Schrödinger grubu - Schrödinger group

Schrödinger grubu ... simetri grubu serbest parçacığın Schrödinger denklemi. Matematiksel olarak grup SL (2, R) üzerinde hareket eder Heisenberg grubu dış otomorfizmalara göre ve Schrödinger grubu karşılık gelen yarı doğrudan üründür.

Schrödinger cebiri

Schrödinger cebiri, Lie cebiri Schrödinger grubunun. O değil yarı basit. Bir uzay boyutunda, Lie cebirinin yarı doğrudan toplamı olarak elde edilebilir. sl (2, R) ve Heisenberg cebiri; benzer yapılar daha yüksek uzaysal boyutlar için geçerlidir.

İçerir Galilei cebiri merkezi uzantı ile.

${ displaystyle [J_ {a}, J_ {b}] = i epsilon _ {abc} J_ {c}, , !}$

${ displaystyle [J_ {a}, P_ {b}] = i epsilon _ {abc} P_ {c}, , !}$

${ displaystyle [J_ {a}, K_ {b}] = i epsilon _ {abc} K_ {c}, , !}$

${ displaystyle [P_ {a}, P_ {b}] = 0, [K_ {a}, K_ {b}] = 0, [K_ {a}, P_ {b}] = i delta _ {ab} M, , !}$

${ displaystyle [H, J_ {a}] = 0, [H, P_ {a}] = 0, [H, K_ {a}] = iP_ {a}. , !}$

Nerede ${ displaystyle J_ {a}, P_ {a}, K_ {a}, H}$ rotasyon üreteçleridir (açısal momentum operatörü ), mekansal çeviriler (momentum operatörü ), Galilean artırır ve zaman çevirisi (Hamiltoniyen ) buna göre (Notlar: ${ displaystyle i}$ hayali birimdir ${ displaystyle i ^ {2} = - 1}$. Dönme jeneratörlerinin belirli bir şekli ${ displaystyle J_ {a}}$ üç boyutlu uzaylardan biridir, o zaman ${ displaystyle a, b, c = 1, ldots, 3}$.). merkezi uzantı M göreceli olmayan bir yoruma sahiptir kitle ve simetrisine karşılık gelir Schrödinger denklemi faz dönüşümü altında (ve olasılığın korunmasına).

Göstereceğimiz iki jeneratör daha var D ve C. Aşağıdaki komütasyon ilişkilerine sahiptirler:

${ displaystyle [H, C] = iD, [C, D] = - 2iC, [H, D] = 2iH, , !}$

${ displaystyle [P_ {a}, D] = iP_ {a}, [K_ {i}, D] = - iK_ {a}, , !}$

${ displaystyle [P_ {a}, C] = - iK_ {a}, [K_ {a}, C] = 0, , !}$

${ displaystyle [J_ {a}, C] = [J_ {a}, D] = 0. , !}$

Jeneratörler H, C ve D sl (2, R) cebirini oluşturur.

Daha sistematik bir gösterim, bu jeneratörlerin dört (sonsuz) aileye dönüştürülmesine izin verir. ${ displaystyle X_ {n}, Y_ {m} ^ {(j)}, M_ {n}}$ ve ${ displaystyle R_ {n} ^ {(jk)} = - R_ {n} ^ {(kj)}}$, nerede n ∈ ℤ bir tamsayıdır ve m ∈ ℤ + 1/2 yarım tam sayıdır ve j, k = 1, ..., d uzamsal yönü etiketleyin d mekansal boyutlar. Schrödinger cebirinin kaybolmayan komütatörleri (öklid formu) olur

${ displaystyle [X_ {n}, X_ {n '}] = (n-n') X_ {n + n '}}$

${ displaystyle [X_ {n}, Y_ {m} ^ {(j)}] = sol ({n 2'den -m sağ) Y_ {n + m} ^ {(j)}}$

${ displaystyle [X_ {n}, M_ {n '}] = - n'M_ {n + n'}}$

${ displaystyle [X_ {n}, R_ {n '} ^ {(jk)}] = - n'R_ {n'} ^ {(jk)}}$

${ displaystyle [Y_ {m} ^ {(j)}, Y_ {m '} ^ {(k)}] = delta _ {j, k} (m-m') M_ {m + m '}}$

${ displaystyle [R_ {n} ^ {(ij)}, Y_ {m} ^ {(k)}] = delta _ {i, k} Y_ {n + m} ^ {(j)} - delta _ {j, k} Y_ {n + m} ^ {(i)}}$

${ displaystyle [R_ {n} ^ {(ij)}, R_ {n '} ^ {(kl)}] = delta _ {i, k} R_ {n + n'} ^ {(jl)} + delta _ {j, l} R_ {n + n '} ^ {(ik)} - delta _ {i, l} R_ {n + n'} ^ {(jk)} - delta _ {j, k} R_ {n + n '} ^ {(il)}}$

Schrödinger cebiri sonlu boyutludur ve üreteçleri içerir ${ displaystyle X _ {- 1,0,1}, Y _ {- 1 / 2,1 / 2} ^ {(j)}, M_ {0}, R_ {0} ^ {(jk)}}$Özellikle, üç jeneratör ${ displaystyle X _ {- 1} = H, X_ {0} = D, X_ {1} = C}$ sl (2, R) alt cebirini kapsar. Uzay çevirileri şu şekilde üretilir:${ displaystyle Y _ {- 1/2} ^ {(j)}}$ ve Galilei-dönüşümleri ${ displaystyle Y_ {1/2} ^ {(j)}}$.

Seçilen gösterimde, sonsuz boyutlu bir uzantının var olduğu açıkça görülür ve buna Schrödinger – Virasoro cebiriArdından jeneratörler ${ displaystyle X_ {n}}$ ile n tamsayı bir döngü-Virasoro cebirini kapsar. Zaman-uzay dönüşümleri olarak açık bir temsil, ile verilir. n ∈ ℤ ve m ∈ ℤ + 1/2^[1]

${ displaystyle X_ {n} = - t ^ {n + 1} kısmi _ {t} - {n + 1 2} t ^ {n} { vec {r}} cdot kısmi _ { üzerinde vec {r}} - {n (n + 1) over 4} { cal {M}} t ^ {n-1} { vec {r}} cdot { vec {r}} - {x 2'den fazla} (n + 1) t ^ {n}}$

${ displaystyle Y_ {m} ^ {(j)} = - t ^ {m + 1/2} kısmi _ {r_ {j}} - sol (m + {1 2} üzerinde sağ) { cal {M}} t ^ {m-1/2} r_ {j}}$

${ displaystyle M_ {n} = - t ^ {n} { cal {M}}}$

${ displaystyle R_ {n} ^ {(jk)} = - t ^ {n} sol (r_ {j} kısmi _ {r_ {k}} - r_ {k} kısmi _ {r_ {j}} sağ)}$

Bu, merkezi uzantının nasıl ${ displaystyle M_ {0}}$ yarı basit olmayan ve sonlu boyutlu Schrödinger cebiri, Schrödinger-Virasoro cebirinde sonsuz bir ailenin bir bileşeni haline gelir. Ek olarak ve her ikisiyle de benzerlik içinde Virasoro cebiri ya da Kac-Moody cebiri daha fazla merkezi uzantı mümkündür. Ancak, kaybolmayan bir sonuç yalnızca komütatör için mevcuttur${ displaystyle [X_ {n}, X_ {n '}]}$tanıdık Virasoro formunda olması gerektiği yerde, yani

${ displaystyle [X_ {n}, X_ {n '}] = (n-n') X_ {n + n '} + {c 12 üzerinde} (n ^ {3} -n) delta _ {n + n ', 0}}$

veya rotasyonlar arasındaki komütatör için ${ displaystyle R_ {n} ^ {(jk)}}$, bir Kac-Moody formu olması gereken yer. Herhangi bir başka olası merkezi uzantı, Lie cebir oluşturucularına absorbe edilebilir.

Schrödinger grubunun matematiksel fizikteki rolü

Schrödinger grubu, serbest parçacığın simetri grubu olarak tanımlansa da Schrödinger denklemi, bazı etkileşimli göreceli olmayan sistemlerde (örneğin kritiklikteki soğuk atomlar) gerçekleştirilir.

Schrödinger grubu d uzamsal boyutlarda göreceliğe gömülebilir. konformal grup d + 1 boyutlarında SO (2, d + 2). Bu yerleştirme, bir kişinin alabileceği gerçeğiyle bağlantılıdır. Schrödinger denklemi kütlesizden Klein-Gordon denklemi vasıtasıyla Kaluza – Klein kompaktlaştırma sıfır benzeri boyutlar boyunca ve Bargmann kaldırma Newton-Cartan teorisi. Bu gömme aynı zamanda Schrödinger cebirinin maksimal düzeye uzatılması olarak da görülebilir. parabolik alt cebir SO (2, d + 2).

Schrödinger grubu simetrisi, etkileşimli bozonik ve fermiyonik sistemlere egzotik özelliklere yol açabilir. süperakışkanlar bozonlarda^[2][3],ve Fermi sıvıları ve Fermi olmayan sıvılar fermiyonlarda^[4]. Yoğun madde ve soğuk atomlarda uygulamaları vardır.

Schrödinger grubu ayrıca yoğunlaştırılmış madde uygulamalarında dinamik simetri olarak ortaya çıkar:Edwards-Wilkinson modeli kinetik arayüz büyümesi.^[5] Ayrıca manyetik sistemlerde düzensiz fazdan düzenli faza kadar bir sıcaklık söndürüldükten sonra faz sıralaması kinetiğini açıklar.

Referanslar

• C. R. Hagen, "Galilean-Kovaryant Alan Teorisinde Ölçek ve Konformal Dönüşümler", Phys. Rev. D5, 377–388 (1972)
• U. Niederer, "Serbest Schroedinger denkleminin maksimum kinematik değişmezlik grubu", Helv. Phys. Açta 45, 802 (1972)
• G. Burdet, M. Perrin, P. Sorba, "Konformal cebirin relativistik olmayan yapısı hakkında", Comm. Matematik. Phys. 34, 85 (1973)
• M. Henkel, "Schrödinger değişmezliği ve kuvvetli anizotropik kritik sistemler", J. Stat. Phys. 75, 1023 (1994)
• M. Henkel, J. Unterberger, "Schrödinger-değişmezliği ve uzay-zaman simetrileri", Nucl. Phys. B660, 407 (2003)
• A. Röthlein, F. Baumann, M. Pleimling, "Dengesiz büyüme süreçlerinde uzay-zaman fonksiyonlarının simetri temelli belirlenmesi", Phys. Rev. E74, 061604 (2006) - hata mesajı E76, 019901 (2007)
• D.T. Oğlu, "Bir AdS / soğuk atomlar yazışmasına doğru: Schrödinger simetrisinin geometrik bir gerçekleşmesi", Phys. Rev. D78, 046003 (2008)
• A. Bagchi, R. Gopakumar, "Galilean Konformal Cebirleri ve AdS / CFT", JHEP 0907:037 (2009)
• M. Henkel, M. Pleimling, Denge dışı faz geçişleri, cilt 2: yaşlanma ve dengeden uzak dinamik ölçekleme, (Springer, Heidelberg 2010)
• J. Unterberger, C. Roger, Schrödinger-Virasoro cebiri, (Springer, Heidelberg 2012)

Ayrıca bakınız

• Schrödinger denklemi
• Galile dönüşümü
• Poincaré grubu