Sonic patlaması - Sonic boom

Ses kaynağı, ses hızının 1,4 katı hızla hareket ediyor (Mach 1,4). Kaynak, oluşturduğu ses dalgalarından daha hızlı hareket ettiğinden, ilerleyen dalga cephesine öncülük eder.
20 derecelik koni açısından hesaplanan, M = 2.92'de hareket eden bir uçak tarafından üretilen bir ses patlaması. Gözlemciler koninin kenarlarındaki şok dalgası yerlerini geçene kadar hiçbir şey duymazlar.
Mach koni açısı
N-dalga imzasını gösteren NASA verileri.[1]

Bir Sonic patlaması ile ilişkili ses şok dalgaları bir cisim havada uçarken Sesin hızı. Sonik patlamalar muazzam miktarda ses enerji, kulağa benzer geliyor patlama veya a gök gürültüsü insan kulağına. Süpersonik bir çatlak madde işareti üstünden geçmek veya bir kırbaç minyatürdeki sonik patlama örnekleridir.[2]

Büyük süpersonik uçaklardan kaynaklanan ses patlamaları özellikle gürültülü ve ürkütücü olabilir, insanları uyandırma eğilimindedir ve bazı yapılarda küçük hasarlara neden olabilir. Kara üzerinde rutin süpersonik uçuşun yasaklanmasına yol açtılar. Tamamen önlenemese de araştırmalar, aracın dikkatli bir şekilde şekillendirilmesiyle, sonik patlamalardan kaynaklanan rahatsızlığın, karadan süpersonik uçuşun uygulanabilir bir seçenek haline gelebileceği noktaya indirilebileceğini öne sürüyor.[kaynak belirtilmeli ]

Bir ses patlaması yalnızca bir nesnenin ses hızını geçtiği anda meydana gelmez; ve süpersonik nesneden çıkan her yönden duyulmuyor. Bunun yerine bom, nesne süpersonik hızlarda hareket ederken meydana gelen sürekli bir etkidir. Ancak yalnızca nesnenin arkasındaki geometrik koni şeklindeki bir bölgeyle kesişen bir noktada konumlanan gözlemcileri etkiler. Nesne hareket ettikçe, bu konik bölge de onun arkasında hareket eder ve koni gözlemcinin üzerinden geçtiğinde, kısaca Boom.

Nedenleri

Bir uçak havadan geçtiğinde, bir dizi basınç dalgaları uçağın önünde ve arkasında, baş ve kıç dalgalar bir tekne tarafından yaratılmıştır. Bu dalgalar, Sesin hızı ve nesnenin hızı arttıkça, dalgalar birbirine zorlanır veya sıkıştırılır çünkü birbirlerinin yolundan yeterince hızlı çıkamazlar. Sonunda, ses hızında hareket eden tek bir şok dalgasına, kritik bir hızda birleşirler. Mach 1ve deniz seviyesinde yaklaşık 1,235 km / sa (767 mph) ve 20 ° C (68 ° F) 'dir.

Düzgün uçuşta şok dalgası uçağın burnunda başlar ve kuyrukta biter. Uçağın hareket yönü etrafındaki farklı radyal yönler eşdeğer olduğundan ("düzgün uçuş" durumu verildiğinde), şok dalgası bir Mach koni, benzer buhar konisi, uçağın ucunda. Yarım açı uçuş yönü ile şok dalgası arasında şunlar verilir:

,

nerede tersi uçağın mak sayısı (). Böylece, uçak ne kadar hızlı giderse, koni o kadar ince ve sivri uçludur.

Burunda basınç yükselir, kuyrukta sürekli olarak negatif bir basınca düşer, ardından nesne geçtikten sonra ani normal basınca döner. Bu "aşırı basınç profil "şekli nedeniyle bir N-dalgası olarak bilinir." Bom ", basınçta ani bir değişiklik olduğunda yaşanır; bu nedenle, bir N-dalgası iki bomlara neden olur - biri, ilk basınç artışı bir gözlemciye ulaştığında, ve bir diğeri basınç normale döndüğünde Bu, süpersonik bir uçaktan ayırt edici bir "çift bom" a yol açar Uçak manevra yaparken, basınç dağılımı karakteristik bir U dalgası şekli ile farklı formlara dönüşür.

Bom, uçak süpersonik olduğu sürece sürekli olarak üretildiğinden, uçağın uçuş yolunu izleyen yerde dar bir yol çiziyor, bir parça açılır gibi. kırmızı halı ve bu nedenle boom halı. Genişliği, uçağın yüksekliğine bağlıdır. Bomun uçağa duyulduğu yerdeki noktadan olan mesafe, irtifasına ve açısına bağlıdır. .

Normal çalışma koşullarında günümüzün süpersonik uçakları için en yüksek aşırı basınç 50'den 500'e kadar değişmektedir. Baba N dalgalı bom için (1 ila 10 psf (pound / fit kare)). Zirve aşırı basınç U dalgaları için N-dalgasının iki ila beş katı yükseltilir, ancak bu yükseltilmiş aşırı basınç, sonik patlamanın geri kalanına maruz kalan alanla karşılaştırıldığında yalnızca çok küçük bir alanı etkiler. Şimdiye kadar kaydedilen en güçlü ses patlaması 7.000 Pa (144 psf) idi ve buna maruz kalan araştırmacıların yaralanmasına neden olmadı. Bom, bir F-4 100 fit (30 m) yükseklikte ses hızının hemen üzerinde uçmak.[3] Son testlerde, daha gerçekçi uçuş koşullarında ölçülen maksimum bom 1.010 Pa (21 psf) idi. Bazı hasarların - örneğin camın kırılması - bir ses patlamasından kaynaklanma olasılığı vardır. İyi durumdaki binalar 530 Pa (11 psf) veya daha düşük basınçlardan zarar görmemelidir. Ve tipik olarak, sonik patlamaya topluluk maruziyeti 100 Pa'nın (2 psf) altındadır. Sonik patlamadan kaynaklanan yer hareketi nadirdir ve ülke tarafından kabul edilen yapısal hasar eşiklerinin oldukça altındadır. ABD Maden Bürosu ve diğer ajanslar.[4]

Şok dalgasının gücü veya hacmi, hızlandırılan hava miktarına ve dolayısıyla uçağın boyutuna ve şekline bağlıdır. Uçak hızı arttıkça şok konisi daha sıkı geminin etrafında ve çok yüksek hızlarda ve irtifalarda bom duyulmayacak kadar zayıflar. Bomun önden arkaya "uzunluğu", uçağın uzunluğunun 3/2 kuvvetine bağlıdır. Bu nedenle daha uzun uçaklar, bomlarını küçük olanlara göre daha fazla "yayar", bu da daha az güçlü bir bomla sonuçlanır.[5]

Birkaç küçük şok dalgası, uçağın diğer noktalarında, özellikle herhangi bir dışbükey noktalarda veya eğrilerde, ön kanat kenarında ve özellikle motorlara girişte oluşabilir ve genellikle oluşur. Bu ikincil şok dalgalarına, havanın bu dışbükey noktaların etrafında dönmeye zorlanması neden olur ve bu da bir şok dalgası oluşturur. süpersonik akış.

Daha sonraki şok dalgaları birincisinden biraz daha hızlıdır, daha hızlı hareket eder ve çok daha tanımlanmış bir N-dalgası şekli oluşturmak için uçaktan biraz uzakta ana şok dalgasına eklenir. Bu, şokun daha yüksek görünmesini sağlayan şokun hem büyüklüğünü hem de "yükselme süresini" maksimize eder. Çoğu uçak tasarımında karakteristik mesafe yaklaşık 40.000 fittir (12.000 m), yani bu irtifanın altında ses patlaması "daha yumuşak" olacaktır. Bununla birlikte, bu rakımdaki veya altındaki sürükleme, süpersonik seyahati özellikle verimsiz hale getirir ve bu da ciddi bir sorun teşkil eder.

Ölçüm ve örnekler

basınç uçakların neden olduğu sonik patlamalardan genellikle ayak kare başına birkaç pounddur. Daha yüksek irtifada uçan bir araç yerde daha düşük basınçlar oluşturacaktır çünkü şok dalgasının yoğunluğu araçtan uzağa yayılırken azalır, ancak sonik bomlar araç hızından daha az etkilenir.

UçakHızRakımBasınç (lbf / ft2)Basınç (Pa)
SR-71 BlackbirdMach 3+80.000 fit (24.000 m)0.943
Concorde (SST)Mach 252.000 fit (16.000 m)1.9493
F-104 Yıldız SavaşçısıMach 1,9348.000 fit (15.000 m)0.838
Uzay mekiğiMach 1.560.000 fit (18.000 m)1.2560
Referans:[6]

Azaltma

NASA'da yeni araştırmalar yapılıyor Glenn Araştırma Merkezi bu, süpersonik uçakların ürettiği ses patlamasını hafifletmeye yardımcı olabilir. Mikro dizi akış kontrollü Büyük Ölçekli Düşük Boomlu süpersonik giriş modelinin testi yakın zamanda 2010 yılında tamamlanmıştır. Bir NASA havacılık mühendisi, burada Büyük Ölçekli Düşük Boom süpersonik giriş modeliyle bir rüzgar tünelinde resmedilmiştir.

1950'lerin sonlarında süpersonik taşıma (SST) tasarımları aktif olarak takip ediliyordu, patlama çok büyük olsa da daha yükseğe uçarak sorunların önlenebileceği düşünülüyordu. Bu varsayımın yanlış olduğu kanıtlandı Kuzey Amerika XB-70 Valkyrie ilk uçtu ve bomun 70.000 fitte (21.000 m) bile bir sorun olduğu bulundu. Bu testler sırasında N-dalgası ilk olarak karakterize edildi.

Richard Seebass ve meslektaşı Albert George, Cornell Üniversitesi problemi kapsamlı bir şekilde inceledi ve sonunda bir "liyakat figürü "(FM), farklı uçakların ses bom seviyelerini karakterize etmek için. FM, uçak ağırlığının ve uçak uzunluğunun bir fonksiyonudur. Bu değer ne kadar düşükse, uçağın daha az bom oluşturduğu, yaklaşık 1 veya daha düşük rakamlar kabul edilebilir olarak kabul edilir. Bu hesaplamayı kullanarak, FM'leri yaklaşık 1.4 olarak buldular. Concorde ve 1.9 için Boeing 2707. Bu, sonunda SST projelerinin çoğunu halkın kızgınlığına mahkum etti, siyasetle karıştı ve sonunda bu tür uçakları daha az kullanışlı hale getiren yasalarla sonuçlandı (örneğin, süpersonik olarak sadece su üzerinde uçmak). Bunu ifade etmenin başka bir yolu da kanat açıklığı. gövde Büyük bir süpersonik uçak bile çok şıktır ve yeterli hücum açısı ve kanat açıklığı ile uçak o kadar yükseğe uçabilir ki, gövdedeki bom önemli değildir. Kanat açıklığı ne kadar büyükse, havaya uygulanabilen aşağı doğru itme o kadar büyüktür, bom o kadar büyük hissedilir. Daha küçük bir kanat açıklığı, aşağıdaki gibi küçük uçak tasarımlarını destekler iş jetleri.[5]

Seebass ve George aynı zamanda problem üzerinde farklı bir açıdan çalıştılar, güçlü ve aşağı odaklı bir (güçlü ve aşağı odaklı) üreterek N-dalgasını yanal ve zamansal olarak (uzunlamasına) yaymaya çalışarakSR-71 Blackbird, Boeing X-43 ) hafif süpersonik hızda hareket edecek olan keskin, ancak geniş açılı bir burun konisinde şok (yay şoku ) ve geri süpürme kullanarak uçan kanat veya bir eğik uçan kanat bu şoku uçuş yönü boyunca düzeltmek için (şokun kuyruğu sonik hızda hareket eder). Bu prensibi mevcut uçaklara uyarlamak için burun konisi ve kanat ön kenarında daha da güçlü olan, kanadın altındaki gövde, alan kuralı. İdeal olarak, bu, karakteristik irtifayı 40.000 fitten (12.000 m) 60.000 fit'e (12.000 m'den 18.000 m'ye) yükseltecektir; bu, çoğu SST uçağının uçmasının beklendiği yerdir.[5]

NASA F-5E, DARPA sonik patlama testleri için değiştirildi

Bu onlarca yıldır test edilmedi. DARPA başladı Sessiz Süpersonik Platform proje ve finanse etti Şekilli Sonik Boom Gösterimi (SSBD) uçağı test etmek için. SSBD bir F-5 Özgürlük Savaşçısı. F-5E, burnu F-5F modeline uzatan oldukça rafine bir şekil ile modifiye edildi. kaplama burundan uçağın alt tarafındaki girişlere kadar uzanır. SSBD, 21 uçuşla sonuçlanan iki yıllık bir süre boyunca test edildi ve sonik bom özellikleri üzerine kapsamlı bir çalışmaydı. 1.300 kaydı ölçtükten sonra, bazıları şok dalgasının içine takip uçağı SSBD, boomda yaklaşık üçte bir azalma gösterdi. Üçte biri çok büyük bir azalma olmasa da, Concorde'un patlamasını FM = 1'in altında kabul edilebilir bir seviyeye düşürmüş olabilir.

SSBD'nin devamı olarak, 2006'da NASA -Gulfstream Aerospace takım test etti Sessiz Spike NASA-Dryden'ın F-15B uçağı 836'da. Sessiz Spike Süpersonik hızlarda uçağın burnunda oluşan şok dalgalarının gücünü zayıflatmak için özel olarak tasarlanmış bir uçağın burnuna takılan teleskopik bomdur. 50'nin üzerinde test uçuşu yapıldı. Birkaç uçuş, şok dalgalarının ikinci bir F-15B, NASA'nın Akıllı Uçuş Kontrol Sistemi test yatağı, uçak 837.

Hiç ses patlamaları yaratmıyor gibi görünen teorik tasarımlar var. Busemann çift kanatlı. Bununla birlikte, aerodinamik kaldırma oluştururlarsa, bir şok dalgası oluşturmak kaçınılmazdır.[5]

NASA ve Lockheed Martin Aeronautics Co., adı verilen deneysel bir uçak yapmak için birlikte çalışıyor. Düşük Boom Uçuş Göstericisi (LBFD), yüksek hızlı uçuşla eşanlamlı ses patlamasını bir arabanın kapısının kapanma sesine indirgeyecek. Ajans, 2021 yazına kadar şık, tek pilotlu uçağın çalışan bir versiyonunu inşa etmek için 247,5 milyon dolarlık bir sözleşme imzaladı ve tasarımın nihayetinde ticari uçağa uyarlanıp uyarlanamayacağını belirlemek için sonraki yıllarda teste başlaması gerekiyor.[7]

Algılama, gürültü ve diğer endişeler

Zamanla doğrusal olarak hızını artırırken küresel cepheler yayan bir nokta kaynağı. Kısa zamanlar için Doppler etkisi görülebilir. Ne zaman v = c, sonik patlama görülebilir. Ne zaman v > cMach konisi görülebilir.

Bir ses patlamasının sesi, büyük ölçüde gözlemci ile sonik patlamayı üreten uçak şekli arasındaki mesafeye bağlıdır. Bir sonik patlama, uçak genellikle biraz uzakta olduğundan genellikle derin bir çift "patlama" olarak duyulur. Ses şuna çok benziyor harç bombaları, yaygın olarak kullanılan havai fişek gösterileri. Ses altıdan süpersonik geçiş sırasında yalnızca bir patlama oluştuğu yaygın bir yanılgıdır; bunun yerine, bom tüm süpersonik uçuş için engel halısı boyunca süreklidir. Eski bir Concorde pilotunun dediği gibi, "Uçakta aslında hiçbir şey duymuyorsunuz. Tek gördüğümüz, uçakta aşağıya doğru hareket eden basınç dalgası - aletler üzerinde bir gösterge veriyor. Ve Mach 1 civarında gördüğümüz şey bu. ses patlamasını veya bunun gibi bir şeyi duymayın. Bu daha çok bir geminin uyanışı gibi - arkamızda kaldı. "[8]

1964'te NASA ve Federal Havacılık İdaresi başladı Oklahoma City sonik patlama testleri, altı aylık bir süre içinde günde sekiz sonik patlamaya neden oldu. Deneyden değerli veriler toplandı, ancak 15.000 şikayet üretildi ve nihayetinde hükümeti bir sınıf eylemi 1969'da temyizde kaybettiği dava.

Ses patlamaları, Birleşik Krallık'taki Kuzey Cornwall ve Kuzey Devon'da, bu alanlar Concorde'un uçuş yolunun altındayken bir baş belasıydı. Pencereler çıngırdıyor ve bazı durumlarda "meşale" (çatı levhalarının altına işaret eden) titreşimle yerinden çıkabiliyordu.

Bu alanda, özellikle DARPA'nın Sessiz Süpersonik Platform çalışmaları kapsamında son zamanlarda çalışmalar yapılmıştır. Bu program kapsamında akustik uzmanları tarafından yapılan araştırmalar, frekans içeriği de dahil olmak üzere sonik patlamaların bileşimine daha yakından bakmaya başladı. Geleneksel sonik patlama "N" dalgasının çeşitli özellikleri, yerdeki dinleyiciler tarafından ne kadar gürültülü ve rahatsız edici olarak algılanabileceğini etkileyebilir. Concorde veya askeri uçaklar tarafından üretilenler gibi güçlü N dalgaları bile, aşırı basıncın yükselme süresi yeterince uzunsa çok daha az sakıncalı olabilir. Yeni bir metrik ortaya çıktı. algılanan PLdB cinsinden ölçülen ses yüksekliği. Bu, frekans içeriğini, yükselme süresini vb. Hesaba katar. İyi bilinen bir örnek, parmaklarını şaklatmak "algılanan" sesin bir rahatsızlıktan başka bir şey olmadığı.

Ses patlamasının enerji aralığı 0.1–100 aralığında yoğunlaşmıştır.hertz Frekans aralığı bu ses altı uçağın oldukça altındadır, top ateşi ve en endüstriyel gürültü. Sonik patlamanın süresi kısadır; bir saniyeden daha az, çoğu avcı uçağı için 100 milisaniye (0,1 saniye) ve uzay mekiği veya Concorde jetliner için 500 milisaniye. Bir sonik bom yolunun yoğunluğu ve genişliği, uçağın fiziksel özelliklerine ve nasıl çalıştırıldığına bağlıdır. Genel olarak, bir uçağın rakımı ne kadar yüksekse, yerdeki aşırı basınç o kadar düşük olur. Daha yüksek irtifa ayrıca bomun yanal yayılmasını artırarak bomun daha geniş bir alanını açığa çıkarır. Bununla birlikte, sonik patlama etki alanındaki aşırı basınçlar tek tip olmayacaktır. Bom yoğunluğu, doğrudan uçuş yolunun hemen altında olup, uçak uçuş rotasından daha büyük yatay mesafe uzaklaştıkça giderek zayıflar. Bom maruziyet alanının zemin genişliği, her 1000 fit (300 m) yükseklik için yaklaşık 1 kara milidir (1,6 km) (genişlik, rakımın yaklaşık beş katıdır); yani, 30.000 fitte (9.100 m) süpersonik uçan bir uçak, yaklaşık 30 mil (48 km) lik bir yanal bom yayılımı yaratacaktır. Sabit süpersonik uçuş için, bom, süpersonik hızı ve rakımı koruduğu için uçakla birlikte hareket ettiği için bir halı patlaması olarak tanımlanır. Bazı manevralar, dalış, hızlanma veya dönüş, bomun odaklanmasına neden olabilir. Yavaşlama ve tırmanma gibi diğer manevralar şokun gücünü azaltabilir. Bazı durumlarda hava koşulları ses patlamalarını bozabilir.[4]

Uçağın yüksekliğine bağlı olarak, sonik bomlar uçağın üstünden geçtikten 2 ila 60 saniye sonra yere ulaşır. Ancak, tüm bomlar zemin seviyesinde duyulmaz. Herhangi bir yükseklikte ses hızı, hava sıcaklığının bir fonksiyonudur. Sıcaklıktaki bir azalma veya artış, ses hızında karşılık gelen bir azalmaya veya artışa neden olur. Standart atmosferik koşullar altında, artan irtifa ile hava sıcaklığı düşer. Örneğin, deniz seviyesindeki sıcaklık 59 derece Fahrenheit (15 ° C) olduğunda, 30.000 fitteki (9.100 m) sıcaklık eksi 49 Fahrenheit derecesine (-45 ° C) düşer. Bu sıcaklık gradyanı, ses dalgalarının yukarı doğru bükülmesine yardımcı olur. Bu nedenle, bir bomun yere ulaşması için, yere göre uçak hızının yerdeki ses hızından daha büyük olması gerekir. Örneğin, 30.000 fitte (9.100 m) ses hızı saatte yaklaşık 670 mildir (1.080 km / s), ancak bir uçak saatte en az 750 mil (1.210 km / s) (Mach 1.12, burada Mach 1, yerde bir bomun duyulması için ses hızına eşittir.[4]

Atmosferin bileşimi de bir faktördür. Sıcaklık değişimleri, nem, atmosferik kirlilik, ve rüzgarlar hepsi yerde bir ses patlamasının nasıl algılandığı üzerinde bir etkiye sahip olabilir. Yerin kendisi bile bir ses patlamasının sesini etkileyebilir. Gibi sert yüzeyler Somut, kaldırım ve büyük binalar, bir ses patlamasının sesini yükseltebilecek yansımalara neden olabilir. Benzer şekilde, çimenli alanlar ve bolluk yeşillik bir ses patlamasının aşırı basıncının gücünü hafifletmeye yardımcı olabilir.

Şu anda, bir ses patlamasının kabul edilebilirliği için endüstri tarafından kabul edilmiş standartlar yoktur. Bununla birlikte, insanların sonik patlamaların ürettiği gürültüye nasıl tepki verdiklerini anlamaya yardımcı olacak ölçütler oluşturmak için çalışmalar devam etmektedir. [9] Bu tür ölçütler, ileri çalışma veya süpersonik aşırı uçuş testi yoluyla belirlenene kadar, Amerika Birleşik Devletleri de dahil olmak üzere birçok ülkede yürürlükte olan süpersonik aşırı uçuş yasağını kaldırmak için yasaların çıkarılacağı şüphelidir.

Kamçı

Avustralyalı bir kırbaç

Çatlama sesi a kırbaç düzgün kullanıldığında aslında küçük bir ses patlaması yapar. Kırbaç olarak bilinen sonu "kraker", ses hızından daha hızlı hareket ederek bir ses patlaması yaratır.[2]

Bir kamçı, sap kısmından krakere doğru inceliyor. Kraker, tutacak bölümünden çok daha az kütleye sahiptir. Kırbaç keskin bir şekilde sallandığında, enerji sivrilen kamçının uzunluğu boyunca aşağıya aktarılır. Goriely ve McMillen, bir ilmeğin gerilim altında sivriltilmiş bir filamentten aşağıya gitme şeklini içeren fiziksel açıklamanın karmaşık olduğunu gösterdi.[10]

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Haering, Edward A., Jr.; Smolka, James W .; Murray, James E .; Plotkin Kenneth J. (1 Ocak 2005). "Düşük Aşırı Basınçlı N-Dalgası Sonik Patlamaların ve Evanescent Dalgalarının Uçuş Gösterimi". AIP Konferansı Bildirileri. 838: 647–650. Bibcode:2006AIPC..838..647H. doi:10.1063/1.2210436. hdl:2060/20050192479.
  2. ^ a b Mayıs Mike (Eylül 2002). "İyi Matematiği Kırmak". Amerikalı bilim adamı. 90 (5): 415–416. JSTOR  27857718.
  3. ^ Askeri Jetlerin Sonik Boom Ayak İzlerinin Analizi, Andy S. Rogers, A.O.T, Inc.
  4. ^ a b c USAF Bilgi Sayfası 96-03, Armstrong Laboratuvarı, 1996
  5. ^ a b c d Seebass Richard (1998). "Sonic Boom Minimization". Süpersonik Uçaklarda Akışkan Dinamiği Araştırmaları (PDF). Araştırma ve Teknoloji Organizasyonu NATO.
  6. ^ NASA Armstrong Uçuş Araştırma Merkezi Bilgi Sayfası: Sonic Booms
  7. ^ "NASA, Daha Sessiz Süpersonik Uçaklar Yapma Sözleşmesini Ödüllendirdi" (Basın bülteni). NASA. 3 Nisan 2018. Alındı 5 Nisan 2018.
  8. ^ Eski Concorde Pilot ile BBC News röportajı (2003).
  9. ^ Loubeau, Alexandra; Naka, Yusuke; Cook, Brian G .; Serçe, Victor W .; Morgenstern, John M. (28 Ekim 2015). "Mevcut verileri kullanarak sonik patlamalar için gürültü ölçümlerinin yeni bir değerlendirmesi". AIP Konferansı Bildirileri. 1685 (1): 090015. Bibcode:2015AIPC.1685i0015L. doi:10.1063/1.4934481. ISSN  0094-243X.
  10. ^ Alain Goriely ve Tyler McMillen (2002). "Bir Kırbaç Şekli" (PDF). Fiziksel İnceleme Mektupları. 88 (12): 244301. Bibcode:2002PhRvL..88x4301G. doi:10.1103 / physrevlett.88.244301. PMID  12059302.

Dış bağlantılar