Üçgenlerin çözümü - Solution of triangles - Wikipedia

Üçgenlerin çözümü (Latince: solutio triangulorum) Ana trigonometrik a'nın özelliklerini bulma sorunu üçgen (kenarların açıları ve uzunlukları), bunlardan bazıları bilindiğinde. Üçgen bir uçak veya bir küre. Üçgen çözümleri gerektiren uygulamalar şunları içerir: jeodezi, astronomi, inşaat, ve navigasyon.

Düzlem üçgenlerini çözme

Üçgen için standart gösterim

Genel form üçgeni altı ana özelliğe sahiptir (resme bakın): üç doğrusal (yan uzunluklar) $a, b, c$ ) ve üç köşeli ( $α, β, γ$ ). Klasik düzlem trigonometri problemi, altı özellikten üçünü belirlemek ve diğer üçünü belirlemektir. Aşağıdakilerden herhangi biri verildiğinde, bu anlamda bir üçgen benzersiz bir şekilde belirlenebilir:^[1]^[2]

Üç taraf (SSS)
İki taraf ve iç açı (SAS)
İki taraf ve aralarında olmayan bir açı (SSA), açıya bitişik kenar uzunluğu diğer kenar uzunluğundan daha kısa ise.
Bir taraf ve ona bitişik iki açı (OLARAK)
Bir taraf, karşısındaki açı ve ona bitişik bir açı (AAS).

Düzlemdeki tüm durumlar için, kenar uzunluklarından en az biri belirtilmelidir. Yalnızca açılar verilirse, kenar uzunlukları belirlenemez çünkü herhangi bir benzer üçgen bir çözümdür.

Trigonomik ilişkiler

Düzlem üçgenleri çözerken kullanılan belirli adımlara ve araçlara genel bakış

Problemi çözmenin standart yöntemi, temel ilişkileri kullanmaktır.

Kosinüs kanunu: ${ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc cos alpha}$; ${ displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} -2ac cos beta}$; ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos gamma}$
Sinüs kanunu: ${ displaystyle { frac {a} { sin alpha}} = { frac {b} { sin beta}} = { frac {c} { sin gamma}}}$
Açıların toplamı: ${ displaystyle alpha + beta + gamma = 180 ^ { circ}}$
Teğet kanunu: ${ displaystyle { frac {ab} {a + b}} = { frac { tan [{ frac {1} {2}} ( alpha - beta)]} { tan [{ frac { 1} {2}} ( alpha + beta)]}}.}$

Başka (bazen pratik olarak yararlı) evrensel ilişkiler vardır: kotanjant kanunu ve Mollweide formülü.

Notlar

Bilinmeyen bir açı bulmak için kosinüs kanunu daha güvenli sinüs kanunu. Nedeni, değerinin sinüs çünkü üçgenin açısı bu açıyı tek başına belirlemez. Örneğin, eğer $günah β = 0.5$ , açı $β$ 30 ° veya 150 ° 'ye eşit olabilir. Kosinüs yasasını kullanmak bu sorunu ortadan kaldırır: 0 ° ile 180 ° arasındaki aralıkta kosinüs değeri açık bir şekilde açısını belirler. Öte yandan, açı küçükse (veya 180 ° 'ye yakınsa), sayısal olarak onu sinüsünden belirlemek kosinüsünden daha sağlamdır çünkü ark-kosinüs fonksiyonu 1'de (veya −1) ıraksak bir türeve sahiptir. .
Belirtilen özelliklerin göreceli konumunun bilindiğini varsayıyoruz. Aksi takdirde üçgenin ayna yansıması da bir çözüm olacaktır. Örneğin, üç kenar uzunluğu ya bir üçgeni ya da yansımasını benzersiz şekilde tanımlar.

Üç taraf verildi (SSS)

Üç taraf verildi

Üç yan uzunluğa izin verin $a, b, c$ Belirtilmek. Açıları bulmak için $α, β$ , kosinüs kanunu kullanılabilir:^[3]

{ displaystyle { begin {align} alpha & = arccos { frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}} [4pt] beta & = arccos { frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2ac}}. end {hizalı}}}

Sonra açı $γ = 180° - α - β$ .

Bazı kaynaklar açı bulmayı tavsiye ediyor $β$ -den sinüs kanunu ancak (yukarıdaki Not 1'in belirttiği gibi) dar bir açı değerini geniş olanla karıştırma riski vardır.

Açıları bilinen yönlerden hesaplamanın başka bir yöntemi de, kotanjant kanunu.

İki taraf ve verilen iç açı (SAS)

İki taraf ve verilen iç açı

İşte kenarların uzunlukları $a, b$ ve açı $γ$ bu taraflar arasında biliniyor. Üçüncü taraf, kosinüs yasasından belirlenebilir:^[4]

{ displaystyle c = { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos gamma}}.}

Şimdi ikinci açıyı bulmak için kosinüs yasasını kullanıyoruz:

{ displaystyle alpha = arccos { frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}}.}

En sonunda, $β = 180° - α - γ$ .

İki taraf ve verilen dahil olmayan açı (SSA)

İki taraf ve verilen dahil olmayan bir açı

Üçgen için iki çözüm

Bu durum her durumda çözülebilir değildir; sadece açıya bitişik kenar uzunluğu diğer kenar uzunluğundan daha kısa ise çözümün benzersiz olması garanti edilir. İki tarafın $b, c$ ve açı $β$ bilinmektedir. Açı denklemi $γ$ ima edilebilir sinüs kanunu:^[5]

{ displaystyle sin gamma = { frac {c} {b}} sin beta.}

Daha ileri ifade ediyoruz $D = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} c / b günah β$ (denklemin sağ tarafı). Dört olası durum vardır:

Eğer $D > 1$ böyle bir üçgen yoktur çünkü kenar $b$ çizgiye ulaşmıyor $M.Ö$ . Aynı nedenden ötürü, açı varsa bir çözüm mevcut değildir. $β \geq 90°$ ve $b \leq c$ .
Eğer $D = 1$ benzersiz bir çözüm var: $γ = 90°$ yani üçgen dik açılı.
Eğer D < 1 iki alternatif mümkündür.
1. Eğer $b \geq c$ , sonra $β \geq γ$ (daha büyük olan taraf daha büyük bir açıya karşılık gelir). Hiçbir üçgen iki geniş açıya sahip olamayacağından, $γ$ dar açı ve çözüm $γ = arcsin D$ benzersiz.
2. Eğer $b < c$ , açı $γ$ akut olabilir: $γ = arcsin D$ veya kalın: $γ ' = 180° - γ$ . Sağdaki şekil noktayı göstermektedir $C$ , taraf $b$ ve açı $γ$ ilk çözüm ve konu $C '$ , yan $b '$ ve açı $γ '$ ikinci çözüm olarak.

bir Zamanlar $γ$ elde edilir, üçüncü açı $α = 180° - β - γ$ .

Üçüncü taraf daha sonra sinüs yasasından bulunabilir:

{ displaystyle a = b { frac { sin alpha} { sin beta}}}

veya

{ displaystyle a = c cos beta pm { sqrt {b ^ {2} -c ^ {2} sin ^ {2} beta}}}

Verilen bir yan ve iki bitişik açı (ASA)

Verilen bir yan ve iki bitişik açı

Bilinen özellikler yan kısımdır $c$ ve açılar $α, β$ . Üçüncü açı $γ = 180° - α - β$ .

Sinüs yasasından iki bilinmeyen taraf hesaplanabilir:^[6]

{ displaystyle a = c { frac { sin alpha} { sin gamma}}; quad b = c { frac { sin beta} { sin gamma}}.}

veya

{ displaystyle a = c { frac { sin alpha} { sin alpha cos beta + sin beta cos alpha}}}

{ displaystyle b = c { frac { sin beta} { sin alpha cos beta + sin beta cos alpha}}}

Bir taraf, bir bitişik açı ve verilen zıt açı (AAS)

Bir AAS üçgenini çözme prosedürü bir ASA üçgeni için olanla aynıdır: İlk olarak, bir üçgenin açı toplam özelliğini kullanarak üçüncü açıyı bulun, sonra diğer iki kenarı sinüs kanunu.

Verilen diğer uzunluklar

Çoğu durumda, bazıları üçgenin uzunlukları olan üç parça bilgi verildiğinde üçgenler çözülebilir. medyanlar, Rakımlar veya açılı bisektörler. Posamentier ve Lehmann^[7] Çözülebilirlik sorusu için sonuçları kareköklerden daha yüksek olmayacak şekilde listeleyin (yani, inşa edilebilirlik ) 95 ayrı vakanın her biri için; Bunlardan 63 tanesi inşa edilebilir.

Küresel üçgenleri çözme

Küresel üçgen

Genel küresel üçgen altı özelliğinden üçü tarafından tamamen belirlenir (3 kenar ve 3 açı). Kenarların uzunlukları $a, b, c$ küresel bir üçgenin merkezi açılar, doğrusal birimler yerine açısal birimlerle ölçülür. (Bir birim küre üzerinde açı (in radyan ) ve küre etrafındaki uzunluk sayısal olarak aynıdır. Diğer kürelerde açı (radyan cinsinden) kürenin etrafındaki uzunluğun yarıçapa bölünmesiyle elde edilene eşittir.)

Küresel geometri düzlemselden farklı Öklid geometrisi, dolayısıyla küresel üçgenlerin çözümü farklı kurallar üzerine inşa edilmiştir. Örneğin, üç açının toplamı $α + β + γ$ üçgenin boyutuna bağlıdır. Ek olarak, benzer üçgenler eşitsiz olamaz, bu nedenle, belirli üç açılı bir üçgen oluşturma sorununun benzersiz bir çözümü vardır. Bir problemi çözmek için kullanılan temel ilişkiler, düzlemsel durumunkilere benzer: bkz. Kosinüslerin küresel yasası ve Sinüslerin küresel yasası.

Yararlı olabilecek diğer ilişkiler arasında yarım yan formül ve Napier'in benzetmeleri:^[8]

${ displaystyle tan { frac {c} {2}} cos { frac { alpha - beta} {2}} = tan { frac {a + b} {2}} cos { frac { alpha + beta} {2}}}$
${ displaystyle tan { frac {c} {2}} sin { frac { alpha - beta} {2}} = tan { frac {ab} {2}} sin { frac { alpha + beta} {2}}}$
${ displaystyle cot { frac { gamma} {2}} cos { frac {ab} {2}} = tan { frac { alpha + beta} {2}} cos { frac {a + b} {2}}}$
${ displaystyle cot { frac { gamma} {2}} sin { frac {ab} {2}} = tan { frac { alpha - beta} {2}} sin { frac {a + b} {2}}.}$

Üç taraf verildi

Verilen üç taraf (küresel SSS)

Bilinen: yanlar $a, b, c$ (açısal birimler halinde). Üçgenin açıları kullanılarak hesaplanır. kosinüslerin küresel yasası:

{ displaystyle alpha = arccos sol ({ frac { çünkü a- çünkü b çünkü c} { sin b sin c}} sağ),}

{ displaystyle beta = arccos sol ({ frac { cos b- cos c çünkü a} { sin c sin a}} sağ),}

{ displaystyle gamma = arccos sol ({ frac { cos c- cos a cos b} { sin a sin b}} sağ).}

İki taraf ve verilen iç açı

İki taraf ve verilen iç açı (küresel SAS)

Bilinen: yanlar $a, b$ ve açı $γ$ onların arasında. Taraf $c$ kosinüslerin küresel yasasından bulunabilir:

{ displaystyle c = arccos sol ( çünkü bir çünkü b + sin a sin b cos gamma sağ).}

Melekler $α, β$ yukarıdaki gibi veya Napier'in benzetmelerini kullanarak hesaplanabilir:

{ displaystyle alpha = arctan { frac {2 sin a} { tan ({ frac { gamma} {2}}) sin (b + a) + cot ({ frac { gama} {2}}) sin (ba)}},}

{ displaystyle beta = arctan { frac {2 sin b} { tan ({ frac { gamma} {2}}) sin (a + b) + cot ({ frac { gama} {2}}) sin (ab)}}.}

Bu sorun, navigasyon sorunu yeryüzündeki iki nokta arasındaki enlem ve boylamlarına göre belirlenen büyük daireyi bulmak; bu uygulamada, yuvarlama hatalarına duyarlı olmayan formüllerin kullanılması önemlidir. Bu amaçla, aşağıdaki formüller (vektör cebiri kullanılarak türetilebilir) kullanılabilir:

{ displaystyle { başlar {hizalı} c & = arctan { frac { sqrt {( sin a cos b- cos a sin b cos gamma) ^ {2} + ( sin b sin gamma) ^ {2}}} { cos a cos b + sin a sin b cos gamma}}, alpha & = arctan { frac { sin a sin gamma} { sin b cos a- cos b sin a cos gamma}}, beta & = arctan { frac { sin b sin gamma} { sin a cos b- cos a sin b cos gamma}}, end {hizalı}}}

Bu ifadelerdeki pay ve paydaların işaretleri arktanjentin kadranını belirlemek için kullanılmalıdır.

İki taraf ve verilen dahil olmayan bir açı

İki taraf ve verilen dahil olmayan açı (küresel SSA)

Bu sorun her durumda çözülebilir değildir; sadece açıya bitişik kenar uzunluğu diğer kenar uzunluğundan daha kısa ise çözümün benzersiz olması garanti edilir. Bilinen: yanlar $b, c$ ve açı $β$ aralarında değil. Aşağıdaki koşul geçerliyse bir çözüm mevcuttur:

{ Displaystyle b> arcsin ( sin c , sin beta).}

Açı $γ$ şuradan bulunabilir sinüslerin küresel kanunu:

{ displaystyle gamma = arcsin sol ({ frac { sin c , sin beta} { sin b}} sağ).}

Uçak vakasına gelince, eğer $b < c$ o zaman iki çözüm var: $γ$ ve $180° - γ$ .

Napier'in benzetmelerini kullanarak başka özellikler bulabiliriz:

{ displaystyle { başlar {hizalı} a & = 2 arctan sol [ tan sol ({ tfrac {1} {2}} (bc) sağ) { frac { sin sol ({ tfrac {1} {2}} ( beta + gamma) right)} { sin left ({ tfrac {1} {2}} ( beta - gamma) right)}} sağ], [4pt] alpha & = 2 operatorname {arccot} left [ tan left ({ tfrac {1} {2}} ( beta - gamma) right) { frac { sin sol ({ tfrac {1} {2}} (b + c) sağ)} { sin left ({ tfrac {1} {2}} (bc) sağ)}} sağ]. son {hizalı}}}

Verilen bir yan ve iki bitişik açı

Verilen bir yan ve iki bitişik açı (küresel ASA)

Bilinen: yan $c$ ve açılar $α, β$ . İlk önce açıyı belirliyoruz $γ$ kullanmak kosinüslerin küresel yasası:

{ displaystyle gamma = arccos ( sin alpha sin beta cos c- cos alpha cos beta). ,}

İki bilinmeyen tarafı kosinüslerin küresel yasasından bulabiliriz (hesaplanan açıyı kullanarak $γ$ ):

{ displaystyle a = arccos sol ({ frac { cos alpha + cos beta cos gamma} { sin beta sin gamma}} sağ),}

{ displaystyle b = arccos sol ({ frac { cos beta + cos alpha cos gamma} { sin alpha sin gamma}} sağ),}

veya Napier'in benzetmelerini kullanarak:

{ displaystyle { başlasın {hizalı} a & = arctan sol [{ frac {2 sin alpha} { cot ({ frac {c} {2}}) sin ( beta + alpha) + tan ({ frac {c} {2}}) sin ( beta - alpha)}} sağ], [4pt] b & = arctan left [{ frac {2 sin beta} { cot ({ frac {c} {2}}) sin ( alpha + beta) + tan ({ frac {c} {2}}) sin ( alpha - beta) }} sağ]. uç {hizalı}}}

Bir taraf, bir bitişik açı ve verilen karşıt açı

Bir taraf, bir bitişik açı ve verilen zıt açı (küresel AAS)

Bilinen: yan $a$ ve açılar $α, β$ . Taraf $b$ şuradan bulunabilir sinüslerin küresel kanunu:

{ displaystyle b = arcsin sol ({ frac { sin a , sin beta} { sin alpha}} sağ).}

Tarafın açısı $a$ akut ve $α > β$ başka bir çözüm var:

{ displaystyle b = pi - arcsin sol ({ frac { sin a , sin beta} { sin alpha}} sağ).}

Napier'in benzetmelerini kullanarak başka özellikler bulabiliriz:

{ displaystyle { başlar {hizalı} c & = 2 arctan sol [ tan sol ({ tfrac {1} {2}} (ab) sağ) { frac { sin sol ({ tfrac {1} {2}} ( alpha + beta) right)} { sin left ({ frac {1} {2}} ( alpha - beta) sağ)}} sağ], [4pt] gamma & = 2 operatorname {arccot} left [ tan left ({ tfrac {1} {2}} ( alpha - beta) right) { frac { sin sol ({ tfrac {1} {2}} (a + b) sağ)} { sin left ({ frac {1} {2}} (ab) sağ)}} sağ]. son {hizalı}}}

Verilen üç açı

Verilen üç açı (küresel AAA)

Bilinen: açılar $α, β, γ$ . İtibaren kosinüslerin küresel yasası çıkarırız:

{ displaystyle a = arccos sol ({ frac { cos alpha + cos beta cos gamma} { sin beta sin gamma}} sağ),}

{ displaystyle b = arccos sol ({ frac { cos beta + cos gamma cos alpha} { sin gamma sin alfa}} sağ),}

{ displaystyle c = arccos sol ({ frac { cos gamma + cos alpha cos beta} { sin alpha sin beta}} sağ).}

Dik açılı küresel üçgenleri çözme

Yukarıdaki algoritmalar, bir üçgenin açılarından biri (örneğin, açı $C$ ) dik açıdır. Böyle bir küresel üçgen, iki unsuru tarafından tam olarak tanımlanır ve diğer üçü kullanılarak hesaplanabilir. Napier'in Pentagon veya aşağıdaki ilişkiler.

{ displaystyle sin a = sin c cdot sin A}

(itibaren sinüslerin küresel kanunu )

{ displaystyle tan a = sin b cdot tan A}

{ displaystyle cos c = cos a cdot cos b}

(itibaren kosinüslerin küresel yasası )

{ displaystyle tan b = tan c cdot cos A}

{ displaystyle çünkü A = çünkü bir cdot sin B}

(ayrıca kosinüslerin küresel yasasından)

{ displaystyle cos c = karyola A cdot karyola B}

Bazı uygulamalar

Nirengi

Mesafe ölçümü nirengi

Mesafeyi ölçmek isterse $d$ kıyıdan uzaktaki bir gemiye nirengi yoluyla, biri kıyıda bilinen mesafeye sahip iki noktayı işaretler $l$ aralarında (temel). İzin Vermek $α, β$ taban çizgisi ile geminin yönü arasındaki açılar.

Yukarıdaki formüllerden (ASA durumu, düzlemsel geometri varsayılarak) mesafeyi şu şekilde hesaplayabiliriz: üçgen yüksekliği:

{ displaystyle d = { frac { sin alpha , sin beta} { sin ( alpha + beta)}} ell = { frac { tan alpha , tan beta} { tan alpha + tan beta}} ell.}

Küresel durum için, ilk olarak kenar uzunluğu şu noktadan hesaplanabilir: $α$ gemiye (yani karşı tarafa) $β$ ) ASA formülü aracılığıyla

{ displaystyle tan b = { frac {2 sin beta} { yatağı (l / 2) sin ( alfa + beta) + tan (l / 2) sin ( alfa - beta )}},}

ve bunu, açıyı içeren sağ alt üçgen için AAS formülüne ekleyin $α$ ve yanlar $b$ ve $d$ :

{ displaystyle sin d = sin b sin alpha = { frac { tan b} { sqrt {1+ tan ^ {2} b}}} sin alpha.}

(Düzlemsel formül aslında Taylor açılımının ilk terimidir. $d$ küresel çözümün üslerindeki $l$ .)

Bu yöntem, kabotaj. Melekler $α, β$ gemideki tanıdık yer işaretlerinin gözlemlenmesiyle tanımlanır.

Bir dağın yüksekliği nasıl ölçülür

Başka bir örnek olarak, biri yüksekliği ölçmek isterse $h$ bir dağın veya yüksek bir binanın, açıları $α, β$ iki zemin noktasından üste doğru belirtilir. İzin Vermek $ℓ$ bu noktalar arasındaki mesafe olun. Aynı ASA vaka formüllerinden elde ettiğimiz:

{ displaystyle h = { frac { sin alpha , sin beta} { sin ( beta - alpha)}} ell = { frac { tan alpha , tan beta} { tan beta - tan alpha}} ell.}

Yerküre üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe

Yerküre üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için,

Nokta A: enlem

λ Bir

, boylam

L Bir

, ve

B noktası: enlem

λ B

, boylam

L B

küresel üçgeni düşünüyoruz $ABC$ , nerede $C$ Kuzey Kutbu. Bazı özellikler şunlardır:

{ displaystyle a = 90 ^ { mathrm {o}} - lambda _ { mathrm {B}}, ,}

{ displaystyle b = 90 ^ { mathrm {o}} - lambda _ { mathrm {A}}, ,}

{ displaystyle gamma = L _ { mathrm {A}} -L _ { mathrm {B}}. ,}

Eğer iki taraf ve verilen iç açı formüllerden elde ederiz

{ displaystyle mathrm {AB} = R arccos sol [ sin lambda _ { mathrm {A}} , sin lambda _ { mathrm {B}} + cos lambda _ { mathrm {A}} , cos lambda _ { mathrm {B}} , cos left (L _ { mathrm {A}} -L _ { mathrm {B}} sağ) sağ].}

Buraya $R$ ... Dünyanın yarıçapı.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ "Üçgen Çözme". Matematik Eğlencelidir. Alındı 4 Nisan 2012.
^ "Üçgen Çözme". web.horacemann.org. Arşivlenen orijinal 7 Ocak 2014. Alındı 4 Nisan 2012.
^ "SSS Üçgenlerini Çözme". Matematik Eğlencelidir. Alındı 13 Ocak 2015.
^ "SAS Üçgenlerini Çözme". Matematik Eğlencelidir. Alındı 13 Ocak 2015.
^ "SSA Üçgenlerini Çözme". Matematik Eğlencelidir. Alındı 9 Mart 2013.
^ "ASA Üçgenlerini Çözme". Matematik Eğlencelidir. Alındı 13 Ocak 2015.
^ Alfred S. Posamentier ve Ingmar Lehmann, Üçgenlerin Sırları Prometheus Books, 2012: s. 201–203.
^ Napier'in Analojileri MathWorld'de

Öklid (1956) [1925]. Sör Thomas Heath (ed.). Elementlerin On Üç Kitabı. Cilt I. Giriş ve yorum ile çevrilmiştir. Dover. ISBN 0-486-60088-2.

Dış bağlantılar

Trigonometrik Lezzetler, tarafından Eli Maor, Princeton University Press, 1998. E-kitap versiyonu, PDF formatında, tam metin olarak sunulmuştur.
Trigonometri Alfred Monroe Kenyon ve Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. Resimlerde tam metin sunulmuştur. Google kitabı.
Küresel trigonometri Matematik Dünyasında.
Küresel Tetiklemeye Giriş. The Napier çevresi ve Napier kuralları tartışmalarını içerir
Küresel Trigonometri - kolejlerin ve okulların kullanımı için Yazan: I. Todhunter, M.A., F.R.S. Tarihsel Matematik Monografı Cornell Üniversitesi Kütüphanesi.
Üçgen - Üçgen çözücü. Minimum giriş verisi ile herhangi bir düzlem üçgen problemini çözün. Çözülmüş üçgenin çizimi.
TriSph - Küresel üçgenleri çözmek için ücretsiz yazılım, farklı pratik uygulamalar için yapılandırılabilir ve gnomonik için yapılandırılabilir.
Küresel Üçgen Hesaplayıcı - Küresel üçgenleri çözer.

[1] "Üçgen Çözme". Matematik Eğlencelidir. Alındı 4 Nisan 2012.

[2] "Üçgen Çözme". web.horacemann.org. Arşivlenen orijinal 7 Ocak 2014. Alındı 4 Nisan 2012.

[3] "SSS Üçgenlerini Çözme". Matematik Eğlencelidir. Alındı 13 Ocak 2015.

[4] "SAS Üçgenlerini Çözme". Matematik Eğlencelidir. Alındı 13 Ocak 2015.

[5] "SSA Üçgenlerini Çözme". Matematik Eğlencelidir. Alındı 9 Mart 2013.

[6] "ASA Üçgenlerini Çözme". Matematik Eğlencelidir. Alındı 13 Ocak 2015.

[7] Alfred S. Posamentier ve Ingmar Lehmann, Üçgenlerin Sırları Prometheus Books, 2012: s. 201–203.

[8] Napier'in Analojileri MathWorld'de

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]