Sembolik yöntem - Symbolic method

İçinde matematik, sembolik yöntem içinde değişmez teori bir algoritma tarafından geliştirilmiş Arthur Cayley  (1846 ), Siegfried Heinrich Aronhold  (1858 ), Alfred Clebsch  (1861 ), ve Paul Gordan  (1887 ) 19. yüzyılda bilgi işlem için değişmezler nın-nin cebirsel formlar. Bir vektör uzayının simetrik bir gücünün bir cismin simetrik elemanlarına gömülmesine karşılık gelen, bir dereceye kadar formun bir gücü gibi, forma muamele etmeye dayanır. tensör ürünü kopyaları.

Sembolik gösterim

Sembolik yöntem, yeni sembollerin tanıtımına bağlı olarak değişmezler için kompakt, ancak oldukça kafa karıştırıcı ve gizemli bir gösterim kullanır. a, b, c, ... (sembolik yöntemin adını aldığı) görünüşte çelişkili özelliklere sahip.

Örnek: ikili ikinci dereceden bir formun ayırt edici

Bu semboller aşağıdaki örnekle açıklanabilir (Gordan 1887, ayet 2, s. 1-3). Farz et ki

${ displaystyle displaystyle f (x) = A_ {0} x_ {1} ^ {2} + 2A_ {1} x_ {1} x_ {2} + A_ {2} x_ {2} ^ {2}}$

ayrımcı tarafından verilen bir değişmez ile ikili ikinci dereceden bir formdur

${ displaystyle displaystyle Delta = A_ {0} A_ {2} -A_ {1} ^ {2}.}$

Ayrımcının sembolik temsili

${ displaystyle displaystyle 2 Delta = (ab) ^ {2}}$

nerede a ve b sembollerdir. İfadenin anlamı (ab)² Şöyleki. Her şeyden önce, (ab) satırları olan bir matrisin determinantı için kısa bir formdur. a₁, a₂ ve b₁, b₂, yani

${ displaystyle displaystyle (ab) = a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}.}$

Bunu kare alırız

${ displaystyle displaystyle (ab) ^ {2} = a_ {1} ^ {2} b_ {2} ^ {2} -2a_ {1} a_ {2} b_ {1} b_ {2} + a_ {2 } ^ {2} b_ {1} ^ {2}.}$

Sonra öyleymiş gibi davranıyoruz

${ displaystyle displaystyle f (x) = (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2}) ^ {2} = (b_ {1} x_ {1} + b_ {2} x_ { 2}) ^ {2}}$

Böylece

${ displaystyle displaystyle A_ {i} = a_ {1} ^ {2-i} a_ {2} ^ {i} = b_ {1} ^ {2-i} b_ {2} ^ {i}}$

ve bunun bir anlam ifade etmediği gerçeğini görmezden geliriz. f doğrusal bir formun gücü değildir. Bu değerleri ikame etmek,

${ displaystyle displaystyle (ab) ^ {2} = A_ {2} A_ {0} -2A_ {1} A_ {1} + A_ {0} A_ {2} = 2 Delta.}$

Daha yüksek dereceler

Daha genel olarak eğer

${ displaystyle displaystyle f (x) = A_ {0} x_ {1} ^ {n} + { binom {n} {1}} A_ {1} x_ {1} ^ {n-1} x_ {2 } + cdots + A_ {n} x_ {2} ^ {n}}$

daha yüksek dereceli bir ikili biçimdir, daha sonra yeni değişkenler tanıtılır a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂özellikleri ile

${ displaystyle f (x) = (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2}) ^ {n} = (b_ {1} x_ {1} + b_ {2} x_ {2} ) ^ {n} = (c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2}) ^ {n} = cdots.}$

Bunun anlamı, aşağıdaki iki vektör uzayının doğal olarak izomorfik olmasıdır:

• Homojen polinomların vektör uzayı Bir₀,...Bir_n derece m
• 2'deki polinomların vektör uzayım değişkenler a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂, ... derecesi olan n her birinde m değişken çiftleri (a₁, a₂), (b₁, b₂), (c₁, c₂), ... ve permütasyonlarına göre simetriktir. m semboller a, b, ....,

İzomorfizm haritalama ile verilir a^n−j
₁a^j
₂, b^n−j
₁b^j
₂, .... için Bir_j. Bu haritalama polinomların ürünlerini korumaz.

Daha fazla değişken

Bir formun uzantısı f ikiden fazla değişkende x₁, x₂,x₃, ... benzer: semboller tanıtılır a₁, a₂,a₃ ve benzeri özelliklerle

${ displaystyle f (x) = (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + a_ {3} x_ {3} + cdots) ^ {n} = (b_ {1} x_ {1} + b_ {2} x_ {2} + b_ {3} x_ {3} + cdots) ^ {n} = (c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2} + c_ {3} x_ {3} + cdots) ^ {n} = cdots.}$

Simetrik ürünler

Sembolik yöntemin oldukça gizemli biçimciliği, simetrik bir ürün S'nin gömülmesine karşılık gelir.ⁿ(V) bir vektör uzayının V tensör ürününe n Kopyaları V, simetrik grubun hareketiyle korunan öğeler olarak. Aslında bu iki kez yapılır, çünkü derece değişmezleri n bir dereceye kadar m S'nin değişmez elemanlarıdırⁿS^m(V), bir tensör ürününe gömülür. mn Kopyaları V, iki simetrik grubun bir çelenk ürünü altında değişmeyen öğeler olarak. Sembolik yöntemin parantezleri, S'nin değişmezlerini veren bu tensör ürünü üzerinde gerçekten değişmez doğrusal formlardır.ⁿS^m(V) kısıtlama ile.

Ayrıca bakınız

• Umbral hesabı

Referanslar

• Aronhold, Siegfried Heinrich (1858), "Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei Veränderlichen.", Journal für die reine und angewandte Mathematik (Almanca'da), 1858 (55): 97–191, doi:10.1515 / crll.1858.55.97, ISSN  0075-4102
• Cayley, Arthur (1846), "Doğrusal dönüşümler hakkında", Cambridge ve Dublin Matematik Dergisi: 104–122
• Clebsch, A. (1861), "Ueber symbolische Darstellung cebebraischer Formen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (Almanca'da), 1861 (59): 1–62, doi:10.1515 / crll.1861.59.1, ISSN  0075-4102
• Dieudonné, Jean; Carrell, James B. (1970), "Değişmez teori, eski ve yeni", Matematikteki Gelişmeler, 4: 1–80, doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0^{[ölü bağlantı ]}, 32–37. sayfalar, "Değişkenleri n-ary formlar: sembolik yöntem. Olarak yeniden basıldı Dieudonné, Jean; Carrell, James B. (1971), Değişmez teori, eski ve yeniAkademik Basın, ISBN  0-12-215540-8
• Dolgachev Igor (2003), Değişmez teori üzerine dersler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 296, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511615436, ISBN  978-0-521-52548-0, BAY  2004511
• Gordan, Paul (1887), Kerschensteiner, Georg (ed.), Vorlesungen über Invariantentheorie (2. baskı), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0328-3, BAY  0917266
• Grace, John Hilton; Genç, Alfred (1903), Değişmezlerin Cebiri, Cambridge University Press
• Hilbert, David (1993) [1897], Cebirsel değişmezler teorisi, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-44457-6, BAY  1266168
• Koh, Sebastian S., ed. (1987), Değişmezlik TeorisiMatematik Ders Notları, 1278, ISBN  3-540-18360-4
• Kung, Joseph P. S .; Rota, Gian-Carlo (1984), "İkili formların değişmez teorisi", Amerikan Matematik Derneği. Bülten. Yeni seri, 10 (1): 27–85, doi:10.1090 / S0273-0979-1984-15188-7, ISSN  0002-9904, BAY  0722856