlem θ. Daha sonra parametrik denklemleri

Ardından, dönüşüm uygulanıyor T bu küredeki tüm noktalara

Roma yüzeyindeki noktalardır. İzin Vermek φ 0 ile 2π arasında değişir ve θ 0 ile π / 2.

Gerçek yansıtmalı düzlemle ilişki

Küre dönüştürülmeden önce homomorfik gerçek yansıtmalı düzleme, RP2. Ama merkezde merkezlenmiş küre şu özelliğe sahiptir, eğer işaret ederse (x, y, z) küreye aittir, öyleyse karşıt nokta da öyle (-x, -y, -z) ve bu iki nokta farklıdır: kürenin merkezinin zıt taraflarında yer alırlar.

Dönüşüm T bu iki zıt noktayı aynı noktaya dönüştürür,

Bu, S'nin tüm noktaları için geçerli olduğundan2, o zaman Roma yüzeyinin "küre modulo antipodlar" ın sürekli bir görüntüsü olduğu açıktır. Bazı farklı antipot çiftlerinin tümü Roma yüzeyinde aynı noktalara götürüldüğünden, homeomorfik değildir. RP2, ancak bunun yerine gerçek yansıtmalı düzlemin bir bölümüdür RP2 = S2 / (x ~ -x). Ayrıca, S'den T haritası (yukarıda)2 bu bölümün, altı çift antipodal noktadan yerel olarak enjekte edilmesi özelliğine sahiptir. Veya RP'den2 ortaya çıkan harita, bunu RP'ye daldırıyor2 - eksi altı puan - 3-boşluğa.

(Daha önce Roma yüzeyinin RP için homeomorfik olduğu belirtilmişti.2ama bu hatalıydı. Daha sonra Roma yüzeyinin RP'nin bir daldırması olduğu belirtildi.2 R'ye3ama bu da hatalıydı.)

Roma yüzeyinin yapısı

Roma yüzeyinde, her biri bir dörtyüzlünün farklı bir köşesinde yer alan dört soğanlı "lob" vardır.

Bir Roma yüzeyi, üç tane birbirine eklenerek inşa edilebilir. hiperbolik paraboloidler ve sonra istenen bir şekle uyması için kenarları gerektiği gibi düzleştirin (örn. parametrizasyon).

Bırakın bu üç hiperbolik paraboloid olsun:

  • x = yz,
  • y = zx,
  • z = xy.

Bu üç hiperbolik paraboloid, bir tetrahedronun altı kenarı boyunca harici olarak ve üç eksen boyunca dahili olarak kesişir. İç kesişimler çift noktaların lokuslarıdır. Çift noktanın üç yeri: x = 0, y = 0 ve z = 0, üç noktadaki kesişme noktasında Menşei.

Örneğin, verilen x = yz ve y = zxikinci paraboloit eşdeğerdir x = y/z. Sonra

ya da y = 0 veya z2 = 1 böylece z = ± 1. İki dış kesişimleri

  • x = y, z = 1;
  • x = −y, z = −1.

Benzer şekilde, diğer harici kavşaklar

  • x = z, y = 1;
  • x = −z, y = −1;
  • y = z, x = 1;
  • y = −z, x = −1.

Bir araya getirilen parçaları görelim. Paraboloidlere katılın y = xz ve x = yz. Sonuç, Şekil 1'de gösterilmektedir.

Şekil 1.

Paraboloid y = x z mavi ve turuncu renkte gösterilir. Paraboloid x = y z mavi ve mor renkte gösterilir. Görüntüde paraboloidlerin z = 0 eksen. Paraboloidler uzatılırsa, hatlar boyunca kesiştikleri görülmelidir.

  • z = 1, y = x;
  • z = −1, y = −x.

İki paraboloid birlikte bir çift gibi görünür orkideler arka arkaya katıldı.

Şimdi üçüncü hiperbolik parabolidi çalıştırın. z = xy, Onlar aracılığıyla. Sonuç, Şekil 2'de gösterilmektedir.

Şekil 2.

Şekil 2'de batı-güneybatı ve doğu-kuzeydoğu yönlerinde bir çift açıklık bulunmaktadır. Bu açıklıklar loblardır ve kapatılması gerekir. Açıklıklar kapatıldığında, sonuç Şekil 3'te gösterilen Roma yüzeyidir.

Şekil 3. Roma yüzeyi.

Şekil 3'ün Batı ve Doğu yönlerinde bir çift lob görülebilir. Üçüncü lobun altında başka bir çift lob gizlenmiştir (z = xy) paraboloit ve Kuzey ve Güney yönlerinde yatıyor.

Üç kesişen hiperbolik paraboloid, bir tetrahedronun kenarları boyunca kesişecek kadar uzağa çekilirse, sonuç Şekil 4'te gösterildiği gibidir.

Şekil 4.

Şekil 4'te loblardan biri önden - baş üstü - görülmektedir. Lob, tetrahedronun dört köşesinden biri olarak görülebilir.

Şekil 4'teki kesintisiz yüzeyin keskin kenarları yuvarlatılmışsa - düzleştirilmişse - o zaman sonuç Şekil 5'teki Roma yüzeyidir.Şekil 5. Roma yüzeyi.

Roma yüzeyinin loblarından biri, Şekil 5'te önden görülmektedir. soğanlı - balon benzeri - şekil belirgindir.

Şekil 5'teki yüzey 180 derece döndürülür ve ardından ters çevrilirse, sonuç Şekil 6'da gösterildiği gibidir.

Şekil 6. Roma yüzeyi.

Şekil 6, yandan görülen üç lobu göstermektedir. Her lob çifti arasında, bir koordinat eksenine karşılık gelen bir çift nokta konumu vardır. Üç lokus, başlangıç ​​noktasında üçlü bir noktada kesişir. Dördüncü lob gizlidir ve izleyicinin tam karşısındaki yönü işaret eder. Bu makalenin üst kısmında gösterilen Roma yüzeyinde de yan görünümde üç lob vardır.

Tek taraflılık

Roma yüzeyiyönlendirilebilir yani tek taraflı. Bu pek açık değil. Bunu görmek için tekrar Şekil 3'e bakın.

RomanSurfaceTopView.PNG

Bir düşünün karınca "üçüncü" nin üstünde hiperbolik paraboloit, z = x y. Bu karıncanın kuzeye hareket etmesine izin verin. Hareket ederken, duvardan geçen bir hayalet gibi diğer iki paraboloidin içinden geçecektir. Bu diğer paraboloidler, daldırma işleminin kendi kendine kesişen doğası nedeniyle yalnızca engeller gibi görünür. Karıncanın tüm ikili ve üçlü noktaları görmezden gelmesine ve bunların içinden geçmesine izin verin. Böylece karınca kuzeye hareket eder ve tabiri caizse dünyanın ucundan düşer. Şimdi kendisini Şekil 3'teki üçüncü paraboloitin altında gizlenmiş olarak kuzey lobunda buluyor. Karınca, Roma yüzeyinin "dışında" baş aşağı duruyor.

Karıncanın Güneybatıya doğru hareket etmesine izin verin. Kendini Batı lobunun "içinde" bulana kadar bir yokuşu (baş aşağı) tırmanacaktır. Şimdi karıncanın Batı lobunun iç kısmı boyunca Güneydoğu yönünde hareket etmesine izin verin. z = 0 eksen, daima yukarıda x-y uçak. İçinden geçer geçmez z = 0 ekseninde karınca doğu lobunun "dışında" sağ tarafta duracaktır.

Sonra kuzeye, "tepenin" üzerinden geçip kuzeybatıya doğru hareket etmesine izin verin, böylece aşağıya doğru kaymaya başlar. x = 0 eksen. Karınca bu ekseni geçer geçmez kendisini kuzey lobunun "içinde" sağ tarafı yukarıda dururken bulacaktır. Şimdi karıncanın kuzeye doğru yürümesine izin verin. Duvara, ardından Kuzey lobunun "çatısı" boyunca tırmanacak. Karınca üçüncü hiperbolik paraboloide geri döndü, ancak bu sefer onun altında ve baş aşağı duruyor. (İle karşılaştırmak Klein şişesi.)

İkili, üçlü ve kıstırma noktaları

Roma yüzeyinde dört "lob" vardır. Her lobun sınırları, üç çizgi çift noktadan oluşan bir kümedir. Her lob çifti arasında bir çift nokta çizgisi vardır. Yüzey, koordinat eksenlerinde (daha önce verilen parametreleştirmede) bulunan toplam üç çizgi çift noktaya sahiptir. Üç çizgi çift nokta, başlangıç ​​noktasında uzanan üçlü noktada kesişir. Üçlü nokta, çift noktaların çizgilerini bir çift yarım çizgiye böler ve her yarım çizgi bir çift lob arasında uzanır. Önceki ifadelerden, koordinat düzlemleri tarafından bölünmüş her bir oktant uzayda bir tane olmak üzere sekize kadar lob olabileceği beklenebilir. Ancak loblar dönüşümlü oktanları işgal eder: dört oktan boştur ve dördü loblar tarafından işgal edilmiştir.

Roma yüzeyi mümkün olan en az hacimle tetrahedronun içine yazılacak olsaydı, tetrahedronun her bir kenarının bir noktada Roma yüzeyine teğet olduğu ve bu altı noktanın her birinin bir Whitney tekillik. Bu tekillikler veya kıstırma noktalarının tümü, üç çizginin çift noktalarının kenarlarında bulunur ve bu özellik ile tanımlanırlar: düzlemin olmadığı teğet tekillikte herhangi bir yüzeye.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Coffman, Adam. "Steiner Roma Yüzeyleri". Ulusal Eğri Bankası. Indiana Üniversitesi - Purdue Üniversitesi Fort Wayne.

Genel referanslar

  • A. Coffman, A. Schwartz ve C. Stanton: Steiner ve diğer Kuadratik Olarak Parametrelendirilebilir Yüzeylerin Cebir ve Geometrisi. İçinde Bilgisayar Destekli Geometrik Tasarım (3) 13 (Nisan 1996), s. 257-286
  • Bert Jüttler, Ragni Piene: Geometrik Modelleme ve Cebirsel Geometri. Springer 2008, ISBN  978-3-540-72184-0, s. 30 (sınırlı çevrimiçi kopya, s. 30, içinde Google Kitapları )

Dış bağlantılar