Sıralı olasılık oranı testi - Sequential probability ratio test

sıralı olasılık oranı testi (SPRT) belirli bir sıralı hipotez testi, tarafından geliştirilmiş Abraham Wald^[1] ve daha sonra Wald tarafından optimum olduğu kanıtlandı ve Jacob Wolfowitz.^[2] Neyman ve Pearson'un 1933 sonucu Wald'a bunu sıralı bir analiz problemi olarak yeniden formüle etmesi için ilham verdi. Neyman-Pearson lemma, aksine, bir pratik kural tüm verilerin ne zaman toplandığı (ve olasılık oranı bilindiği) için.

Başlangıçta kullanım için geliştirilmiş olsa da kalite kontrol SPRT, üretim alanında yapılan çalışmalarda, bir sonlandırma kriteri olarak sınava giren kişilerin bilgisayarlı testinde kullanılmak üzere formüle edilmiştir.^[3]^[4]^[5]

Teori

Klasik olduğu gibi hipotez testi SPRT bir çift hipotezle başlar ${displaystyle H_ {0}}$ ve ${displaystyle H_ {1}}$ için sıfır hipotezi ve alternatif hipotez sırasıyla. Aşağıdaki şekilde belirtilmelidirler:

{displaystyle H_ {0}: p = p_ {0}}

{displaystyle H_ {1}: p = p_ {1}}

Bir sonraki adım, logun kümülatif toplamını hesaplamaktır.olasılık oranı, ${displaystyle log Lambda _ {i}}$ , yeni veriler geldikçe: ${displaystyle S_ {0} = 0}$ , bundan dolayı ${displaystyle i}$ =1,2,...,

{displaystyle S_ {i} = S_ {i-1} + log Lambda _ {i}}

durdurma kuralı basit bir eşikleme şemasıdır:

${displaystyle a$ : izlemeye devam et (kritik eşitsizlik)
${displaystyle S_ {i} geq b}$ : Kabul etmek ${displaystyle H_ {1}}$
${displaystyle S_ {i} leq a}$ : Kabul etmek ${displaystyle H_ {0}}$

nerede ${displaystyle a}$ ve ${displaystyle b}$ ( ${displaystyle a <0$ ) istenen tip I ve tip II hataları, ${displaystyle alpha}$ ve ${displaystyle eta}$ . Aşağıdaki şekilde seçilebilirler:

${displaystyle aapprox günlüğü {frac {eta} {1-alpha}}}$ ve ${displaystyle bapprox günlüğü {frac {1- eta} {alpha}}}$

Diğer bir deyişle, ${displaystyle alpha}$ ve ${displaystyle eta}$ Eşikleri uygun şekilde ayarlamak için önceden karar verilmelidir. Sayısal değer, uygulamaya bağlı olacaktır. Yalnızca bir yaklaşım olmasının nedeni, farklı durumda, sinyalin örnekler arasındaki eşiği geçebilmesidir. Böylece hata yapmanın cezasına ve Örnekleme frekansı eşikler daha agresif bir şekilde belirlenebilir. Kesintisiz durumda kesin sınırlar doğrudur.

Misal

Bir ders kitabı örneği parametre tahmini bir olasılık dağılım işlevi. Yi hesaba kat üstel dağılım:
${displaystyle f_ {heta} (x) = heta ^ {- 1} e ^ {- {frac {x} {heta}}}, qquad x, heta> 0}$
Hipotezler
${displaystyle {egin {case} H_ {0}: heta = heta _ {0} H_ {1}: heta = heta _ {1} end {case}} qquad heta _ {1}> heta _ {0}. }$
Daha sonra, bir örnek için log-olabilirlik fonksiyonu (LLF)
${displaystyle {egin {hizalı} log Lambda (x) & = log left ({frac {heta _ {1} ^ {- 1} e ^ {- {frac {x} {heta _ {1}}}}} { heta _ {0} ^ {- 1} e ^ {- {frac {x} {heta _ {0}}}}} ight) & = log sola ({frac {heta _ {0}} {heta _ {1}}} e ^ {{frac {x} {heta _ {0}}} - {frac {x} {heta _ {1}}}} ight) & = log left ({frac {heta _ { 0}} {heta _ {1}}} ight) + log sola (e ^ {{frac {x} {heta _ {0}}} - {frac {x} {heta _ {1}}}} ight) & = - günlük sola ({frac {heta _ {1}} {heta _ {0}}} ight) + sol ({frac {x} {heta _ {0}}} - {frac {x} {heta _ {1}}} ight) & = - günlük sola ({frac {heta _ {1}} {heta _ {0}}} ight) + sol ({frac {heta _ {1} - heta _ {0 }} {heta _ {0} heta _ {1}}} ight) xend {hizalı}}}$
Hepsi için LLF'lerin kümülatif toplamı $x$ dır-dir
${displaystyle S_ {n} = sum _ {i = 1} ^ {n} log Lambda (x_ {i}) = - nlog sol ({frac {heta _ {1}} {heta _ {0}}} ight) + sol ({frac {heta _ {1} - heta _ {0}} {heta _ {0} heta _ {1}}} ight) toplam _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$
Buna göre, durdurma kuralı:
${displaystyle a <-nlog sol ({frac {heta _ {1}} {heta _ {0}}} ight) + sol ({frac {heta _ {1} - heta _ {0}} {heta _ {0 } heta _ {1}}} ight) toplam _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}$
Yeniden düzenlemeden sonra nihayet bulduk
${displaystyle a + nlog left ({frac {heta _ {1}} {heta _ {0}}} ight)$
Eşikler sadece ikidir paralel çizgiler ile eğim ${displaystyle günlüğü (heta _ {1} / heta _ {0})}$ . Numune alma, numunelerin toplamı dışarıda bir gezi yaptığında durmalıdır. devam eden örnekleme bölgesi.
Başvurular

İmalat
Test, oran metriğine göre yapılır ve bir değişkenin p istenen iki noktadan birine eşittir, p₁ veya p₂. Bu iki nokta arasındaki bölge, kayıtsızlık bölgesi (IR). Örneğin, fabrikada birçok gereç üzerinde bir kalite kontrol çalışması yaptığınızı varsayalım. Yönetim, partinin% 3 veya daha az kusurlu widget'a sahip olmasını ister, ancak% 1 veya daha azı, uçan renklerle geçebilecek ideal partidir. Bu örnekte, p₁ = 0.01 ve p₂ = 0.03 ve aralarındaki bölge IR'dir, çünkü yönetim bu lotları marjinal kabul eder ve her iki şekilde sınıflandırılmalarında sorun yoktur. Widget'lar, test, kabul edilebilir bir hata seviyesi dahilinde, partinin ideal olduğunu veya reddedilmesi gerektiğini belirleyene kadar partiden (sıralı analiz) birer birer örneklenir.
İnsan sınava girenlerin testi
SPRT şu anda sınava girenleri değişken uzunlukta sınıflandırmanın baskın yöntemidir. bilgisayarlı sınıflandırma testi (ŞNT)^{[kaynak belirtilmeli ]}. İki parametre p₁ ve p₂ orantılı doğru metriğe göre sınava girenler için bir kesme puanı (eşik) belirleyerek ve bu kesme puanının üstünde ve altında bir nokta seçerek belirlenir. Örneğin, kesme puanının bir test için% 70 olarak ayarlandığını varsayalım. Seçebiliriz p₁ = 0.65 ve p₂ = 0.75 . Test daha sonra, sınava giren kişinin o metrikteki gerçek puanının bu iki noktadan birine eşit olma olasılığını değerlendirir. Sınava giren kişi% 75 oranında olduğu tespit edilirse geçer,% 65 oranında olduğu tespit edilirse başarısız olur.
Bu noktalar tamamen keyfi olarak belirtilmemiştir. Bir kesme puanı her zaman yasal olarak savunulabilir bir yöntemle ayarlanmalıdır, örneğin değiştirilmiş Angoff prosedürü. Yine, kayıtsızlık bölgesi, test tasarımcısının herhangi bir şekilde gitmekte (başarılı veya başarısız) uygun olduğu puan bölgesini temsil eder. Üst parametre p₂ kavramsal olarak test tasarımcısının bir Başarısızlık durumunda kabul etmeye istekli olduğu en yüksek düzey (çünkü altındaki herkesin başarısız olma şansı yüksektir) ve daha düşük parametredir p₁ test tasarımcısının bir geçiş için kabul etmeye istekli olduğu en düşük seviyedir (çünkü üstündeki herkesin geçme şansı yüksektir). Bu tanım nispeten küçük bir yük gibi görünse de, lisanslama testinin yüksek riskli durumu tıp doktorları için: hangi noktada birinin bu iki düzeyden birinde olduğunu düşünmeliyiz?
SPRT testlere ilk kez şu günlerde uygulandı: klasik test teorisi, önceki paragrafta uygulandığı gibi, Reckase (1983) şunu önermiştir: madde yanıt teorisi belirlemek için kullanılabilir p₁ ve p₂ parametreleri. Kesme puanı ve kayıtsızlık bölgesi, gizli yetenek (teta) ölçüsünde tanımlanır ve hesaplama için oran ölçüsüne çevrilir. O zamandan beri CCT üzerine yapılan araştırmalar bu metodolojiyi çeşitli nedenlerle uyguladı:
Büyük kalem kümeleri IRT ile kalibre edilme eğilimindedir
Bu, parametrelerin daha doğru şekilde tanımlanmasını sağlar
Her bir öğe için öğe yanıt işlevini kullanarak, parametrelerin öğeler arasında kolayca değişmesine izin verilir.
Anormal tıbbi sonuçların tespiti
Spiegelhalter et al.^[6] SPRT'nin doktorların, cerrahların ve diğer tıp pratisyenlerinin performansını potansiyel olarak anormal sonuçlara erken uyarı verecek şekilde izlemek için kullanılabileceğini göstermiştir. 2003 tarihli makalelerinde, bunun tanımlanmasına nasıl yardımcı olabileceğini gösterdiler. Harold Shipman kimliği belirlenmeden çok önce bir katil olarak.
Uzantılar

MaxSPRT
Daha yakın zamanlarda, 2011'de, Maksimize Edilmiş Sıralı Olasılık Oranı Testi (MaxSPRT) olarak adlandırılan SPRT yönteminin bir uzantısı^[7] tanıtılmıştı. MaxSPRT'nin göze çarpan özelliği, birleşik, tek taraflı bir alternatif hipotezin sağlanması ve bir üst durdurma sınırının getirilmesidir. Yöntem, birkaç tıbbi araştırma çalışmasında kullanılmıştır.^[8]
Ayrıca bakınız

CUSUM
Bilgisayarlı sınıflandırma testi
Wald testi
Olabilirlik-oran testi
Referanslar

^ Wald, Abraham (Haziran 1945). "İstatistiksel Hipotezlerin Sıralı Testleri". Matematiksel İstatistik Yıllıkları. 16 (2): 117–186. doi:10.1214 / aoms / 1177731118. JSTOR 2235829.
^ Wald, A .; Wolfowitz, J. (1948). "Sıralı Olasılık Oranı Testinin Optimum Karakteri". Matematiksel İstatistik Yıllıkları. 19 (3): 326–339. doi:10.1214 / aoms / 1177730197. JSTOR 2235638.
^ Ferguson, Richard L. (1969). Bireysel olarak belirlenmiş bir talimat programı için bilgisayar destekli dallanmış bir testin geliştirilmesi, uygulanması ve değerlendirilmesi. Yayınlanmamış doktora tezi, University of Pittsburgh.
^ Reckase, M. D. (1983). Özelleştirilmiş testi kullanarak karar verme prosedürü. D.J. Weiss (Ed.), Testte Yeni Ufuklar: Gizli özellik teorisi ve bilgisayarlı uyarlamalı test (sayfa 237-254). New York: Akademik Basın.
^ Eggen, T.J.H.M (1999). "Sıralı Olasılık Oranı Testi ile Uyarlanabilir Testte Öğe Seçimi". Uygulamalı Psikolojik Ölçüm. 23 (3): 249–261. doi:10.1177/01466219922031365.
^ Riske göre ayarlanmış sıralı olasılık oranı testleri: Bristol, Shipman ve yetişkin kalp cerrahisine uygulama Spiegelhalter, D. ve ark. Int J Qual Health Care cilt 15 7-13 (2003)
^ Kulldorff, Martin; Davis, Robert L .; Kolczak †, Margarette; Lewis, Edwin; Lieu, Tracy; Platt Richard (2011). "İlaç ve Aşı Güvenliği Gözetimi için Maksimize Edilmiş Sıralı Olasılık Oranı Testi". Sıralı Analiz. 30: 58–78. doi:10.1080/07474946.2011.539924.
^ 1. bölümün 2. ila son paragrafı: http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/07474946.2011.539924 İlaç ve Aşı Güvenliği Gözetimi için Maksimize Edilmiş Bir Sıralı Olasılık Oranı Testi Kulldorff, M. ve diğerleri Sıralı Analiz: Tasarım Yöntemleri ve Uygulamaları cilt 30, sayı 1
daha fazla okuma

Ghosh, Bhaskar Kumar (1970). İstatistiksel Hipotezlerin Sıralı Testleri. Okuma: Addison-Wesley.
Holger Wilker: Sıralı-Statistik in der Praxis, Yönetim Kurulu, Norderstedt 2012, ISBN 978-3848232529.
Dış bağlantılar

Wald'ın Sıralı Olasılık Oranı Testi için R Stéphane Bottine tarafından
Wald'ın Sıralı Olasılık Oranı Testi için Python Zhenning Yu tarafından

[1] Wald, Abraham (Haziran 1945). "İstatistiksel Hipotezlerin Sıralı Testleri". Matematiksel İstatistik Yıllıkları. 16 (2): 117–186. doi:10.1214 / aoms / 1177731118. JSTOR 2235829.

[2] Wald, A .; Wolfowitz, J. (1948). "Sıralı Olasılık Oranı Testinin Optimum Karakteri". Matematiksel İstatistik Yıllıkları. 19 (3): 326–339. doi:10.1214 / aoms / 1177730197. JSTOR 2235638.

[3] Ferguson, Richard L. (1969). Bireysel olarak belirlenmiş bir talimat programı için bilgisayar destekli dallanmış bir testin geliştirilmesi, uygulanması ve değerlendirilmesi. Yayınlanmamış doktora tezi, University of Pittsburgh.

[4] Reckase, M. D. (1983). Özelleştirilmiş testi kullanarak karar verme prosedürü. D.J. Weiss (Ed.), Testte Yeni Ufuklar: Gizli özellik teorisi ve bilgisayarlı uyarlamalı test (sayfa 237-254). New York: Akademik Basın.

[Eggen1999-5] Eggen, T.J.H.M (1999). "Sıralı Olasılık Oranı Testi ile Uyarlanabilir Testte Öğe Seçimi". Uygulamalı Psikolojik Ölçüm. 23 (3): 249–261. doi:10.1177/01466219922031365.

[6] Riske göre ayarlanmış sıralı olasılık oranı testleri: Bristol, Shipman ve yetişkin kalp cerrahisine uygulama Spiegelhalter, D. ve ark. Int J Qual Health Care cilt 15 7-13 (2003)

[7] Kulldorff, Martin; Davis, Robert L .; Kolczak †, Margarette; Lewis, Edwin; Lieu, Tracy; Platt Richard (2011). "İlaç ve Aşı Güvenliği Gözetimi için Maksimize Edilmiş Sıralı Olasılık Oranı Testi". Sıralı Analiz. 30: 58–78. doi:10.1080/07474946.2011.539924.

[8] 1. bölümün 2. ila son paragrafı: http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/07474946.2011.539924 İlaç ve Aşı Güvenliği Gözetimi için Maksimize Edilmiş Bir Sıralı Olasılık Oranı Testi Kulldorff, M. ve diğerleri Sıralı Analiz: Tasarım Yöntemleri ve Uygulamaları cilt 30, sayı 1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]