Stuart-Landau denklemi - Stuart–Landau equation

Stuart-Landau denklemi Doğrusal olmayan bir salınım sisteminin yakınındaki davranışını açıklar Hopf çatallanma, adını John Trevor Stuart ve Lev Landau. 1944'te, Landau şimdi adı verilen, rahatsızlığın büyüklüğünün evrimi için bir denklem önerdi. Landau denklemi, geçişi açıklamak için türbülans resmi bir türetme sağlamadan^[1] ve bu denklemi hidrodinamik denklemlerden türetme girişimi, Stuart için Düzlem Poiseuille akışı 1958'de.^[2] Türetilecek resmi türetme Landau denklemi Stuart, Watson ve Palm tarafından 1960 yılında verildi.^[3][4][5] Çatallanma çevresindeki tedirginlik aşağıdaki denklem tarafından yönetilir

${ displaystyle { frac {dA} {dt}} = sigma A - { frac {l} {2}} A | A | ^ {2}.}$

nerede

• ${ displaystyle A = | A | e ^ {i phi}}$ rahatsızlığı açıklayan karmaşık bir niceliktir,
• ${ displaystyle sigma = sigma _ {r} + i sigma _ {i}}$ karmaşık büyüme oranı,
• ${ displaystyle l = l_ {r} + il_ {i}}$ karmaşık bir sayıdır ve ${ displaystyle l_ {r}}$ ... Landau sabiti .

Landau denklemi rahatsızlığın büyüklüğünün denklemidir

${ displaystyle { frac {d | A | ^ {2}} {dt}} = 2 sigma _ {r} | A | ^ {2} -l_ {r} | A | ^ {4},}$

olarak da yeniden yazılabilir^[6]

${ displaystyle { frac {d | A |} {dt}} = sigma _ {r} | A | - { frac {l_ {r}} {2}} | A | ^ {3}.}$

Benzer şekilde, fazın denklemi şu şekilde verilir:

${ displaystyle { frac {d phi} {dt}} = sigma _ {i} - { frac {l_ {i}} {2}} | A | ^ {2}.}$

Denklemin evrenselliği nedeniyle, denklem aşağıdaki gibi birçok alanda uygulamasını bulur. hidrodinamik kararlılık,^[7][8] kimyasal reaksiyonlar^[9] gibi Belousov-Zhabotinsky reaksiyonu, vb.

Landau denklemi bağımlı değişken için yazıldığında doğrusaldır ${ displaystyle | A | ^ {- 2}}$,

${ displaystyle { frac {d | A | ^ {- 2}} {dt}} + 2 sigma _ {r} | A | ^ {- 2} = l_ {r}}$

genel çözüme götüren (için ${ displaystyle sigma _ {r} neq 0}$)

${ displaystyle | A | ^ {- 2} = { frac {l_ {r}} {2 sigma _ {r}}} + sol (A_ {o} ^ {- 2} - { frac {l_ {r}} {2 sigma _ {r}}} sağ) e ^ {- 2 sigma _ {r} t}}$

nerede ${ displaystyle A_ {o} = A (0)}$. Gibi ${ displaystyle t rightarrow infty}$çözüm, başlangıç ​​koşulundan bağımsız olarak sabit bir değere gider, yani, ${ displaystyle | A | rightarrow (2 sigma _ {r} / l_ {r}) ^ {1/2}}$ büyük zamanlarda.

Referanslar