Sedrakyans eşitsizliği - Sedrakyans inequality - Wikipedia

Bu makalenin birden çok sorunu var. Lütfen yardım et onu geliştir veya bu konuları konuşma sayfası. (Bu şablon mesajların nasıl ve ne zaman kaldırılacağını öğrenin) Bu makale bir yetim, başka hiçbir makale olmadığı gibi ona bağlantı. Lütfen bağlantıları tanıtmak dan bu sayfaya İlgili Makaleler; dene Bağlantı bul aracı öneriler için. (Ağustos 2018) Bu makalenin konusu Wikipedia'nınkiyle buluşmayabilir genel şöhret kılavuzu. Lütfen alıntı yaparak konunun dikkate değer olduğunu göstermeye yardımcı olun güvenilir ikincil kaynaklar bunlar bağımsız ve önemsiz bir şekilde bahsetmenin ötesinde önemli bir kapsam sağlar. Not edilebilirlik gösterilemezse, makale muhtemelen birleşmiş, yönlendirildiveya silindi. Kaynakları bulun: "Sedrakyan eşitsizliği"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Eylül 2018) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin) Bu makaleye önemli bir katkıda bulunanlardan biri yakın bağlantı konusu ile. Özellikle Wikipedia'nın içerik politikalarına uymak için temizlik gerektirebilir tarafsız bakış açısı. Lütfen daha fazla tartışın konuşma sayfası. (Eylül 2018) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Aşağıdaki eşitsizlik olarak bilinir Sedrakyan eşitsizliği, Engel'in formu veya Titu'nun lemmasısırasıyla, "Yararlı bir eşitsizliğin uygulamaları hakkında" nın-nin Nairi Sedrakyan 1997'de yayınlandı,^[1] kitaba Problem çözme stratejileri nın-nin Arthur Engel (matematikçi) 1998'de yayınlandı ve kitaba Matematik Olimpiyat Hazineleri nın-nin Titu Andreescu 2003 yılında yayınlandı.^[2][3]Doğrudan bir sonucudur Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz eşitsizliği. Yine de (1997) Sedrakyan makalesinde bu şekilde yazılan bu eşitsizliğin matematiksel bir kanıtlama tekniği olarak kullanılabileceğini ve çok faydalı olduğunu fark etmiştir. yeni uygulamalar. Kitapta Cebirsel Eşitsizlikler (Sedrakyan), bu eşitsizliğin birkaç genellemesi sağlanmıştır.^[4]

Eşitsizlik beyanı (Nairi Sedrakyan (1997), Arthur Engel (matematikçi) (1998), Titu Andreescu (2003))

Herhangi bir gerçek için ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots, a_ {n}}$ ve pozitif gerçekler ${ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, ldots, b_ {n}}$, sahibiz ${ displaystyle { frac {a_ {1} ^ {2}} {b_ {1}}} + { frac {a_ {2} ^ {2}} {b_ {2}}} + cdots + { frac {a_ {n} ^ {2}} {b_ {n}}} geq { frac {(a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}) ^ {2}} {b_ {1} + b_ {2} + cdots + b_ {n}}}.}$

Doğrudan uygulamalar

Örnek 1. Nesbitt eşitsizliği.

Pozitif gerçek sayılar için ${ displaystyle a, b, c}$ bizde var ${ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {a + c}} + { frac {c} {a + b}} geq { frac {3} { 2}}.}$

Örnek 2. Uluslararası Matematik Olimpiyatı (IMO) 1995.

Pozitif gerçek sayılar için ${ displaystyle a, b, c}$, nerede ${ displaystyle abc = 1}$ bizde var ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {3} (b + c)}} + { frac {1} {b ^ {3} (b + c)}} + { frac {1} { c ^ {3} (a + b)}} geq { frac {3} {2}}.}$

Örnek 3.

Pozitif gerçek sayılar için ${ displaystyle a, b}$ bizde var ${ displaystyle 8 (a ^ {4} + b ^ {4}) geq (a + b) ^ {4}.}$

Örnek 4.

Pozitif gerçek sayılar için ${ displaystyle a, b, c}$ bizde var ${ displaystyle { frac {1} {a + b}} + { frac {1} {b + c}} + { frac {1} {a + c}} geq { frac {9} { 2 (a + b + c)}}.}$

Kanıtlar

Örnek 1.

Bizde var ${ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {a + c}} + { frac {c} {a + b}} = { frac {a ^ {2 }} {a (b + c)}} + { frac {b ^ {2}} {b (a + c)}} + { frac {c ^ {2}} {c (a + b)} } geq { frac {(a + b + c) ^ {2}} {2 (ab + bc + ac)}} geq { frac {3} {2}}.}$

Örnek 2.

Bizde var ${ displaystyle { frac {{ Büyük (} { frac {1} {a}} { Big)} ^ {2}} {a (b + c)}} + { frac {{ Büyük ( } { frac {1} {b}} { Big)} ^ {2}} {b (a + c)}} + { frac {{ Big (} { frac {1} {c}} { Büyük)} ^ {2}} {c (a + b)}} geq { frac {{ Big (} { frac {1} {a}} + { frac {1} {b} } + { frac {1} {c}} { Big)} ^ {2}} {2 (ab + bc + ac)}} = { frac {ab + bc + ac} {2}} geq { frac {3 { sqrt [{3}] {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2}}}} {2}} = { frac {3} {2}}.}$

Örnek 3.

Bizde var ${ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} = { frac {a ^ {4}} {1}} + { frac {b ^ {4}} {1}} geq { frac { (a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2}} {2}} geq { frac {{ Big (} { frac {(a + b) ^ {2}} {2} } { Büyük)} ^ {2}} {2}} = { frac {(a + b) ^ {4}} {8}}.}$

Örnek 4.

Bizde var ${ displaystyle { frac {1} {a + b}} + { frac {1} {b + c}} + { frac {1} {a + c}} geq { frac {(1+ 1 + 1) ^ {2}} {2 (a + b + c)}} = { frac {9} {2 (a + b + c)}}.}$

Referanslar