Tenis raketi teoremi - Tennis racket theorem

"Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps" un başlık sayfası, 1852 baskısı

Bir tenis raketinin ana eksenleri.

tenis raketi teoremi veya ara eksen teoremi sonuçtur Klasik mekanik bir hareketini tanımlayan sağlam vücut üç farklı temel eylemsizlik momentleri. Aynı zamanda Dzhanibekov etkisi, sonra Rusça kozmonot Vladimir Dzhanibekov teoremin birini fark eden mantıksal sonuçlar 1985'te uzaydayken^[1] Ancak etkisi bundan önce en az 150 yıldır biliniyordu.^[2][3]

Teorem şu etkiyi açıklar: Bir nesnenin birinci ve üçüncü etrafında dönüşü ana eksenler sabittir, ancak ikinci ana ekseni (veya ara ekseni) etrafındaki dönüş değildir.

Bu, aşağıdaki deneyle gösterilebilir: bir tenis raketini sapına, yüzü yatay olacak şekilde tutun ve sapa dikey olan yatay eksen etrafında tam bir dönüş yapacak şekilde havaya fırlatmaya çalışın ve deneyin kolu yakalamak için. Neredeyse tüm durumlarda, bu dönüş sırasında yüz de yarım dönüşü tamamlamış olacaktır, böylece diğer yüz şimdi yukarıda olacaktır. Aksine, raketi başka bir eksen etrafında yarım dönüşe eşlik etmeden tutamaç ekseni (üçüncü ana eksen) etrafında dönecek şekilde fırlatmak kolaydır; ayrıca herhangi bir yarım dönüş olmaksızın tutamağa dik dikey eksen etrafında (birinci ana eksen) dönmesini sağlamak da mümkündür.

Deney, üç farklı atalet momentine sahip herhangi bir nesne ile, örneğin bir kitap, uzaktan kumanda veya akıllı telefon ile gerçekleştirilebilir. Etki her zaman ortaya çıkar dönme ekseni nesnenin ikinci ana ekseninden yalnızca biraz farklıdır; hava direnci veya yerçekimi gerekli değildir.^[4]

Teori

Ara eksenin kararsızlığının görselleştirilmesi. Dönen bir nesnenin açısal momentumunun ve kinetik enerjisinin büyüklüğü korunur. Sonuç olarak, açısal hız vektörü iki elipsoidin kesişme noktasında kalır.

Medya oynatın

Dzhanibekov etkisi gösteri mikro yerçekimi, NASA.

Tenis raketi teoremi, aşağıdakilerin yardımıyla niteliksel olarak analiz edilebilir: Euler denklemleri.Altında tork - ücretsiz koşullar, aşağıdaki biçimi alırlar:

${ displaystyle { begin {align} I_ {1} { dot { omega}} _ {1} & = (I_ {2} -I_ {3}) omega _ {2} omega _ {3} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ { text {(1)}} I_ {2} { dot { omega}} _ {2} & = ( I_ {3} -I_ {1}) omega _ {3} omega _ {1} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ { text {(2)} } I_ {3} { dot { omega}} _ {3} & = (I_ {1} -I_ {2}) omega _ {1} omega _ {2} ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ { text {(3)}} end {hizalı}}}$

Buraya ${ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}}$ nesnenin temel eylemsizlik momentlerini belirtir ve biz varsayarız ${ displaystyle I_ {1}> I_ {2}> I_ {3}}$. Nesnenin üç ana ekseni etrafındaki açısal hızlar ${ displaystyle omega _ {1}, omega _ {2}, omega _ {3}}$ ve zaman türevleri ile gösterilir ${ displaystyle { dot { omega}} _ {1}, { dot { omega}} _ {2}, { dot { omega}} _ {3}}$.

Birinci ve üçüncü ana eksen etrafında kararlı dönüş

Nesnenin eylemsizlik momentiyle eksen etrafında döndüğü durumu düşünün ${ displaystyle I_ {1}}$. Dengenin doğasını belirlemek için, diğer iki eksen boyunca küçük başlangıç ​​açısal hızları varsayın. Sonuç olarak, denklem (1) 'e göre, ${ displaystyle ~ { dot { omega}} _ {1}}$ çok küçük. Bu nedenle, zamana bağlılık ${ displaystyle ~ omega _ {1}}$ ihmal edilebilir.

Şimdi, denklem (2) 'yi ayırt etmek ve ikame etmek ${ displaystyle { dot { omega}} _ {3}}$ denklemden (3),

${ displaystyle { begin {align} I_ {2} I_ {3} { ddot { omega}} _ {2} & = (I_ {3} -I_ {1}) (I_ {1} -I_ { 2}) ( omega _ {1}) ^ {2} omega _ {2} { text {ie }} ~~~~ { ddot { omega}} _ {2} & = { text {(negatif miktar)}} cdot omega _ {2} end {hizalı}}}$

Çünkü ${ displaystyle I_ {1} -I_ {2}> 0}$ ve ${ displaystyle I_ {3} -I_ {1} <0}$.

Bunu not et ${ displaystyle omega _ {2}}$ karşıttır ve bu eksen etrafındaki dönüş nesne için sabittir.

Benzer mantık, eylemsizlik momentiyle eksen etrafında dönmeyi verir ${ displaystyle I_ {3}}$ ayrıca kararlıdır.

İkinci ana eksen etrafında dengesiz dönüş

Şimdi aynı analizi eylemsizlik momentli eksene uygulayın ${ displaystyle I_ {2}.}$ Bu zaman ${ displaystyle { dot { omega}} _ {2}}$ çok küçük. Bu nedenle, zamana bağlılık ${ displaystyle ~ omega _ {2}}$ ihmal edilebilir.

Şimdi, denklem (1) 'i ayırt etmek ve ikame etmek ${ displaystyle { dot { omega}} _ {3}}$ denklemden (3),

${ displaystyle { begin {align} I_ {1} I_ {3} { ddot { omega}} _ {1} & = (I_ {2} -I_ {3}) (I_ {1} -I_ { 2}) ( omega _ {2}) ^ {2} omega _ {1} { text {ie}} ~~~~ { ddot { omega}} _ {1} & = { text {(pozitif miktar)}} cdot omega _ {1} end {hizalı}}}$

Bunu not et ${ displaystyle omega _ {1}}$ dır-dir değil zıttır (ve dolayısıyla büyüyecektir) ve bu nedenle ikinci eksen etrafındaki dönüş kararsız. Bu nedenle, diğer eksenler boyunca küçük bir bozulma bile nesnenin 'dönmesine' neden olur.

Ayrıca bakınız

• Çatallanma diyagramı
• Çatallanma teorisi
• Euler açıları
• Fano rezonansı
• Feigenbaum sabitleri
• Metastabilite
• Eylemsizlik momenti
• Poinsot elipsoidi
• Polhode
• Şekil rezonansı

Referanslar

Dış bağlantılar

• Dan Russell (5 Mart 2010). "Masa tenisi raketleri ile ağır çekim Dzhanibekov efekti gösterisi". Alındı 2 Şubat 2017 - YouTube aracılığıyla.
• zapadlovsky (16 Haziran 2010). "Dzhanibekov etkisi gösteri". Alındı 2 Şubat 2017 - YouTube aracılığıyla. açık Mir Uluslararası Uzay istasyonu
• Viacheslav Mezentsev (7 Eylül 2011). "Mathcad 14'te modellenen Djanibekov etkisi". Alındı 2 Şubat 2017 - YouTube aracılığıyla.
• Louis Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps, Paris, Bachelier, 1834, 170 s. OCLC  457954839 : tarihsel olarak, bu etkinin ilk matematiksel açıklaması.
• "Elipsoidler ve Dönen Cisimlerin Tuhaf Davranışı". - sezgisel video açıklaması Matt Parker