Yıldızlı dönüşüm - Starred transform

İçinde Uygulamalı matematik, yıldızlı dönüşümveya yıldız dönüşümü, farklı bir zaman varyasyonudur Laplace dönüşümü, örneklenen sinyallerin geleneksel gösterimindeki yıldız veya "yıldız" nedeniyle bu şekilde adlandırılmıştır. Dönüşüm, sürekli zaman fonksiyonunun bir operatörüdür ${displaystyle x (t)}$, bir işleve dönüştürülen ${displaystyle X ^ {*} (s)}$ aşağıdaki şekilde:^[1]

${displaystyle {egin {hizalı} X ^ {*} (s) = {mathcal {L}} [x (t) cdot delta _ {T} (t)] = {mathcal {L}} [x ^ {*} (t)], bitiş {hizalı}}}$

nerede ${displaystyle delta _ {T} (t)}$ bir Dirac tarağı fonksiyonu, süre T ile.

Yıldızlı dönüşüm, bir dönüşümün Laplace dönüşümünü temsil eden kullanışlı bir matematiksel soyutlamadır. örneklenmiş dürtü işlevi ${displaystyle x ^ {*} (t)}$, ki bu bir ideal örnekleyici, girdisi sürekli bir işlev olan, ${displaystyle x (t)}$.

Yıldızlı dönüşüm, Z dönüşümü, basit bir değişken değişikliğiyle, yıldız işaretli dönüşüm açıkça örnekleme periyodu (T) açısından bildirilirken, Z dönüşümü ayrı bir sinyal üzerinde gerçekleştirilir ve örnekleme döneminden bağımsızdır. Bu, yıldızlı dönüşümü bir normalleştirilmiş tek taraflı versiyonu Z-dönüşümü, örnekleme parametresine bağımlılığı geri yüklediği içinT.

Laplace dönüşümü ile ilişkisi

Dan beri ${displaystyle X ^ {*} (s) = {mathcal {L}} [x ^ {*} (t)]}$, nerede:

${displaystyle {egin {hizalı} x ^ {*} (t) {stackrel {mathrm {def}} {=}} x (t) cdot delta _ {T} (t) & = x (t) cdot toplamı _ { n = 0} ^ {infty} delta (t-nT). son {hizalı}}}$

Sonra evrişim teoremi yıldız işaretli dönüşüm, karmaşık evrişime eşdeğerdir ${displaystyle {mathcal {L}} [x (t)] = X (s)}$ ve ${displaystyle {mathcal {L}} [delta _ {T} (t)] = {frac {1} {1-e ^ {- Ts}}}}$, dolayısıyla:^[1]

${displaystyle X ^ {*} (s) = {frac {1} {2pi j}} int _ {c-jinfty} ^ {c + jinfty} {X (p) cdot {frac {1} {1-e ^ {-T (sp)}}} cdot dp}.}$

Bu hat entegrasyonu böyle bir çizgi ve X'in kutuplarını sol yarı düzleminde çevreleyen sonsuz bir yarım daire tarafından oluşturulan kapalı bir kontur boyunca pozitif anlamda entegrasyona eşdeğerdir. p. Böyle bir entegrasyonun sonucu ( kalıntı teoremi ) olabilir:

${displaystyle X ^ {*} (s) = toplam _ {lambda = {ext {kutup}} X (s)} operatör adı {Res} sınırları _ {p = lambda} {igg [} X (p) {frac { 1} {1-e ^ {- T (sp)}}} {igg]}.}$

Alternatif olarak, yukarıda bahsedilen çizgi entegrasyonu, negatif anlamda, böyle bir çizgi ve sonsuz bir yarım daire tarafından oluşturulan kapalı bir kontur boyunca entegrasyona eşdeğerdir. ${displaystyle {frac {1} {1-e ^ {- T (s-p)}}}}$ sağ yarı düzleminde p. Böyle bir entegrasyonun sonucu şöyle olacaktır:

${displaystyle X ^ {*} (s) = {frac {1} {T}} toplam _ {k = -infty} ^ {infty} Xleft (sj {frac {2pi} {T}} kight) + {frac { x (0)} {2}}.}$

Z dönüşümü ile ilişki

Verilen bir Z-dönüşümü, X(z), karşılık gelen yıldızlı dönüşüm basit bir ikamedir:

${displaystyle {igg.} X ^ {*} (s) = X (z) {igg |} _ {displaystyle z = e ^ {sT}}}$  ^[2]

Bu ikame, bağımlılığı geri yükler T.

Değiştirilebilir,^{[kaynak belirtilmeli ]}

${displaystyle {igg.} X (z) = X ^ {*} (s) {igg |} _ {displaystyle e ^ {sT} = z}}$  

${displaystyle {igg.} X (z) = X ^ {*} (s) {igg |} _ {displaystyle s = {frac {ln (z)} {T}}}}$  

Yıldızlı dönüşümün özellikleri

Özellik 1:  ${displaystyle X ^ {*} (s)}$ periyodik ${displaystyle s}$ dönem ile ${displaystyle j {frac {2pi} {T}}.}$

${displaystyle X ^ {*} (s + j {frac {2pi} {T}} k) = X ^ {*} (s)}$

Özellik 2: Eğer ${displaystyle X (s)}$ sırık var ${displaystyle s = s_ {1}}$, sonra ${displaystyle X ^ {*} (s)}$ kutupları olmalı ${displaystyle s = s_ {1} + j {frac {2pi} {T}} k}$, nerede ${displaystyle scriptstyle k = 0, pm 1, pm 2, ldots}$

Alıntılar

Referanslar

• Bech, Michael M. "Dijital Kontrol Teorisi" (PDF). AALBORG Üniversitesi. Alındı 5 Şubat 2014.
• Gopal, M. (Mart 1989). Dijital Kontrol Mühendisliği. John Wiley & Sons. ISBN  0852263082.
• Phillips ve Nagle, "Dijital Kontrol Sistemi Analizi ve Tasarımı", 3. Baskı, Prentice Hall, 1995. ISBN  0-13-309832-X