Küme-teorik limit - Set-theoretic limit

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Küme-teorik sınır"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Nisan 2015) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde matematik, limit bir sıra nın-nin setleri Bir₁, Bir₂, ... (alt kümeler ortak bir setin X), öğeleri iki eşdeğer yoldan biriyle dizi tarafından belirlenen bir kümedir: (1) aynı kümeye monoton olarak yakınsayan dizinin üst ve alt sınırlarına göre (benzer gerçek değerli dizilerin yakınsaması ) ve (2) bir dizinin yakınsamasıyla gösterge fonksiyonları kendileri gerçek değerli. Diğer nesnelerin dizilerinde olduğu gibi, yakınsama gerekli veya hatta olağan değildir.

Daha genel olarak, yine gerçek değerli dizilere benzer şekilde, daha az kısıtlayıcı minimum sınırı ve üst limit Bir dizi dizisi her zaman mevcuttur ve yakınsamayı belirlemek için kullanılabilir: limit, alt limit ve limit supremum aynıysa mevcuttur. (Aşağıya bakınız). Bu tür belirlenmiş sınırlar, teori ölçmek ve olasılık.

Burada açıklanan infimum ve supremum sınırlarının birikim noktaları kümelerini, yani kümeleri içerdiği yaygın bir yanılgıdır. x = lim_k→∞ x_kher biri nerede x_k bazılarında Bir_nk. Bu yalnızca yakınsama tarafından belirlenirse doğrudur ayrık metrik (yani, x_n → x varsa N öyle ki x_n = x hepsi için n ≥ N). Bu makale, ölçü teorisi ve olasılıkla ilgili tek makale olduğu için bu durumla sınırlıdır. Aşağıdaki örneklere bakın. (Öte yandan, daha genel var küme yakınsamasının topolojik kavramları farklı altta birikim noktaları içeren ölçümler veya topolojiler.)

Tanımlar

İki tanım

Farz et ki ${ displaystyle (A_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty}}$ kümeler dizisidir. İki eşdeğer tanım aşağıdaki gibidir.

• Kullanma Birlik ve kavşak: tanımlamak^[1]

${ displaystyle liminf _ {n rightarrow infty} A_ {n} = bigcup _ {n geq 1} bigcap _ {j geq n} A_ {j}}$

ve

${ displaystyle limsup _ {n rightarrow infty} A_ {n} = bigcap _ {n geq 1} bigcup _ {j geq n} A_ {j}}$

Bu iki küme eşitse, dizinin küme-teorik sınırı Bir_n vardır ve bu ortak kümeye eşittir. Limiti elde etmek için yukarıda açıklandığı gibi set kullanılabilir ve limiti almanın başka yolları da olabilir.

• Kullanma gösterge fonksiyonları: İzin Vermek 1_Birn(x) 1'e eşitse x içinde Bir_n, aksi takdirde 0. Tanımlamak^[1]

${ displaystyle liminf _ {n rightarrow infty} A_ {n} = {x X: liminf _ {n rightarrow infty} mathbf {1} _ {A_ {n}} (x) = 1 }}$

ve

${ displaystyle limsup _ {n rightarrow infty} A_ {n} = {x X: limsup _ {n rightarrow infty} mathbf {1} _ {A_ {n}} (x) = 1 },}$

sağdaki parantez içindeki ifadeler sırasıyla minimum sınırı ve üst limit gerçek değerli dizinin 1_Birn(x). Yine, bu iki küme eşitse, dizinin küme-teorik sınırı Bir_n vardır ve bu ortak kümeye eşittir ve yukarıda açıklandığı gibi her biri sınırı elde etmek için kullanılabilir.

Tanımların denkliğini görmek için sınırı minimum düşünün. Kullanımı De Morgan kanunu Aşağıda limit üstünlüğü için bunun neden yeterli olduğu açıklanmaktadır. Gösterge işlevleri yalnızca 0 ve 1 değerlerini aldığından, lim inf_n→∞ 1_Birn(x) = 1 ancak ve ancak 1_Birn(x) 0 değerini yalnızca sonlu sayıda alır. Eşdeğer olarak, ${ displaystyle scriptstyle x , in , bigcup _ {n geq 1} bigcap _ {j geq n} A_ {j}}$ eğer ve sadece varsa n öyle ki eleman içinde Bir_m her biri için m ≥ nbu, eğer ve ancak x ∉ Bir_n sadece sonlu sayıda n.

Bu nedenle, x içinde lim inf_n→∞ Bir_n iff x hepsi ama sonlu sayıda Bir_n. Bu nedenle, limit infimum için kısa bir ifade "x ∈ Bir_n hepsi ancak sonlu sıklıkla ", genellikle ile veya ile ifade edilir"Bir_n a.b.f.o. ".

Benzer şekilde, bir öğe x ne kadar büyük olursa olsun, limit üstünlüğündedir n var mı m ≥ n öyle ki eleman içinde Bir_m. Yani, x en yüksek limit içinde x sonsuz sayıda Bir_n. Bu nedenle, limit supremum için kısa bir ifade "x ∈ Bir_n sonsuz sıklıkla ", tipik olarak"Bir_n i.o. ".

Başka bir deyişle, limit infimum, "sonunda sonsuza kadar kalan" öğelerden oluşur ( her biri sonra ayarla biraz n), limit üstünlüğü ise "asla sonsuza kadar ayrılmayan" unsurlardan oluşur ( biraz sonra ayarla her biri n).

Monoton diziler

Sekans (Bir_n) olduğu söyleniyor artmayan Eğer Bir_n+1 ⊆ Bir_n her biri için n, ve azalmayan Eğer Bir_n ⊆ Bir_n+1 her biri için n. Bu durumların her birinde belirlenen limit mevcuttur. Örneğin, artmayan bir dizi düşünün (Bir_n). Sonra

${ displaystyle bigcap _ {j geq n} A_ {j} = bigcap _ {j geq 1} A_ {j} { text {ve}} bigcup _ {j geq n} A_ {j} = A_ {n}.}$

Bunlardan şunu takip eder:

${ displaystyle liminf _ {n rightarrow infty} A_ {n} = bigcup _ {n geq 1} bigcap _ {j geq n} A_ {j} = bigcap _ {j geq 1} A_ {j} = bigcap _ {n geq 1} bigcup _ {j geq n} A_ {j} = limsup _ {n rightarrow infty} A_ {n}.}$

Benzer şekilde, if (Bir_n) o zaman azalmıyor

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} A_ {n} = bigcup _ {j geq 1} A_ {j}.}$

Özellikleri

• Sınırı ise 1_Birn(x), gibi n sonsuza gider, herkes için vardır x sonra

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} A_ {n} = {x X: lim _ {n rightarrow infty} mathbf {1} _ {A_ {n}} (x) = 1 }.}$

Aksi takdirde, sınır (Bir_n) bulunmuyor.

• Limit üst limitinin limit supremumunda bulunduğu gösterilebilir:

${ displaystyle liminf _ {n ila infty} A_ {n} subseteq limsup _ {n ila infty} A_ {n},}$

örneğin, sadece bunu gözlemleyerek x ∈ Bir_n hepsi ama sonlu sıklıkla ima eder x ∈ Bir_n sonsuz sıklıkla.

• Kullanmak monotonluk nın-nin ${ displaystyle scriptstyle B_ {n} , = , bigcap _ {j geq n} A_ {j}}$ ve ${ displaystyle scriptstyle C_ {n} , = , bigcup _ {j geq n} A_ {j}}$,

${ displaystyle liminf _ {n ila infty} A_ {n} = lim _ {n ila infty} bigcap _ {j geq n} A_ {j} quad { text {ve}} quad limsup _ {n - infty} A_ {n} = lim _ {n - infty} bigcup _ {j geq n} A_ {j}.}$

• Kullanarak De Morgan kanunu iki kez tamamlayıcı ayarla Bir^c = X \ Bir,

${ displaystyle liminf _ {n rightarrow infty} A_ {n} = bigcup _ {n} { Bigl (} bigcup _ {j geq n} A_ {j} ^ {c} { Bigr) } ^ {c} = { Bigl (} bigcap _ {n} bigcup _ {j geq n} A_ {j} ^ {c} { Bigr)} ^ {c} = { Bigl (} limsup _ {n rightarrow infty} A_ {n} ^ {c} { Bigr)} ^ {c}.}$

Yani, x ∈ Bir_n hepsi ama sonlu sıklıkla aynıdır x ∉ Bir_n sonlu sıklıkla.

• Yukarıdaki ikinci tanımdan ve gerçek değerli bir dizinin alt sınırı ve üst sınırı sınır tanımlarından,

${ displaystyle { textbf {1}} _ { liminf _ {n rightarrow infty} A_ {n}} (x) = liminf _ {n rightarrow infty} { textbf {1}} _ { A_ {j}} (x) = sup _ {n geq 1} inf _ {j geq n} { textbf {1}} _ {A_ {j}} (x)}$

ve

${ displaystyle { textbf {1}} _ { limsup _ {n rightarrow infty} A_ {n}} (x) = limsup _ {n rightarrow infty} { textbf {1}} _ { A_ {j}} (x) = inf _ {n geq 1} sup _ {j geq n} { textbf {1}} _ {A_ {j}} (x).}$

• Varsayalım ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}$ bir σ-cebir alt kümelerinin X. Yani, ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}$ dır-dir boş değil ve tamamlayıcı altında ve birlikler ve kesişimler altında kapalıdır sayıca çok setleri. Sonra, yukarıdaki ilk tanıma göre, eğer her biri Bir_n ∈ ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}$ sonra ikisi de lim inf_{n → ∞} Bir_n ve lim sup_{n → ∞} Bir_n unsurları ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}$.

Örnekler

• İzin Vermek Bir_n = (−1/n, 1 − 1/n]. Sonra

${ displaystyle liminf _ {n rightarrow infty} A_ {n} = bigcup _ {n} bigcap _ {j geq n} { Bigl (} - { frac {1} {j}}, 1 - { frac {1} {j}} { Bigr]} = bigcup _ {n} { Bigl [} 0,1 - { frac {1} {n}} { Bigr]} = [ 0,1)}$

ve

${ displaystyle limsup _ {n rightarrow infty} A_ {n} = bigcap _ {n} bigcup _ {j geq n} { Bigl (} - { frac {1} {j}}, 1 - { frac {1} {j}} { Bigr]} = bigcap _ {n} { Bigl (} - { frac {1} {n}}, 1 { Bigr)} = [0 , 1).}$

Yani lim_n→∞ Bir_n = [0, 1) var.

• Önceki örneği şu şekilde değiştirin: Bir_n = ((−1)ⁿ/n, 1 − (−1)ⁿ/n]. Sonra

${ displaystyle liminf _ {n rightarrow infty} A_ {n} = bigcup _ {n} bigcap _ {j geq n} { Bigl (} { frac {(-1) ^ {j} } {j}}, 1 - { frac {(-1) ^ {j}} {j}} { Bigr]} = bigcup _ {n} { Bigl (} { frac {1} {2n }}, 1 - { frac {1} {2n}} { Bigr]} = (0,1)}$

ve

${ displaystyle limsup _ {n rightarrow infty} A_ {n} = bigcap _ {n} bigcup _ {j geq n} { Bigl (} { frac {(-1) ^ {j} } {j}}, 1 - { frac {(-1) ^ {j}} {j}} { Bigr]} = bigcap _ {n} { Bigl (} - { frac {1} { 2n-1}}, 1 + { frac {1} {2n-1}} { Bigr]} = [0,1].}$

Yani lim_n→∞Bir_n sol ve sağ uç noktaları olmasına rağmen mevcut değildir. aralıklar sırasıyla 0 ve 1'e yakınsayın.

• İzin Vermek Bir_n = {0, 1/n, 2/n, ..., (n−1)/n, 1}. Sonra

${ displaystyle bigcup _ {j geq n} A_ {j} = mathbb {Q} cap [0,1]}$

(hepsi bu rasyonel sayılar 0 ile 1 arasında, dahil) çünkü için bile j < n ve 0 ≤ k ≤ j, k/j = (nk)/(nj) yukarıdakilerin bir unsurudur. Bu nedenle,

${ displaystyle limsup _ {n rightarrow infty} A_ {n} = mathbb {Q} cap [0,1].}$

Diğer taraftan,

${ displaystyle bigcap _ {j geq n} A_ {j} = {0,1 },}$

Hangi ima

${ displaystyle liminf _ {n rightarrow infty} A_ {n} = {0,1 }.}$

Bu durumda dizi Bir₁, Bir₂, ... bir limiti yoktur. Bunu not et lim sup_n→∞ Bir_n tüm aralık olacak olan birikim noktaları kümesi değildir [0, 1] (her zamanki gibi Öklid metriği ).

Olasılık kullanımları

Ayar limitleri, özellikle de minimum limit ve limit supremum, aşağıdakiler için gereklidir: olasılık ve teori ölçmek. Bu tür sınırlar, diğer, daha amaçlı kümelerin olasılıklarını ve ölçümlerini hesaplamak (veya kanıtlamak) için kullanılır. Takip etmek için, ${ displaystyle scriptstyle (X, { mathcal {F}}, mathbb {P})}$ bir olasılık uzayı yani ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}$ bir σ-cebir alt kümelerinin ${ displaystyle scriptstyle X}$ ve ${ displaystyle scriptstyle mathbb {P}}$ bir olasılık ölçüsü σ-cebir üzerinde tanımlı. Σ-cebirindeki kümeler şu şekilde bilinir: Etkinlikler.

Eğer Bir₁, Bir₂, ... bir tek tonlu dizi olayların ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}$ sonra lim_n→∞ Bir_n var ve

${ displaystyle mathbb {P} ( lim _ {n rightarrow infty} A_ {n}) = lim _ {n rightarrow infty} mathbb {P} (A_ {n}).}$

Borel-Cantelli lemmaları

Olasılıkla, iki Borel-Cantelli lemmaları bir olaylar dizisinin limupunun 1 veya 0'a eşit olasılığa sahip olduğunu göstermek için faydalı olabilir. İlk (orijinal) Borel-Cantelli lemmasının ifadesi şöyledir:

${ displaystyle { text {if}} sum _ {n = 1} ^ { infty} mathbb {P} (A_ {n}) < infty { text {sonra}} mathbb {P} ( limsup _ {n rightarrow infty} A_ {n}) = 0.}$

İkinci Borel-Cantelli lemması kısmi bir tersidir:

${ displaystyle { text {if}} A_ {1}, A_ {2}, dots { text {bağımsız olaylardır ve}} sum _ {n = 1} ^ { infty} mathbb {P} (A_ {n}) = infty { text {sonra}} mathbb {P} ( limsup _ {n rightarrow infty} A_ {n}) = 1.}$

Neredeyse kesin yakınsama

En önemli uygulamalardan biri olasılık göstermek için neredeyse kesin yakınsama bir dizi rastgele değişkenler. Rastgele değişkenler dizisinin Y₁, Y₂, ... başka bir rastgele değişkene yakınsar Y resmen şu şekilde ifade edilir: ${ displaystyle scriptstyle { limsup _ {n ila infty} | Y_ {n} -Y | = 0 }}$. Bununla birlikte, bunu basitçe bir olaylar limonu olarak yazmak yanlış olur. Yani bu değil olay ${ displaystyle scriptstyle limsup _ {n ila infty} {| Y_ {n} -Y | = 0 }}$! Bunun yerine Tamamlayıcı olayın

${ displaystyle { limsup _ {n ila infty} | Y_ {n} -Y | neq 0 } = { limsup _ {n ila infty} | Y_ {n} -Y |> { frac {1} {k}} { text {bazıları için}} k }}$

${ displaystyle = bigcup _ {k geq 1} bigcap _ {n geq 1} bigcup _ {j geq n} {| Y_ {j} -Y |> { frac {1} {k }} } = lim _ {k ila infty} limsup _ {n ila infty} {| Y_ {n} -Y |> { frac {1} {k}} }.}$

Bu nedenle,

${ displaystyle mathbb {P} ( { limsup _ {n ila infty} | Y_ {n} -Y | neq 0 }) = lim _ {k ila infty} mathbb {P } ( limsup _ {n ila infty} {| Y_ {n} -Y |> { frac {1} {k}} }).}$

Referanslar