Yuvarlak işlevi - Round function

"Yuvarlak işlevi" aynı zamanda yuvarlama.

Bu makale şunları içerir: referans listesi, ilgili okuma veya Dış bağlantılar, ancak kaynakları belirsizliğini koruyor çünkü eksik satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (Haziran 2020) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde topoloji ve hesap, bir yuvarlak işlev bir skaler fonksiyon ${displaystyle M o {mathbb {R}}}$, üzerinde manifold ${displaystyle M}$, kimin kritik noktalar bir veya birkaç tane oluşturmak bağlı bileşenler, her biri homomorfik için daire ${görüntü stili S ^ {1}}$, kritik döngüler olarak da adlandırılır. Bunlar özel durumlardır Morse-Bott fonksiyonları.

Bu kritik döngülerin birindeki siyah daire.

Örneğin

Örneğin, izin ver ${displaystyle M}$ ol simit. İzin Vermek

${displaystyle K = (0,2pi) imes (0,2pi).,}$

O zaman bir harita olduğunu biliyoruz

${displaystyle Xcolon K o {mathbb {R}} ^ {3},}$

veren

${displaystyle X (heta, phi) = ((2 + cos heta) cos phi, (2 + cos heta) sin phi, sin heta),}$

neredeyse tümü için bir parametrizasyondur ${displaystyle M}$. Şimdi, projeksiyon aracılığıyla ${displaystyle pi _ {3} iki nokta üst üste {mathbb {R}} ^ {3} o {mathbb {R}}}$kısıtlamayı alıyoruz

${displaystyle G = pi _ {3} | _ {M} kolon M o {mathbb {R}}, (heta, phi) haritalarto sin heta,}$

${displaystyle G = G (heta, phi) = sin heta}$ kritik kümeleri tarafından belirlenen bir işlevdir

${displaystyle {m {grad}} G (heta, phi) = sol ({{kısmi} G bölü {kısmi} heta}, {{kısmi} G bölü {kısmi} phi} ışık)! sol (heta, phight) = (0,0) ,,}$

bu sadece ve ancak ${displaystyle heta = {pi üzeri 2}, {3pi üzeri 2}}$.

Bu iki değer için ${displaystyle heta}$ kritik setleri ver

${displaystyle X ({pi / 2}, phi) = (2cos phi, 2sin phi, 1),}$

${displaystyle X ({3pi / 2}, phi) = (2cos phi, 2sin phi, -1),}$

simit üzerindeki iki ekstrem daireyi temsil eden ${displaystyle M}$.

Gözlemleyin Hessian bu işlev için

${displaystyle {m {hess}} (G) = {egin {bmatrix} -sin heta & 0 0 & 0son {bmatrix}}}$

açıkça kendini ${displaystyle {m {hess}} (G)}$ etiketli dairelerde bire eşittir, kritik noktayı dejenere eder, yani kritik noktaların izole olmadığını gösterir.

Yuvarlak karmaşıklık

Taklit etmek L – S kategori teorisi tanımlanabilir yuvarlak karmaşıklık Manifoldlarda yuvarlak fonksiyonların olup olmadığını ve / veya minimum sayıda kritik döngü olup olmadığını sormak.

Referanslar

• Siersma ve Khimshiasvili, Minimal yuvarlak fonksiyonlarda, Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, s. 18.[1]. Adresinde bir güncelleme [2]