Saint-Venants uyumluluk koşulu - Saint-Venants compatibility condition - Wikipedia

Matematiksel teorisinde esneklik, Saint-Venant'ın uyumluluk koşulu arasındaki ilişkiyi tanımlar Gerginlik ve bir deplasman alanı tarafından

nerede . Barré de Saint-Venant keyfi bir simetrik ikinci kademe için uyumluluk koşulunu türetmiştir tensör alanı bu formda olmak için, bu artık boyut uzayları üzerindeki daha yüksek dereceli simetrik tensör alanlarına genelleştirilmiştir.

2. sıra tensör alanları

Simetrik 2. derece tensör alanı için n boyutlu Öklid uzayında () entegre edilebilirlik koşulu Saint-Venant tensörünün kaybolması şeklini alır [1] tarafından tanımlandı

Sonuç, bir basitçe bağlı W = 0 alanı, suşun bazı vektör alanlarının simetrik türevi olduğunu, ilk olarak Barré de Saint-Venant tarafından 1864'te tanımlandı ve titizlikle kanıtlandı Beltrami 1886'da.[2] Basit olmayan bağlantılı alanlar için, bir vektör alanının simetrik türevi olmayan, kaybolan Saint-Venant tensörlü simetrik tensörlerin sonlu boyutlu uzayları vardır. Durum şuna benzer de Rham kohomolojisi[3]

Saint-Venant tensörü ile yakından ilgilidir Riemann eğrilik tensörü . Gerçekten ilk varyasyon Öklid metriği ile ilgili metrikte bir düzensizlik tam olarak .[4] Sonuç olarak, bağımsız bileşenlerin sayısı aynıdır [5] özellikle boyut için[6] Özellikle için , tek bir bağımsız bileşene sahiptir. Altı vardır.

Elbette en basit şekliyle bileşenleri sürekli türevlenebilir iki kez varsayılmalıdır, ancak daha yeni bir çalışma[2] sonucu çok daha genel bir durumda kanıtlıyor.

Saint-Venant'ın uyumluluk koşulu ile Poincaré'nin lemması azaltılmış bir biçim kullanılarak daha net anlaşılabilir Kröner tensörü [5]

nerede ... permütasyon sembolü. İçin , simetrik bir rank 2 tensör alanıdır. Kaybolması kaybolmasına eşdeğerdir ve bu aynı zamanda üç boyutlu önemli durum için altı bağımsız bileşen olduğunu gösterir. Bu hala Poincaré lemmasındakinden ziyade iki türevi içeriyor olsa da, daha fazla değişken ekleyerek birinci türevleri içeren bir probleme indirgemek mümkündür ve ortaya çıkan 'esneklik kompleksi'nin eşdeğer olduğu gösterilmiştir. de Rham kompleksi.[7]

Diferansiyel geometride bir vektör alanının simetrik türevi aynı zamanda Lie türevi metrik tensörün g vektör alanına göre.

noktalı virgülü takip eden indisler, kovaryant farklılaşmayı gösterir. Kaybolması böylelikle yerel varoluş için entegre edilebilirlik koşulu Öklid durumunda. Yukarıda belirtildiği gibi, bu, Riemann eğrilik tensörünün Öklid metriği etrafında doğrusallaştırılmasının ortadan kalkmasıyla çakışmaktadır.

Daha yüksek dereceli tensörlere genelleme

Saint-Venant'ın uyumluluk koşulu, simetrik tensör alanları için bir analog olarak düşünülebilir. Poincaré'nin lemması çarpık simetrik tensör alanları için (diferansiyel formlar ). Sonuç daha yüksek sıraya genelleştirilebilir simetrik tensör alanlar.[8] F, n-boyutlu açık bir küme üzerinde simetrik bir rank-k tensör alanı olsun Öklid uzayı simetrik türev, aşağıdaki şekilde tanımlanan rank k + 1 tensör alanıdır

virgülden sonra gelen indislerin farklılaşmayı ve parantez içine alınmış indis gruplarının bu indekslere göre simetrileşmeyi gösteren klasik gösterimi kullandığımız yerde. Saint-Venant tensörü simetrik bir rank-k tensör alanının tarafından tanımlanır

ile

Bir basitçe bağlı Öklid uzayında etki alanı ima ediyor ki bazı dereceli k-1 simetrik tensör alanı için .

Referanslar

  1. ^ N.I. Muskhelishvili, Matematiksel Elastisite Teorisinin Bazı Temel Problemleri. Leyden: Noordhoff Stajyeri. Yayın, 1975.
  2. ^ a b C Amrouche, PG Ciarlet, L Gratie, S Kesavan, On Saint Venant'ın uyumluluk koşulları ve Poincaré'nin lemması, C. R. Acad. Sci. Paris, Sör. I, 342 (2006), 887-891. doi:10.1016 / j.crma.2006.03.026
  3. ^ Giuseppe Geymonat, Francoise Krasucki, simetrik matris alanları ve Lipschitz alanlarındaki esneklik kompleksi için Hodge ayrıştırması, SAF VE UYGULAMALI ANALİZ ÜZERİNE İLETİŞİM, Cilt 8, Sayı 1, Ocak 2009, s. 295–309 doi:10.3934 / cpaa.2009.8.295
  4. ^ Philippe G. Ciarlet, Cristinel Mardare, Ming Shen, Eğrisel koordinatlarda doğrusallaştırılmış gerinim tensör alanından bir yer değiştirme alanının kurtarılması, C. R. Acad. Sci. Paris, Sör. I 344 (2007) 535–540
  5. ^ a b D. V. Georgiyecskii ve B. Ye. Pobedrya, Deforme olabilen katıların mekaniğindeki bağımsız uyumluluk denklemlerinin sayısı, Journal of Applied Mathematicsand Mechanics, 68 (2004) 941-946
  6. ^ Weisstein, Eric W. Riemann Tensor. MathWorld'den - Bir Wolfram Web Kaynağı. http://mathworld.wolfram.com/RiemannTensor.html
  7. ^ M Eastwood, Doğrusal elastikiyetten bir kompleks, Rendiconti del circolo mathematico di Palermo, Ser II Suppl 63 (2000), pp23-29
  8. ^ V.A. Sharafutdinov, Tensör Alanlarının İntegral Geometrisi, VSP 1994,ISBN  90-6764-165-0. Bölüm 2.Çevrimiçi sürüm

Ayrıca bakınız