Düz iskelet - Straight skeleton

Küçültme süreci, düz iskelet (mavi) ve çatı modeli.

İçinde geometri, bir düz iskelet bir temsil etme yöntemidir çokgen tarafından topolojik iskelet. Bazı açılardan benzer orta eksen ancak iskeletin düz çizgi parçalarından oluşması bakımından farklılık gösterirken, bir çokgenin orta ekseni parabolik eğriler içerebilir. Ancak ikisi de homotopi eşdeğeri temeldeki çokgene.[1]

Düz iskeletler ilk olarak basit çokgenler için tanımlanmıştır. Aichholzer vd. (1995),[2] ve genelleştirilmiş düzlemsel düz çizgi grafikler (PSLG) tarafından Aichholzer ve Aurenhammer (1996).[3]Çatı yüzeylerinin izdüşümü olarak yorumlandıklarında, G.A. Peschka tarafından zaten kapsamlı bir şekilde tartışılmıştır (1877 ).[4]

Tanım

Bir çokgenin düz iskeleti, çokgenin kenarlarının sabit bir hızda kendilerine paralel olarak içe doğru hareket ettirildiği sürekli bir daraltma işlemi ile tanımlanır. Kenarlar bu şekilde hareket ederken, kenar çiftlerinin birleştiği köşeler de tepe açısına bağlı hızlarda hareket eder. Bu hareketli köşelerden biri bitişik olmayan bir kenarla çarpışırsa, çokgen çarpışma ile ikiye bölünür ve süreç her bölümde devam eder. Düz iskelet, bu süreçte hareketli köşeler tarafından izlenen eğriler kümesidir.Üstteki şekil küçülme sürecini, ortadaki şekil ise mavi renkli düz iskeleti göstermektedir.

Algoritmalar

Düz iskelet, tanımlandığı küçülme sürecini simüle ederek hesaplanabilir; girdide ve girdide yaptıkları varsayımlarda farklılık gösteren, onu hesaplamak için bir dizi değişken algoritma önerilmiştir. veri yapıları küçüldükçe giriş çokgenindeki kombinatoryal değişiklikleri tespit etmek için kullanırlar.

Aşağıdaki algoritmalar, bir çokgen, delikli bir çokgen veya bir PSLG oluşturan bir girdiyi dikkate alır. Poligonal bir girdi için köşe sayısını şu şekilde gösteriyoruz: n ve refleks sayısı (içbükey, yani daha büyük açı π) tarafından vertices r. Giriş bir PSLG ise, o zaman bir dizi çokgen oluşturan ilk dalga cephesi yapısını göz önünde bulundururuz ve tekrar n köşe sayısı ve göre r refleks köşelerinin sayısı w.r.t. yayılma yönü.

  • Aichholzer vd.[2][3] O zamanında PSLG'lerin düz iskeletlerinin nasıl hesaplanacağını gösterdi (n3 günlükn) veya daha doğrusu time O ((n2+f) günlükn), nerede n giriş çokgeninin köşe sayısıdır ve f inşaat sırasındaki flip olaylarının sayısıdır. En iyi bilinen sınır f O (n3).
  • O'da en kötü durumda çalışma süresine sahip bir algoritma (nr log n) veya basitçe O (n2 log n), Huber ve Held (2010, 2011 ), yaklaşımlarının birçok girdi için neredeyse doğrusal zamanda çalışacağını iddia eden.[5][6]
  • Petr Felkel ve Štěpán Obdržálek basit çokgenler için O verimliliğine sahip olduğu söylenen bir algoritma tasarladı (nr + n günlük r).[7][8] Ancak, algoritmalarının yanlış olduğu gösterilmiştir.[9][10]
  • İçin veri yapılarını kullanarak bikromatik en yakın çift sorunu, Eppstein ve Erickson doğrusal sayıda en yakın çift veri yapısı güncellemelerini kullanarak düz iskelet problemlerinin nasıl oluşturulacağını gösterdi. En yakın çift veri yapısı dörtlü ağaç O sağlar (nr + n günlükn) zaman algoritması veya önemli ölçüde daha karmaşık bir veri yapısı, daha iyi asimptotik zaman sınırına yol açar Ö(n1 + ε + n8/11 + εr11 Eylül + ε)veya daha basitçe Ö(n17/11 + ε), burada ε sıfırdan büyük herhangi bir sabittir.[11] Bu, kısıtlanmamış girdilere sahip düz iskelet yapımı için bilinen en kötü durum zaman sınırı olmaya devam etmektedir, ancak karmaşıktır ve uygulanmamıştır.
  • İçin basit çokgenler Düz iskelet yapımı sorunu daha kolaydır. Cheng ve Vigneron, O zamanındaki basit çokgenlerin düz iskeletinin nasıl hesaplanacağını gösterdi (n günlük2 n + r3/2 günlük r).[12] En kötü durumda, r düzeninde olabilir n, bu durumda bu zaman sınırı O olarak basitleştirilebilir (n3/2 günlükn).
  • Bir tek tonlu çokgen bir çizgiye göre L her satırın ortogonal olduğu özelliğe sahip bir çokgendir. L çokgeni tek bir aralıkta kesişir. Girdi tek renkli bir çokgen olduğunda, düz iskeleti O zamanında inşa edilebilir (n günlükn).[13]

Başvurular

Girdi poligonu içindeki her nokta, küçültme işleminin o noktaya ulaştığı süreyi noktanın z koordinatı olarak kullanarak üç boyutlu uzaya kaldırılabilir. Ortaya çıkan üç boyutlu yüzey, çokgenin kenarlarında sabit yüksekliğe sahiptir ve farklı açılarda yüzey yamalarının buluştuğu düz iskeletin kendisinin noktaları haricinde onlardan sabit eğimde yükselir. Bu şekilde, düz iskelet, ilk çokgen formundaki duvarlara dayanan bir bina çatısının sırt çizgileri dizisi olarak kullanılabilir.[2][14] Resimdeki alttaki şekil bu şekilde düz iskeletten oluşturulmuş bir yüzeyi tasvir etmektedir.

Demaine, Demaine ve Lubiw, bir kağıt yaprağını katlama tekniğinin bir parçası olarak düz iskeleti kullandılar, böylece belirli bir çokgen tek bir düz kesimle kesilebilir ( katlama ve kesme teoremi ), ve ilgili Japon kağıt katlama sanatı tasarım problemleri.[15]

Barequet vd. Verilen ikisi arasında enterpolasyon yapan üç boyutlu bir yüzey bulmak için bir algoritmada düz iskeletler kullanın poligonal zincirler.[16]

Tănase ve Veltkamp ayrışmayı öneriyor içbükey çokgenler görüntü işlemede şekil eşleştirme için bir ön işleme adımı olarak düz iskeletler kullanarak dışbükey bölgelerin birleşimlerine.[17]

Bagheri ve Razzazi, bir bölgedeki köşe yerleşimini yönlendirmek için düz iskeletler kullanır. grafik çizimi Grafik çiziminin çokgen bir sınırın içinde kalması için sınırlandırıldığı algoritma.[18]

Düz iskelet aynı zamanda bir ofset eğrisi ile bir çokgenin azaltılmış köşeler orta eksenden oluşturulan yuvarlatılmış köşelere sahip bir ofset eğrisinin yapımına benzer şekilde. Tomoeda ve Sugihara bu fikri, geniş açılardan görülebilen ve yanıltıcı bir derinlik görünümü ile tabela tasarımına uyguluyor.[19] Benzer şekilde, Asente ve Carr tasarım yapmak için düz iskeletler kullanır renk gradyanları harf anahatlarıyla veya diğer şekillerle eşleşen.[20]

Gibi diğer iskelet türlerinde olduğu gibi orta eksen düz iskelet, iki boyutlu bir alanı, alanın basitleştirilmiş bir boyutlu temsiline daraltmak için kullanılabilir. Örneğin, Haunert ve Sester, bu türden düz iskeletler için bir uygulamayı tanımlamaktadır. Coğrafi Bilgi Sistemleri, yolların merkez çizgilerini bulmada.[21][22]

Her ağaç hayır ile derece -iki köşe, bir düz iskelet olarak gerçekleştirilebilir. dışbükey Poligon.[23] dışbükey örtü Bu düz iskelete karşılık gelen çatı şeklinin Steinitz gerçekleştirme of Halin grafiği yapraklarını bir döngüde birleştirerek ağaçtan oluşur.

Daha yüksek boyutlar

Barequet vd. üç boyutlu için düz iskeletlerin bir versiyonunu tanımladı çokyüzlü, onu hesaplamak için algoritmaları tanımladı ve karmaşıklığını birkaç farklı polihedron türü üzerinde analiz etti.[24]

Huber vd. araştırıldı metrik uzaylar altında karşılık gelen Voronoi diyagramları ve düz iskeletler çakışmaktadır. İki boyut için, bu tür metrik uzayların karakterizasyonu tamamlanmıştır. Daha yüksek boyutlar için, bu yöntem, Voronoi diyagramları aracılığıyla belirli girdi şekillerinin düz iskeletlerinin rastgele boyutlara genelleştirilmesi olarak yorumlanabilir.[25]

Referanslar

  1. ^ Huber, Stefan (2018), "İskeletlerin ve Ötelemelerin Topolojisi" (PDF), 34. Avrupa Hesaplamalı Geometri Çalıştayı Bildirileri (EuroCG'18).
  2. ^ a b c Aichholzer, Oswin; Aurenhammer, Franz; Alberts, David; Gärtner, Bernd (1995), "Çokgenler için yeni bir iskelet türü", Evrensel Bilgisayar Bilimleri Dergisi, 1 (12): 752–761, doi:10.1007/978-3-642-80350-5_65, BAY  1392429.
  3. ^ a b Aichholzer, Oswin; Aurenhammer, Franz (1996), "Düzlemdeki genel çokgen şekiller için düz iskeletler", Proc. 2. Ann. Int. Conf. Hesaplama ve Kombinatorik (COCOON '96), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 1090, Springer-Verlag, s. 117–126
  4. ^ Peschka, Gustav A. (1877), Kotirte Ebenen: Kotirte Projektionen und deren Anwendung; Vorträge, Brünn: Buschak ve Irrgang, doi:10.14463 / GBV: 865177619.
  5. ^ Huber, Stefan; Düzenlenen, Martin (2010), "Motosiklet grafiklerine dayalı düzlemsel düz çizgi grafiklerin düz iskeletlerini hesaplama" (PDF), 22. Kanada Hesaplamalı Geometri Konferansı Bildirileri.
  6. ^ Huber, Stefan; Düzenlenen, Martin (2011), "Düzlemsel düz çizgi grafiklerin düz iskeletleri üzerinde teorik ve pratik sonuçlar" (PDF), Hesaplamalı Geometri Üzerine Yirmi Yedinci Yıllık Sempozyum Bildirileri (SCG'11), 13–15 Haziran 2011, Paris, Fransa, s. 171–178.
  7. ^ "CenterLineReplacer", FME Transformatörleri, Güvenli Yazılım, alındı 2013-08-05.
  8. ^ Felkel, Petr; Obdržálek, Štěpán (1998), "Düz iskelet uygulaması", SCCG 98: Bilgisayar Grafikleri 14. Bahar Konferansı Bildirileri, s. 210–218.
  9. ^ Huber, Stefan (2012), Düz İskeletleri ve Motosiklet Grafiklerini Hesaplamak: Teori ve Uygulama, Shaker Verlag, ISBN  978-3-8440-0938-5.
  10. ^ Yakersberg, Evgeny (2004), Düz İskelet Tabanlı Enterpolasyon Kullanarak Geometrik Şekiller Arasında Geçiş., İsrail Teknoloji Enstitüsü.
  11. ^ Eppstein, David; Erickson, Jeff (1999), "Çatıların yükseltilmesi, çarpışma döngüleri ve havuzda oynama: ikili etkileşimleri bulmak için bir veri yapısının uygulamaları" (PDF), Ayrık ve Hesaplamalı Geometri, 22 (4): 569–592, doi:10.1007 / PL00009479, BAY  1721026.
  12. ^ Cheng, Siu-Wing; Vigneron, Antoine (2002), "Motosiklet grafikleri ve düz iskeletler" (PDF), Kesikli Algoritmalar 13. Yıllık ACM-SIAM Sempozyumu Bildirileri, s. 156–165.
  13. ^ Biedl, Therese; Düzenlendi, Martin; Huber, Stefan; Kaaser, Dominik; Palfrader, Peter (Şubat 2015). "Monoton Çokgenlerin Pozitif Ağırlıklı Düz ​​İskeletlerini Hesaplamak İçin Basit Bir Algoritma" (PDF). Bilgi İşlem Mektupları. 115 (2): 243–247. doi:10.1016 / j.ipl.2014.09.021. Biedl ve ark. Das ve diğerleri tarafından monoton çokgenler için daha önceki bir algoritmaya işaret edin. açıklandığı gibi yanlıştır ve en iyi ihtimalle yalnızca genel pozisyon köşe-tepe olaylarına sahip olmayanlar: Das, Gautam K .; Mukhopadhyay, Asish; Nandy, Subhas C .; Patil, Sangameswar; Rao, S.V. (2010), "O noktasındaki tekdüze bir çokgenin düz iskeletlerini hesaplamak (n günlükn) zaman " (PDF), 22. Kanada Hesaplamalı Geometri Konferansı Bildirileri.
  14. ^ Bélanger, David (2000), Binaların Çatılarının Tasarımı.
  15. ^ Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Lubiw, Anna (1998), "Kağıt katlama ve kesme", Japonya Ayrık ve Hesaplamalı Geometri Konferansı'ndan Gözden Geçirilmiş Makaleler (JCDCG'98), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 1763, Springer-Verlag, s. 104–117, doi:10.1007 / b75044.
  16. ^ Barequet, Gill; Goodrich, Michael T.; Levi-Steiner, Aya; Steiner, Dvir (2003), "Düz iskelet tabanlı kontur enterpolasyonu", Ayrık Algoritmalar On Dördüncü Yıllık ACM-SIAM Sempozyumu Bildirileri, s. 119–127.
  17. ^ Tănase, Mirela; Veltkamp, ​​Remco C. (2003), "Düz çizgi iskeletine dayalı çokgen ayrışımı", Hesaplamalı Geometri 19. Yıllık ACM Sempozyumu Bildirileri, s. 58–67, doi:10.1145/777792.777802.
  18. ^ Bagheri, Alireza; Razzazi, Mohammadreza (2004), "Çokgen iskelet kullanarak basit çokgenler içinde serbest ağaçlar çizme", Bilgisayar ve Bilişim, 23 (3): 239–254, BAY  2165282.
  19. ^ Tomoeda, Akiyasu; Sugihara, Kokichi (2012), "Yeni bir yanılsama katı işaretinin hesaplamalı olarak oluşturulması", Dokuzuncu Uluslararası Voronoi Diyagramları Sempozyumu Bilim ve Mühendislikte (ISVD 2012), sayfa 144–147, doi:10.1109 / ISVD.2012.26.
  20. ^ Asente, Paul; Carr, Nathan (2013), "3B eğimler kullanarak kontur gradyanları oluşturma", Hesaplamalı Estetik Sempozyumu Bildirileri (CAE '13, Anaheim, California), New York, NY, ABD: ACM, s. 63–66, doi:10.1145/2487276.2487283, ISBN  978-1-4503-2203-4.
  21. ^ Haunert, Jan-Henrik; Sester, Monika (2008), "Alan çökmesi ve düz iskeletlere dayalı yol merkez çizgileri", Geoinformatica, 12 (2): 169–191, doi:10.1007 / s10707-007-0028-x.
  22. ^ Raleigh, David Baring (2008), Gps Kaba Edinim Verisinden Yol Merkez Hatlarının Düz İskelet Etüt Ayarı: Bolivya'da Bir Örnek Olay, Ohio Eyalet Üniversitesi, Jeodezik Bilim ve Ölçme.
  23. ^ Aichholzer, Oswin; Cheng, Howard; Devadoss, Satyan L .; Hackl, Thomas; Huber, Stefan; Li, Brian; Risteski, Andrej (2012), "Bir ağacı düz bir iskelet yapan nedir?" (PDF), 24. Kanada Hesaplamalı Geometri Konferansı Bildirileri (CCCG'12).
  24. ^ Barequet, Gill; Eppstein, David; Goodrich, Michael T.; Vaxman, Amir (2008), "Üç boyutlu polihedranın düz iskeletleri", Proc. Avrupa Algoritmalar Sempozyumu, Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 5193, Springer-Verlag, s. 148–160, arXiv:0805.0022, doi:10.1007/978-3-540-87744-8_13.
  25. ^ Huber, Stefan; Aichholzer, Oswin; Hackl, Thomas; Vogtenhuber, Birgit (2014), "Çok yüzlü uzaklık fonksiyonları altında Voronoi diyagramları aracılığıyla düz iskeletler" (PDF), Proc. 26. Kanada Hesaplamalı Geometri Konferansı (CCCG'14).

Dış bağlantılar