Uzay-zaman üçgen diyagram tekniği - Spacetime triangle diagram technique

İçinde fizik ve matematik, uzay-zaman üçgen diyagramı (STTD) tekniğiolarak da bilinir Smirnov değişkenlerin eksik ayrılması yöntemi, elektromanyetik ve skaler dalga hareketi için direkt uzay-zaman etki alanı yöntemidir.

Temel aşamalar

1. (Elektromanyetik Maxwell denklemleri sistemi ikinci mertebeye indirgenmiştir. PDE alan bileşenleri veya potansiyelleri veya bunların türevleri için.
2. Uzamsal değişkenler, uygun genişletmeler kullanılarak serilere ve / veya integral dönüşümlere ayrılır - zaman değişkeniyle sınırlı kalan ve bir Hiperbolik tip PDE.
3. Ortaya çıkan hiperbolik PDE ve eşzamanlı olarak dönüştürülen başlangıç ​​koşulları, bir problem oluşturur ve Riemann-Volterra integral formülü. Bu, sınırlı koordinat-zaman uzayında bir üçgen etki alanı üzerinde çift katlı integral yoluyla ifade edilen genel çözümü verir. Daha sonra bu alan, daha karmaşık ancak daha küçük bir alanla değiştirilir, burada integrant esasen sıfır değildir ve belirli uzay-zaman üçgen diyagramlarını içeren katı bir şekilde resmileştirilmiş bir prosedür kullanılarak bulunur (bkz., Ref.^[1][2][3]).
4. Vakaların çoğunda, önceden ayrılmış değişkenlerin bilinen fonksiyonlarıyla çarpılan elde edilen çözümler, net bir fiziksel anlamın (sabit olmayan durum modları) ifadeleriyle sonuçlanır. Bununla birlikte, çoğu durumda, açılımları özetleyen veya ters integral dönüşümü yapan daha açık çözümler bulunabilir.

STTD ve Green'in işlev tekniği

STTD tekniği, iki ana bilim dalı arasında ikinciye aittir. Ansätze dalgaların teorik tedavisi için - frekans alanı ve doğrudan uzay-zaman alanı. Dalga hareketinin homojen olmayan (kaynakla ilgili) tanımlayıcı denklemleri için en iyi bilinen yöntem, Green'in işlev tekniğine dayanan bir yöntemdir.^[4] Jackson'ın Bölüm 6.4 ve Bölüm 14'ünde açıklanan durumlar için Klasik Elektrodinamik,^[4] dalga alanının hesaplanmasına indirgenebilir. gecikmiş potansiyeller (özellikle Liénard-Wiechert potansiyelleri ).

Green ve Riemann – Volterra yöntemleri arasındaki belirli benzerliklere rağmen (bazı literatürde Riemann işlevi Riemann – Green işlevi olarak adlandırılır. ^[5]), dalga hareketi problemlerine uygulamaları farklı durumlarda sonuçlanır:

• Hem Green işlevinin hem de karşılık gelen Green çözümünün tanımları, homojen denklemin keyfi çözümlerinin eklenmesi için yer bıraktıklarından benzersiz değildir; bazı durumlarda Green işlevinin özel seçimi ve nihai çözüm, sınır koşul (lar) ı veya inşa edilen dalga işlevlerinin akla yatkınlığı ve fiziksel kabul edilebilirliği ile tanımlanır.^[6] Riemann fonksiyonu, ek olarak özelliklerde belirli bir değer alması gereken ve bu nedenle benzersiz bir şekilde tanımlanmış homojen denklemin bir çözümüdür.
• Green'in homojen olmayan özel bir çözüm sunan yönteminin aksine denklemRiemann – Volterra yöntemi, karşılık gelen sorunPDE ve başlangıç ​​koşullarını içeren,

^[7][8] ve Riemann-Volterra temsiliydi Smirnov onunkinde kullanılmış Yüksek Matematik Kursu Yukarıdaki sorunun çözümünün benzersizliğini kanıtlamak için (bkz.^[8] Madde 143).

• Genel durumda, Green'in formülü, koordinat ve zaman değişiminin tüm alanı boyunca entegrasyonu ima ederken, Riemann-Volterra çözümündeki entegrasyon, sınırlı bir üçgen bölgesi içinde gerçekleştirilir ve çözümün sınırlarını garanti eder. destek.
• (Eşsiz) Riemann-Volterra çözümünün nedenselliği, argümanın geciktirilmiş doğası, belirli bir yönde dalga yayılımı, entegrasyon yolunun özel seçimi vb. Gibi ek hususlara tekrar gerek kalmadan otomatik olarak sağlanır. (Genellikle açıklayıcı Klasik skaler dalga denklemi gibi denklemler, T-simetri. Zaman asimetrik başlangıç ​​koşullarını tanımlayan zamanın oku Riemann formülündeki entegrasyon alanının sınırlandırılması yoluyla ${ displaystyle t> 0}$, daha fazlasını gör^[2] ve aşağıda verilen belirli bir örnek.)
• Green'in işlevi, hareketli bir nokta kaynağının Liénard-Wiechert potansiyelinden kolayca türetilebilir, ancak kaçınılmaz olarak geciktirilmiş argümanın analizini içeren dalga işlevinin somut hesaplanması, parametrik yöntem gibi bazı özel teknikler olmadıkça oldukça karmaşık bir görevde gelişebilir. ,^[9]

çağrılır. Riemann-Volterra yaklaşımı, özellikle sınırlı destek kaynakları söz konusu olduğunda, aynı veya daha ciddi zorluklar sunar: burada entegrasyonun gerçek sınırları, kaynağın uzay-zaman değişkenlerini ve parametrelerini içeren eşitsizlikler sisteminden tanımlanmalıdır. terim. Bununla birlikte, bu tanım, uzay-zaman üçgen diyagramları kullanılarak kesin bir şekilde resmileştirilebilir. İle aynı rolü oynamak Feynman diyagramları Parçacık fiziğinde, STTD'ler, ayrılmamış uzamsal değişken ve zaman tarafından yayılan 2D uzaydaki entegrasyon alanının aynı analitik temsiline sahip alanların tanımlanması için katı ve açıklayıcı bir prosedür sağlar.

Yöntemin dezavantajları

• Yöntem sadece bilinen Riemann fonksiyonuna sahip problemlere uygulanabilir.
• Yöntemin uygulanması ve elde edilen sonuçların analizi, daha derin bilgi gerektirir. matematiksel fiziğin özel fonksiyonları (ör., genelleştirilmiş işlevler, Mathieu fonksiyonları farklı türden ve Lommel'in iki değişkenli fonksiyonları ) Green'in işlev yöntemine göre.
• Bazı durumlarda, son integraller Riemann fonksiyonunun hızlı salınımı alanlarında özel dikkat gerektirir.

En önemli somutlaştırmalar

Genel Değerlendirmeler

Ortogonal koordinatlarda elektromanyetik problemleri ölçeklendirmek için çeşitli verimli yöntemler ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$ Borisov tarafından Ref.^[10] Uygulanabilirliklerinin en önemli koşulları ${ displaystyle h_ {3} = 1}$ ve ${ displaystyle kısmi _ {3} (h_ {1} / h_ {2}) = 0}$, nerede ${ displaystyle h_ {i}, i = 1,2,3}$ bunlar metrik (Lamé) katsayıları (böylece kare uzunluk elemanı ${ displaystyle ds ^ {2} = h_ {1} ^ {2} dx_ {1} ^ {2} + h_ {2} ^ {2} dx_ {2} ^ {2} + h_ {3} ^ {2 } dx_ {3} ^ {2}}$). Dikkat çekici bir şekilde, bu koşul, Kartezyen, genel tip silindirik ve küresel olanlar da dahil olmak üzere pratik olarak önemli koordinat sistemlerinin çoğu için karşılanmaktadır.

Dalga hareketi problemleri için boş uzay, uzamsal değişkenleri ayırmanın temel yöntemi integral dönüşümlerin uygulanmasıdır, kılavuz sistemlerdeki dalga üretimi ve yayılma problemleri için değişkenler genellikle temel fonksiyonlar açısından açılımlar kullanılarak ayrılır. (modlar) kılavuz sistemin yüzeyinde gerekli sınır koşullarını karşılamaktadır.

Kartezyen ve silindirik koordinatlar

İçinde Kartezyen ${ displaystyle sol {x_ {1} = x, ; x_ {2} = y, ; x_ {3} = z sağ }}$ ve genel tip silindirik koordinatlar ${ displaystyle sol {x_ {1} = x_ {1} (x, y), ; x_ {2} = x_ {2} (x, y), ; x_ {3} = z sağ }}$ uzamsal değişkenlerin ayrılması, bir için başlangıç ​​değer problemiyle sonuçlanır. hiperbolik PDE olarak bilinir 1D Klein – Gordon denklemi (KGE)

${ displaystyle { başlar {hizalı} & sol ( kısmi _ { tau} ^ {2} - kısmi _ {z} ^ {2} + k ^ {2} sağ) psi ( tau, z) = f ( tau, z) & psi ( tau, z) = 0 { text {for}} tau <0 end {hizalı}}}$

Buraya ${ displaystyle tau}$ bazı karakteristik hızlar kullanılarak uzunluk birimleri cinsinden ifade edilen zaman değişkenidir (örneğin, ışık veya ses hızı),${ displaystyle k}$ değişkenlerin ayrılmasından kaynaklanan bir sabittir ve ${ displaystyle f ( tau, z)}$ değişken ayırma prosedürlerinin uygulanmasından sonra kalan başlangıç ​​dalga denklemindeki kaynak koşulunun bir bölümünü temsil eder (bir dizi katsayısı veya bir integral dönüşümün sonucu).

Yukarıdaki problem bilinen Riemann fonksiyonuna sahiptir

${ displaystyle R_ {k} ( tau, z; tau ', z') = J_ {0} sol (k { sqrt {( tau - tau ') ^ {2} - (z-z ') ^ {2}}} sağ),}$

nerede ${ displaystyle J_ {0} ( cdot)}$ birinci türden sıfırın Bessel fonksiyonudur.

Kanonik değişkenler ξ, η.

İlk değişkenler z, τ.

Üçgen entegrasyon alanını temsil eden en basit STTD, Riemann-Volterra integral formülü.

Kanonik değişkenlere geçiş ${ displaystyle z, tau to xi, eta}$ Riemann – Volterra yönteminin doğrudan uygulamasını yansıtan en basit STTD diyagramı elde edilir,^[7][8] uzay-zaman üçgeni ile temsil edilen temel entegrasyon alanı ile MPQ (koyu gri).

STTD'nin 45 ° saat yönünün tersine döndürülmesi, geleneksel uzay zamanında STTD'nin daha yaygın biçimini verir. ${ displaystyle z, tau}$.

Homojen başlangıç ​​koşulları için (benzersiz^[8]) problemin çözümü Riemann formülü ile verilmiştir.

${ displaystyle psi ( tau, z) = { frac {1} {2}} iint sınırları _ { üçgen MPQ} , d tau ', dz'R ( tau, z; tau ', z') f ( tau ', z').}$

Dalga sürecinin gelişimi, sabit bir gözlem noktası kullanılarak izlenebilir (${ displaystyle z = { text {const}}}$) arka arkaya üçgen yüksekliğini artırmak (${ displaystyle tau}$) veya alternatif olarak dalga fonksiyonunun "anlık resmini" çekmek ${ displaystyle psi}$ uzay-zaman üçgeni boyunca kaydırarak ${ displaystyle z}$ eksen (${ displaystyle tau = { text {const}}}$).

Daha kullanışlı ve karmaşık STTD'ler, darbeli kaynaklara karşılık gelir. destek uzay zamanında sınırlıdır. Her sınırlama, STTD'de spesifik modifikasyonlar üretir, bu da integrandın esasen sıfır olmadığı daha küçük ve daha karmaşık entegrasyon alanlarına yol açar. En yaygın değişiklik örnekleri ve bunların birleşik eylemleri aşağıda gösterilmektedir.

Kaynak alanı için statik sınırlamalar^[10]

Uçakla soldan sınırlı bir kaynak için STTD ${ displaystyle z = 0}$yani ${ displaystyle f ( tau, z) = 0 { text {for}} z <0}$bu, örneğin yarı sonsuz bir radyatör boyunca yayılan hareketli bir kaynak için geçerlidir. ${ displaystyle l}$.

Sağdan uçakla sınırlı bir kaynak için STTD ${ displaystyle z = l}$yani ${ displaystyle f ( tau, z) = 0 { text {for}} z> l.}$

Her iki taraftan sınırlı bir kaynak için STTD, yani ${ displaystyle f ( tau, z) = 0 { text {for}} z notin [0, l]}$, örneğin, sonlu uzunluktaki bir radyatör boyunca yayılan bir hareket eden kaynak için durum böyledir. ${ displaystyle l}$.

Farklı türdeki sınırlamaların birleşik eylemi, bkz. Refs.^{[1][10][11][12][13]} ayrıntılar ve daha karmaşık örnekler için

Yarı sonsuz hareketli kaynak darbesi için STTD.

Sonlu bir hareketli kaynak darbesi için STTD.

Yarı sonsuz bir radyatör boyunca yayılan sonlu bir hareketli kaynak darbesi için STTD ${ displaystyle z solda [0, infty sağ)}$.

"Kısa", sonlu kaynak süresi darbesi için bir genel STTD dizisi ${ displaystyle T}$ sonlu bir radyatör boyunca yayılma $[0, l]} içinde { displaystyle z$ sabit hızla ${ displaystyle beta}$.^{[kaynak belirtilmeli ]} Bu durumda kaynak şu şekilde ifade edilebilir:

${ displaystyle f ( tau, z) = f_ {0} ( tau, z) kere h (z) h (lz) h sol ( tau - { frac {z} { beta}} sağ) h left (T- tau + { frac {z} { beta}} sağ),}$

nerede ${ displaystyle h ( cdot)}$ ... Heaviside adım işlevi.

"Uzun" bir darbe için aynı STTD dizisi.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Küresel koordinatlar

İçinde küresel koordinat sistemi - bakış açısıyla Genel Değerlendirmeler sırayla temsil edilmelidir ${ displaystyle sol {x_ {1} = theta, ; x_ {2} = varphi, ; x_ {3} = r sağ }}$, garanti ${ displaystyle h_ {3} = 1}$ - Borgnis fonksiyonları, Debye potansiyelleri veya Hertz vektörleri kullanılarak enine elektrik (TE) veya enine manyetik (TM) dalgalar için problemler ölçeklenebilir. Açısal değişkenlerin sonradan ayrılması ${ displaystyle theta, varphi}$ ilk dalga fonksiyonunun genişletilmesi yoluyla ${ displaystyle psi sol ( tau, theta, varphi, r sağ)}$ ve kaynak

${ displaystyle ; f sol ( tau, theta, varphi, r sağ)}$ açısından

${ displaystyle sol ({ başlar {dizi} {c} sin m varphi cos m varphi end {dizi}} sağ) P_ {n} ^ {(m)} ( cos teta),}$

nerede ${ displaystyle P_ {n} ^ {(m)} ! sol ( cdot sağ)}$ ... ilişkili Legendre polinomu derece ${ displaystyle n}$ ve sipariş et ${ displaystyle m}$, hiperbolik için ilk değer problemiyle sonuçlanır Euler – Poisson – Darboux denklemi^[3][10]

${ displaystyle { başla {hizalı} & sol ( kısmi _ { tau} ^ {2} - kısmi _ {r} ^ {2} + { frac {n (n + 1)} {r ^ {2}}} sağ) psi _ {nm} ( tau, r) = f_ {nm} ( tau, r) & psi _ {nm} ( tau, r) = 0 { {for}} tau <0 end {hizalı}}} metni$

Riemann işlevine sahip olduğu bilinmektedir

${ displaystyle R ( tau, r; tau ', r') = {P_ {n}} sol ({ frac {r ^ {2} + {r '} ^ {2} - ( tau - tau ') ^ {2}} {2rr'}} sağ),}$

nerede ${ displaystyle P_ {n} ! sol ( cdot sağ)}$ (sıradan) Legendre polinomu derece ${ displaystyle n}$.

STTD (Riemann) ve Green'in fonksiyon çözümlerinin denkliği

STTD tekniği, klasik Green'in fonksiyon yöntemine bir alternatifi temsil eder. Söz konusu ilk değer problemine çözümün benzersizliği nedeniyle,^[8] Sıfır başlangıç ​​koşulları durumunda, STTD tekniği tarafından sağlanan Riemann çözümü, nedensel Green fonksiyonunun ve kaynak terimin evrişimi ile örtüşmelidir.

İki yöntem, dalga fonksiyonunun görünüşte farklı tanımlamalarını sağlar: örneğin, Klein-Gordon problemine Riemann fonksiyonu bir Bessel fonksiyonudur (kaynak terimle birlikte, temel üçgen tarafından temsil edilen kısıtlı alan üzerinde entegre edilmelidir) MPQ) geciktirilmiş Green'in Klein-Gordon denklemine işlevi, hayali üstel terimin (tüm düzlem boyunca entegre edilecek) bir Fourier dönüşümü iken ${ displaystyle z ', tau'}$, örneğin Sec. 3.1. Ref.^[14]) indirgenebilir

${ displaystyle G_ {k} ( tau, z; tau ', z') = - { frac {1} {(2 pi) ^ {2}}} int sınırlar _ {- infty} ^ { infty} dp , { rm {e}} ^ {ip (z-z ')} int limits _ {- infty} ^ { infty} d Omega , { frac {{ rm {e}} ^ {i Omega ( tau - tau ')}} { Omega ^ {2} -p ^ {2} -k ^ {2}}}.}$

Entegrasyonu aşağıdakilere göre genişletmek ${ displaystyle Omega}$ kalıntı teoremini kullanarak karmaşık alana (kutuplarla ${ displaystyle Omega _ {1,2}}$ olarak seçildi ${ displaystyle lim _ { varepsilon ile 0 +} sola ( pm { sqrt {p ^ {2} + k ^ {2} + i varepsilon}} sağa)}$nedensellik koşullarını karşılamak) biri alır

${ displaystyle G_ {k} ( tau, z; tau ', z') = { frac {1} { pi}} int sınırlar _ {0} ^ { infty} dp , { frac { sin left (( tau - tau ') { sqrt {p ^ {2} + k ^ {2}}} right)} { sqrt {p ^ {2} + k ^ {2 }}}} cos (p (z-z ')).}$

3.876-1 formülünü kullanarak Gradshteyn ve Ryzhik,^[15]

${ displaystyle int limits _ {0} ^ { infty} dx , { frac { sin (p { sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}})} { sqrt { x ^ {2} + a ^ {2}}}} cos (bx) = left {{ begin {align} & { frac { pi} {2}} J_ {0} (a { sqrt {p ^ {2} -b ^ {2}}}) & { text {for}} & 0$ p> 0 end {hizalı}} sağ. qquad (a> 0),}

Green'in son fonksiyon temsili ifadeye indirgenir^[16]

${ displaystyle { frac {1} {2}} J_ {0} sol (k { sqrt {( tau - tau ') ^ {2} - (z-z') ^ {2}}} sağ) h ( tau - tau '- | z-z' |),}$

1 / 2'nin Riemann formülünün ölçeklendirme faktörü olduğu ve ${ displaystyle J_ {0} ( cdot)}$ Riemann işlevi, Heaviside adım işlevi ${ displaystyle h ( cdot)}$ azaltır ${ displaystyle tau> 0}$temel üçgene entegrasyon alanı MPQGreen'in işlev çözümünü STTD tekniğinin sağladığı çözümle eşit hale getirir.

Referanslar ve notlar