İmza operatörü - Signature operator - Wikipedia

İçinde matematik, imza operatörü bir eliptik diferansiyel operatör uzayının belirli bir alt uzayında tanımlanmıştır diferansiyel formlar çift ​​boyutlu kompakt Riemann manifoldu, kimin analitik indeks ile aynı topolojik imza Manifoldun boyutu dörtten bir kat ise manifoldun[1] Dirac tipi bir operatörün bir örneğidir.

Çift boyutlu durumda tanım

İzin Vermek kompakt ol Riemann manifoldu eşit boyutta . İzin Vermek

ol dış türev açık -inci derece diferansiyel formlar açık . Riemann metriği tanımlamamıza izin verir Hodge yıldız operatörü ve onunla iç ürün

formlarda. Gösteren

ek operatör dış diferansiyelin . Bu operatör, tamamen Hodge yıldız operatörü açısından şu şekilde ifade edilebilir:

Şimdi düşünün tüm formların alanı üzerinde hareket etmek Bunu derecelendirilmiş bir operatör olarak düşünmenin bir yolu şudur: fasulye evrim alanında herşey tarafından tanımlanan formlar:

Doğrulandı ile işe gidip gelme karşıtı ve sonuç olarak, -eigenspace nın-nin

Sonuç olarak,

Tanım: Operatör yukarıdaki derecelendirmeyle sırasıyla yukarıdaki operatör denir imza operatörü nın-nin .[2]

Garip boyutlu durumda tanım

Tek boyutlu durumda, imza operatörünün çift ​​boyutlu formları üzerinde hareket etmek .

Hirzebruch İmza Teoremi

Eğer , böylece boyutu dördün katı ise Hodge teorisi ima ediyor ki:

sağ taraf nerede topolojik imza (yani ikinci dereceden bir formun imzası açık tarafından tanımlanan fincan ürünü ).

Isı Denklemi Yaklaşım Atiyah-Singer indeks teoremi daha sonra şunu göstermek için kullanılabilir:

nerede ... Hirzebruch L-Polinomu,[3] ve Pontrjagin formları açık .[4]

Yüksek endekslerin homotopi değişmezliği

Kaminker ve Miller, imza operatörünün yüksek indekslerinin homotopi-değişmez olduğunu kanıtladı.[5]

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

  • Atiyah, M.F .; Bott, R. (1967), "Eliptik kompleksler I için bir Lefschetz sabit nokta formülü", Matematik Yıllıkları, 86 (2): 374–407, doi:10.2307/1970694, JSTOR  1970694
  • Atiyah, M.F .; Bott, R .; Patodi, V.K. (1973), "Isı denklemi ve indeks teoremi hakkında", Buluşlar Matematik., 19 (4): 279–330, doi:10.1007 / bf01425417
  • Gilkey, P.B. (1973), "Eğrilik ve eliptik kompleksler için Laplacian'ın özdeğerleri", Matematikteki Gelişmeler, 10 (3): 344–382, doi:10.1016/0001-8708(73)90119-9
  • Hirzebruch, Friedrich (1995), Cebirsel Geometride Topolojik Yöntemler, 4. baskı, Berlin ve Heidelberg: Springer-Verlag. Pp. 234, ISBN  978-3-540-58663-0
  • Kaminker, Jerome; Miller, John G. (1985), "İmza Operatörlerinin Analitik Endeksinin C * -Algebralara Göre Homotopi Değişmezliği" (PDF), Operatör Teorisi Dergisi, 14: 113–127