Thomson sorunu - Thomson problem

Amacı Thomson sorunu asgariyi belirlemektir elektrostatik potansiyel enerji konfigürasyonu N elektronlar tarafından verilen bir kuvvetle birbirini iten bir birim kürenin yüzeyiyle sınırlıdır. Coulomb yasası. Fizikçi J. J. Thomson 1904'te problem yarattı^[1] teklif ettikten sonra atomik model, daha sonra adı erikli puding modeli, nötr yüklü atomlarda negatif yüklü elektronların varlığı hakkındaki bilgisine dayanarak.

İlgili problemler arasında minimum enerji konfigürasyonunun geometrisinin incelenmesi ve büyük N minimum enerjinin davranışı.

Matematiksel ifade

Thomson probleminin somutlaştırdığı fiziksel sistem, matematikçi tarafından önerilen on sekiz çözülmemiş matematik probleminden birinin özel bir durumudur. Steve Smale - "2-küre üzerindeki noktaların dağılımı".^[2] Her birinin çözümü N-elektron sorunu N- birim yarıçaplı bir kürenin yüzeyiyle sınırlandırılmış elektron konfigürasyonu, ${ displaystyle r = 1}$, küresel bir elektrostatik potansiyel enerji minimum, ${ displaystyle U (N)}$.

Eşit yüklü her elektron çifti arasında meydana gelen elektrostatik etkileşim enerjisi (${ displaystyle e_ {i} = e_ {j} = e}$, ile ${ displaystyle e}$ temel ücret bir elektronun) Coulomb Yasası ile verilir,

${ displaystyle U_ {ij} (N) = k_ {e} {e_ {i} e_ {j} r_ {ij}} üzerinden.}$

Buraya, ${ displaystyle k_ {e}}$ dır-dir Coulomb sabiti ve ${ displaystyle r_ {ij} = | mathbf {r} _ {i} - mathbf {r} _ {j} |}$ vektörlerle tanımlanan küre üzerindeki noktalarda bulunan her bir elektron çifti arasındaki mesafedir ${ displaystyle mathbf {r} _ {i}}$ ve ${ displaystyle mathbf {r} _ {j}}$, sırasıyla.

Basitleştirilmiş birimler ${ displaystyle e = 1}$ ve ${ displaystyle k_ {e} = 1}$ genelliği kaybetmeden kullanılır. Sonra,

${ displaystyle U_ {ij} (N) = {1 r_ {ij}} üzerinden.}$

Her birinin toplam elektrostatik potansiyel enerjisi N-elektron konfigürasyonu daha sonra tüm ikili etkileşimlerin toplamı olarak ifade edilebilir

${ displaystyle U (N) = toplam _ {i$

Küresel minimizasyon ${ displaystyle U (N)}$ olası tüm koleksiyonların üzerinde N farklı noktalar tipik olarak sayısal küçültme algoritmaları ile bulunur.

Misal

Thomson probleminin iki elektron için çözümü, her iki elektronun orijinin zıt taraflarında olabildiğince uzak olduğu zaman elde edilir, ${ displaystyle r_ {ij} = 2r = 2}$veya

${ displaystyle U (2) = {1 2'nin üzerinde}.}$

Bilinen çözümler

Matematiksel Thomson Probleminin şematik geometrik çözümleri N = 5 elektron.

Minimum enerji konfigürasyonları yalnızca birkaç durumda titizlikle tanımlanmıştır.

• İçin N = 1, elektron birim kürenin yüzeyinin herhangi bir noktasında yer alabileceği için çözüm önemsizdir. Konfigürasyonun toplam enerjisi, elektron başka herhangi bir yük kaynağı nedeniyle elektrik alanına tabi olmadığından sıfır olarak tanımlanır.
• İçin N = 2, en uygun konfigürasyon aşağıdaki elektronlardan oluşur karşıt noktalar.
• İçin N = 3, elektronlar bir eşkenar üçgenin köşelerinde bulunur. Harika daire.^[3]
• İçin N = 4, elektronlar normal bir dörtyüzlü.
• İçin N = 5, matematiksel olarak titiz bir bilgisayar destekli çözüm, 2010 yılında, elektronların bir üçgen dipiramit.^[4]
• İçin N = 6, elektronlar normal bir sekiz yüzlü.^[5]
• İçin N = 12, elektronlar bir normalin köşelerinde bulunur icosahedron.^[6]

Özellikle, Thomson probleminin geometrik çözümleri N = 4, 6 ve 12 elektron olarak bilinir Platonik katılar yüzlerinin hepsi uyumlu eşkenar üçgenler. İçin sayısal çözümler N = 8 ve 20, yüzleri sırasıyla kare ve beşgen olan kalan iki Platonik katının düzenli dışbükey çok yüzlü konfigürasyonları değildir.^{[kaynak belirtilmeli ]}.

Genellemeler

Ayrıca rasgele potansiyellerle etkileşime giren parçacıkların temel durumları da istenebilir. f azalan gerçek değerli bir fonksiyon olmak ve enerji fonksiyonunu tanımlamak ${ displaystyle toplamı _ {i$

Geleneksel olarak düşünülür ${ displaystyle f (x) = x ^ {- alpha}}$ Riesz olarak da bilinir ${ displaystyle alpha}$çekirdekler. Entegre edilebilir Riesz çekirdekleri için bkz.^[7]; entegre edilemeyen Riesz çekirdekleri için Haşhaş simit teoremi tutar, bakın^[8]. Önemli durumlar şunları içerir: α = ∞, Tammes sorunu (paketleme); α = 1, Thomson problemi; α = 0, Whyte'ın sorunu (mesafelerin çarpımını maksimize etmek için).

Yapılandırmalar da düşünülebilir. N bir nokta yüksek boyutlu küre. Görmek küresel tasarım.

Diğer bilimsel problemlerle ilişkiler

Thomson sorunu Thomson'ın doğal bir sonucudur. erikli puding modeli tek tip pozitif arka plan yükünün yokluğunda.^[9]

Deneysel kanıtlar Thomson'ın erikli puding modelinin tam bir atom modeli olarak terk edilmesine yol açsa da, Thomson probleminin sayısal enerji çözümlerinde gözlenen düzensizliklerin, doğal olarak meydana gelen atomlarda elektron kabuğu dolgusuna karşılık geldiği bulunmuştur. periyodik tablo öğelerin.^[11]

Thomson problemi aynı zamanda diğer fiziksel modellerin çalışılmasında da rol oynar: çok elektronlu baloncuklar ve içinde hapsedilmiş sıvı metal damlaların yüzey sıralaması Paul tuzakları.

Genelleştirilmiş Thomson problemi, örneğin küresel kabukları içeren protein alt birimlerinin düzenlemelerinin belirlenmesinde ortaya çıkar. virüsler. Bu başvurudaki "parçacıklar", bir kabuk üzerinde düzenlenen protein alt birimleri kümeleridir. Diğer gerçekleşmeler, kolloid içindeki parçacıklar kolloidosomlar, ilaçlar, besinler veya canlı hücreler gibi aktif bileşenlerin kapsüllenmesi için önerilen, Fullerene karbon atomlarının modelleri ve VSEPR teorisi. Uzun menzilli logaritmik etkileşimlere sahip bir örnek, Abrikosov girdapları düşük sıcaklıklarda oluşacak süper iletken merkezinde büyük bir monopole sahip metal kabuk.

Bilinen en küçük enerjinin konfigürasyonları

Aşağıdaki tabloda ${ displaystyle N}$ bir konfigürasyondaki puanların (ücretlerin) sayısıdır, ${ displaystyle E_ {1}}$ enerjidir, simetri tipi verilir Schönflies gösterimi (görmek Üç boyutlu nokta grupları ), ve ${ displaystyle r_ {i}}$ suçlamaların pozisyonlarıdır. Çoğu simetri türü, konumların vektör toplamını gerektirir (ve dolayısıyla elektrik dipol momenti ) sıfır olacak.

Ayrıca, tarafından oluşturulan polihedronu da dikkate almak gelenekseldir. dışbükey örtü Puanların. Böylece, ${ displaystyle v_ {i}}$ verilen sayıda kenarın birleştiği köşelerin sayısıdır '${ displaystyle e}$ toplam kenar sayısıdır, ${ displaystyle f_ {3}}$ üçgen yüzlerin sayısı, ${ displaystyle f_ {4}}$ dörtgen yüzlerin sayısıdır ve ${ displaystyle theta _ {1}}$ en yakın yük çiftiyle ilişkili vektörlerin kapsadığı en küçük açıdır. Kenar uzunluklarının genellikle eşit olmadığını unutmayın; bu nedenle (durumlar dışında N = 2, 3, 4, 6, 12 ve jeodezik polihedra ) dışbükey gövde sadece topolojik olarak son sütunda listelenen şekle eşdeğer.^[12]

N	${ displaystyle E_ {1}}$	Simetri	${ displaystyle sol | toplamı mathbf {r} _ {i} sağ |}$	${ displaystyle v_ {3}}$	${ displaystyle v_ {4}}$	${ displaystyle v_ {5}}$	${ displaystyle v_ {6}}$	${ displaystyle v_ {7}}$	${ displaystyle v_ {8}}$	${ displaystyle e}$	${ displaystyle f_ {3}}$	${ displaystyle f_ {4}}$	${ displaystyle theta _ {1}}$	Eşdeğer çokyüzlü
2	0.500000000	${ displaystyle D _ { infty h}}$	0	–	–	–	–	–	–	2	–	–	180.000°	Digon
3	1.732050808	${ displaystyle D_ {3h}}$	0	–	–	–	–	–	–	3	2	–	120.000°	üçgen
4	3.674234614	${ displaystyle T_ {d}}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	dörtyüzlü
5	6.474691495	${ displaystyle D_ {3h}}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	üçgen dipiramit
6	9.985281374	${ displaystyle O_ {h}}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	sekiz yüzlü
7	14.452977414	${ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	beşgen dipiramit
8	19.675287861	${ displaystyle D_ {4d}}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	kare antiprizma
9	25.759986531	${ displaystyle D_ {3h}}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	üç parçalı üçgen prizma
10	32.716949460	${ displaystyle D_ {4d}}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	gyroelongated kare dipiramit
11	40.596450510	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	kenar kısaltılmış ikosahedron
12	49.165253058	${ displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	icosahedron (jeodezik küre {3,5+}1,0)
13	58.853230612	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	${ displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	gyroelongated altıgen dipiramit
15	80.670244114	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°
17	106.050404829	${ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°	çift ​​jiroskopik uzun beşgen dipiramit
18	120.084467447	${ displaystyle D_ {4d}}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	${ displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	${ displaystyle T_ {d}}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	${ displaystyle O}$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	küçümseme küpü
25	243.812760299	${ displaystyle C_ {s}}$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	${ displaystyle C_ {2}}$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	${ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	${ displaystyle C_ {3v}}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	${ displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°	Pentakis dodecahedron (jeodezik küre {3,5+}1,1)
33	440.204057448	${ displaystyle C_ {s}}$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
37	560.618887731	${ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	${ displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	${ displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	${ displaystyle T_ {d}}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	${ displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	${ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	${ displaystyle O_ {h}}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	${ displaystyle C_ {s}}$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	${ displaystyle O}$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	${ displaystyle C_ {3}}$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	${ displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	${ displaystyle C_ {3}}$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°
53	1191.922290416	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27.137°
54	1239.361474729	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26.615°
56	1337.094945276	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26.683°
57	1387.383229253	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°
58	1438.618250640	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°
59	1490.773335279	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26.170°
60	1543.830400976	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25.958°
61	1597.941830199	${ displaystyle C_ {1}}$	0.001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25.392°
62	1652.909409898	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25.880°
63	1708.879681503	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25.257°
64	1765.802577927	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°
65	1823.667960264	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24.527°
66	1882.441525304	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24.765°
67	1942.122700406	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24.727°
68	2002.874701749	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°
69	2064.533483235	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24.137°
70	2127.100901551	${ displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24.291°
71	2190.649906425	${ displaystyle C_ {2}}$	0.001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23.803°
72	2255.001190975	${ displaystyle I}$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°	jeodezik küre {3,5+}2,1
73	2320.633883745	${ displaystyle C_ {2}}$	0.001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°
74	2387.072981838	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966°
75	2454.369689040	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22.736°
76	2522.674871841	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°
77	2591.850152354	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23.286°
78	2662.046474566	${ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23.426°
79	2733.248357479	${ displaystyle C_ {s}}$	0.000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22.636°
80	2805.355875981	${ displaystyle D_ {4d}}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22.778°
81	2878.522829664	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21.892°
82	2952.569675286	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206°
83	3027.528488921	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21.646°
84	3103.465124431	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°
85	3180.361442939	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°
86	3258.211605713	${ displaystyle C_ {2}}$	0.001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°
87	3337.000750014	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°
88	3416.720196758	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°
89	3497.439018625	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°
90	3579.091222723	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°
92	3745.291636241	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21.026°
93	3829.844338421	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20.751°
94	3915.309269620	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20.952°
95	4001.771675565	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20.711°
96	4089.154010060	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20.687°
97	4177.533599622	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20.422°
99	4357.139163132	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20.284°
100	4448.350634331	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20.297°
101	4540.590051694	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°
102	4633.736565899	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20.040°
103	4727.836616833	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19.907°
104	4822.876522746	${ displaystyle D_ {6}}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957°
105	4919.000637616	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19.842°
106	5015.984595705	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658°
107	5113.953547724	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19.327°
108	5212.813507831	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19.327°
109	5312.735079920	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19.103°
110	5413.549294192	${ displaystyle D_ {6}}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19.476°
111	5515.293214587	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19.255°
112	5618.044882327	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°
113	5721.824978027	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18.978°
114	5826.521572163	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18.836°
115	5932.181285777	${ displaystyle C_ {3}}$	0.000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18.458°
116	6038.815593579	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18.386°
117	6146.342446579	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18.566°
118	6254.877027790	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°
119	6364.347317479	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°
120	6474.756324980	${ displaystyle C_ {s}}$	0.001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18.418°
121	6586.121949584	${ displaystyle C_ {3}}$	0.000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°
122	6698.374499261	${ displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18.612°	jeodezik küre {3,5+}2,2
123	6811.827228174	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17.840°
124	6926.169974193	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°
125	7041.473264023	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17.867°
126	7157.669224867	${ displaystyle D_ {4}}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17.920°
127	7274.819504675	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17.877°
128	7393.007443068	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17.814°
129	7512.107319268	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17.743°
130	7632.167378912	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17.683°
131	7753.205166941	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°
132	7875.045342797	${ displaystyle I}$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17.958°	jeodezik küre {3,5+}3,1
133	7998.179212898	${ displaystyle C_ {3}}$	0.000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°
134	8122.089721194	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17.214°
135	8246.909486992	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°
136	8372.743302539	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°
137	8499.534494782	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°
138	8627.406389880	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16.924°
139	8756.227056057	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16.673°
140	8885.980609041	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16.773°
141	9016.615349190	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16.962°
142	9148.271579993	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°
143	9280.839851192	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16.782°
144	9414.371794460	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16.953°
145	9548.928837232	${ displaystyle C_ {s}}$	0.000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16.841°
146	9684.381825575	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16.905°
147	9820.932378373	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16.458°
148	9958.406004270	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16.627°
149	10096.859907397	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16.344°
150	10236.196436701	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°
151	10376.571469275	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16.163°
152	10517.867592878	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16.117°
153	10660.082748237	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°
154	10803.372421141	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16.078°
155	10947.574692279	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°
156	11092.798311456	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15.822°
157	11238.903041156	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15.948°
158	11385.990186197	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15.987°
159	11534.023960956	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°
160	11683.054805549	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15.961°
161	11833.084739465	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°
162	11984.050335814	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15.813°
163	12136.013053220	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15.675°
164	12288.930105320	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15.655°
165	12442.804451373	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651°
166	12597.649071323	${ displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15.607°
167	12753.469429750	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°
168	12910.212672268	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15.655°
169	13068.006451127	${ displaystyle C_ {s}}$	0.000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15.537°
170	13226.681078541	${ displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15.569°
171	13386.355930717	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15.497°
172	13547.018108787	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15.292°
173	13708.635243034	${ displaystyle C_ {s}}$	0.000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15.225°
174	13871.187092292	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15.366°
175	14034.781306929	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15.252°
176	14199.354775632	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°
177	14364.837545298	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15.269°
178	14531.309552587	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15.145°
179	14698.754594220	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14.968°
180	14867.099927525	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15.067°
181	15036.467239769	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°
182	15206.730610906	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°
183	15378.166571028	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14.747°
184	15550.421450311	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14.932°
185	15723.720074072	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14.775°
186	15897.897437048	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14.739°
187	16072.975186320	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14.848°
188	16249.222678879	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°
189	16426.371938862	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14.671°
190	16604.428338501	${ displaystyle C_ {3}}$	0.000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°
191	16783.452219362	${ displaystyle C_ {1}}$	0.001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14.195°
192	16963.338386460	${ displaystyle I}$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819°	jeodezik küre {3,5+}3,2
193	17144.564740880	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144°
194	17326.616136471	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°
195	17509.489303930	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14.375°
196	17693.460548082	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°
197	17878.340162571	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147°
198	18064.262177195	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14.237°
199	18251.082495640	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°
200	18438.842717530	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14.222°
201	18627.591226244	${ displaystyle C_ {1}}$	0.001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13.830°
202	18817.204718262	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189°
203	19007.981204580	${ displaystyle C_ {s}}$	0.000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13.977°
204	19199.540775603	${ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14.291°
212	20768.053085964	${ displaystyle I}$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118°	jeodezik küre {3,5+}4,1
214	21169.910410375	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13.771°
216	21575.596377869	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13.735°
217	21779.856080418	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13.902°
232	24961.252318934	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°
255	30264.424251281	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12.565°
256	30506.687515847	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12.572°
257	30749.941417346	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12.672°
272	34515.193292681	${ displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°	jeodezik küre {3,5+}3,3
282	37147.294418462	${ displaystyle I}$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12.166°	jeodezik küre {3,5+}4,2
292	39877.008012909	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11.857°
306	43862.569780797	${ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11.628°
312	45629.313804002	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11.299°
315	46525.825643432	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11.337°
317	47128.310344520	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11.423°
318	47431.056020043	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11.219°
334	52407.728127822	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11.058°
348	56967.472454334	${ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10.721°
357	59999.922939598	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10.728°
358	60341.830924588	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10.647°
372	65230.027122557	${ displaystyle I}$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10.531°	jeodezik küre {3,5+}4,3
382	68839.426839215	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10.379°
390	71797.035335953	${ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10.222°
392	72546.258370889	${ displaystyle C_ {1}}$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10.278°
400	75582.448512213	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10.068°
402	76351.192432673	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10.099°
432	88353.709681956	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9.556°
448	95115.546986209	${ displaystyle T}$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9.322°
460	100351.763108673	${ displaystyle T}$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9.297°
468	103920.871715127	${ displaystyle S_ {6}}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9.120°
470	104822.886324279	${ displaystyle S_ {6}}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9.059°

Bir varsayıma göre, eğer ${ displaystyle m = n + 2}$, p dışbükey gövdesinin oluşturduğu çokyüzlüdür m puan q dörtgen yüzlerin sayısı p, sonra çözüm m elektronlar f(m): ${ displaystyle f (m) = 0 ^ {n} + 3n-q}$.^[13]

Referanslar

Notlar

• Whyte, L.L. (1952). "Bir küre üzerindeki noktaların benzersiz düzenlemeleri". Amer. Matematik. Aylık. 59 (9): 606–611. doi:10.2307/2306764. JSTOR  2306764.
• Cohn Harvey (1956). "Bir küre üzerindeki elektronların kararlılık konfigürasyonları". Matematik. Bilgisayar. 10 (55): 117–120. doi:10.1090 / S0025-5718-1956-0081133-0.
• Goldberg, Michael (1969). "Bir küre üzerindeki elektronların kararlılık konfigürasyonları". Matematik. Zorunlu. 23 (108): 785–786. doi:10.1090 / S0025-5718-69-99642-2.
• Erber, T .; Hockney, G.M. (1991). "Bir küre üzerindeki N eşit yüklerin denge konfigürasyonları". J. Phys. C: Matematik. Gen. 24 (23): L1369. Bibcode:1991JPhA ... 24L1369E. doi:10.1088/0305-4470/24/23/008.
• Morris, J. R .; Deaven, D. M .; Ho, K.M. (1996). "Bir küredeki nokta yükleri için genetik algoritma enerji minimizasyonu". Phys. Rev. B. 53 (4): R1740 – R1743. Bibcode:1996PhRvB..53.1740M. CiteSeerX  10.1.1.28.93. doi:10.1103 / PhysRevB.53.R1740.
• Erber, T .; Hockney, G.M. (1997). Karmaşık Sistemler: Denge Konfigürasyonları ${ displaystyle N}$ Bir Küre Üzerinde Eşit Yükler ${ displaystyle (2 leq N leq 112)}$. Kimyasal Fizikteki Gelişmeler. 98. sayfa 495–594. doi:10.1002 / 9780470141571.ch5. ISBN  9780470141571..
• Altschuler, E. L .; Williams, T. J .; Ratner, E. R .; Tipton, R .; Stong, R .; Dowla, F .; Wooten, F. (1997). "Thomson'ın bir küredeki yük problemi için olası küresel minimum kafes konfigürasyonları". Phys. Rev. Lett. 78 (14): 2681–2685. Bibcode:1997PhRvL..78.2681A. doi:10.1103 / PhysRevLett.78.2681.
• Bowick, M .; Cacciuto, A .; Nelson, D. R .; Travesset, A. (2002). "Bir küre üzerindeki kristal düzen ve genelleştirilmiş Thomson Problemi". Phys. Rev. Lett. 89 (18): 249902. arXiv:cond-mat / 0206144. Bibcode:2002PhRvL..89r5502B. doi:10.1103 / PhysRevLett.89.185502. PMID  12398614.
• Dragnev, P. D .; Legg, D. A .; Townsend, D.W. (2002). "Küre üzerindeki ayrık logaritmik enerji". Pacific J. Math. 207 (2): 345–358. doi:10.2140 / pjm.2002.207.345..
• Katanforuş, A .; Shahshahani, M. (2003). "Küre üzerindeki noktaları dağıtma. I". Exper. Matematik. 12 (2): 199–209. doi:10.1080/10586458.2003.10504492.
• Galler, David J .; Ülker, Sıdıka (2006). "Thomson problemi için karakterize edilen küresel kristallerin yapısı ve dinamikleri". Phys. Rev. B. 74 (21): 212101. Bibcode:2006PhRvB..74u2101W. doi:10.1103 / PhysRevB.74.212101. Yeniden yazdırılan konfigürasyonlar Galler, D. J .; Ülker, S. "Cambridge küme veritabanı".
• Slosar, A .; Podgornik, R. (2006). "Bağlı şarjlar hakkında Thomson sorunu". Europhys. Mektup. 75 (4): 631. arXiv:cond-mat / 0606765. Bibcode:2006EL ..... 75..631S. doi:10.1209 / epl / i2006-10146-1.
• Cohn, Henry; Kumar, Abhinav (2007). "Noktaların küreler üzerinde evrensel olarak optimal dağılımı". J. Amer. Matematik. Soc. 20 (1): 99–148. arXiv:matematik / 0607446. Bibcode:2007JAMS ... 20 ... 99C. doi:10.1090 / S0894-0347-06-00546-7.
• Galler, D. J .; McKay, H .; Altschuler, E.L. (2009). "Küresel topolojiler için kusur motifleri". Phys. Rev. B. 79 (22): 224115. Bibcode:2009PhRvB..79v4115W. doi:10.1103 / PhysRevB.79.224115.. Yeniden üretilen konfigürasyonlar Galler, D. J .; Ülker, S. "Cambridge küme veritabanı".
• Ridgway, W. J. M .; Cheviakov, A.F. (2018). "Birim küre üzerindeki parçacıkların yerel ve küresel olarak optimal düzenlemelerini bulmak için yinelemeli bir prosedür". Bilgisayar. Phys. Commun. 233: 84–109. doi:10.1016 / j.cpc.2018.03.029.
• Cecka, Cris; Bowick, Mark J .; Middleton, Alan A. "Thomson Problem @ S.U."