Burulma alt grubu - Torsion subgroup

Teorisinde değişmeli gruplar, burulma alt grubu Bir_T değişmeli bir grubun Bir ... alt grup nın-nin Bir sonlu olan tüm unsurlardan oluşan sipariş ( burulma elemanları nın-nin Bir^[1]). Değişmeli bir grup Bir denir burulma (veya periyodik) grubun her öğesi Bir sonlu bir sıraya sahiptir ve denir bükülmez eğer her unsur Bir hariç Kimlik sonsuz düzenlidir.

Bunun kanıtı Bir_T grup altında kapalıdır işlemi, işlemin değişmeliğine dayanır (bkz. örnekler bölümü).

Eğer Bir değişmeli, sonra burulma alt grubu T bir tam karakteristik alt grup nın-nin Bir ve faktör grubu Bir/T burulma yapmaz. Var kovaryant functor -den değişmeli gruplar kategorisi her grubu kendi torsiyon alt grubuna ve her gruba gönderen torsiyon grupları kategorisine homomorfizm burulma alt grubu ile sınırlandırılması. Değişken gruplar kategorisinden torsiyonsuz gruplar kategorisine kadar, her grubu kendi torsiyon alt grubu ile kendi bölümüne gönderen ve her homomorfizmi bariz indüklenmiş homomorfizmaya (kolayca iyi tanımlanmış olarak görülebilen) gönderen başka bir kovaryant functor vardır. ).

Eğer Bir dır-dir sonlu oluşturulmuş ve değişmeli, o zaman şu şekilde yazılabilir doğrudan toplam burulma alt grubunun T ve burulma içermeyen bir alt grup (ancak bu, sonsuz olarak üretilen tüm değişmeli gruplar için geçerli değildir). Herhangi bir ayrışmada Bir bir burulma alt grubunun doğrudan toplamı olarak S ve burulma içermeyen bir alt grup, S eşit olmalı T (ancak burulma içermeyen alt grup benzersiz şekilde belirlenmemiştir). Bu, sınıflandırılmasında önemli bir adımdır. sonlu oluşturulmuş değişmeli gruplar.

p-güç burulma alt grupları

Herhangi bir değişmeli grup için ${ displaystyle (A, +)}$ Ve herhangi biri asal sayı p set Bir_Tp öğelerinin Bir emri olan p adlı bir alt gruptur p-güç burulma alt grubu veya daha gevşek bir şekilde p-torsiyon alt grubu:

${ displaystyle A_ {T_ {p}} = {a A ; | ; mathbb {N} ;, p ^ {n} a = 0 } içinde n var. ;}$

Burulma alt grubu Bir_T doğrudan toplamına izomorftur p-tüm asal sayılar üzerinde güç burulma alt grupları p:

${ displaystyle A_ {T} cong bigoplus _ {p P} A_ {T_ {p}} içinde. ;}$

Ne zaman Bir sonlu değişmeli bir gruptur, Bir_Tp benzersiz ile çakışıyor Sylow palt grup nın-nin Bir.

Her biri p-güç burulma alt grubu Bir bir tam karakteristik alt grup. Daha güçlü bir şekilde, değişmeli gruplar arasındaki herhangi bir homomorfizm her birini p-güç burulma alt grubuna karşılık gelen p-güç burulma alt grubu.

Her asal sayı için p, bu bir functor değişmeli gruplar kategorisinden kategorisine p-Her grubu kendi bünyesine gönderen güç burulma grupları p-güç burulma alt grubu ve her homomorfizmi p-torsiyon alt grupları. Burulma grupları kategorisi ile bu fonksiyonların kısıtlanmasının tüm asal sayıları kümesi üzerindeki çarpım, sadık görevli burulma grupları kategorisinden, kategorilerinin tüm asal sayıları üzerinden ürüne p-torsiyon grupları. Bir anlamda bu, çalışmak anlamına gelir p-Torsiyon grupları izolasyon halinde bize genel olarak burulma grupları hakkında her şeyi anlatır.

Örnekler ve diğer sonuçlar

Bir kafes tarafından eklenen karmaşık sayıların bölüm grubunun 4 burulma alt grubu.

• Değişken olmayan bir grubun burulma alt kümesi, genel olarak bir alt grup değildir. Örneğin, sonsuz iki yüzlü grup, hangisi sunum:

⟨ x, y | x² = y² = 1 ⟩

eleman xy iki burulma elemanının ürünüdür, ancak sonsuz mertebeye sahiptir.

• Burulma elemanları bir üstelsıfır grup oluşturmak normal alt grup.^[2]
• Her sonlu değişmeli grup bir burulma grubudur. Ancak her burulma grubu sonlu değildir: a'nın doğrudan toplamını düşünün sayılabilir kopya sayısı döngüsel grup C₂; bu bir burulma grubudur, çünkü her element 2. mertebeye sahiptir. sonlu oluşturulmuş örnek olarak faktör grubu Q/Z gösterir.
• Her serbest değişmeli grup burulma içermez, ancak tersi doğru değildir, bunun katkı grubu tarafından gösterildiği gibi rasyonel sayılar Q.
• Bile Bir sonlu olarak oluşturulmazsa boyut Burulma içermeyen kısmının% 'si, makalesinde daha ayrıntılı olarak açıklandığı gibi, benzersiz bir şekilde belirlenir. değişmeli grup sıralaması.
• Değişmeli bir grup Bir bükülmez ancak ve ancak bu düz olarak Z-modül bu ne zaman olursa olsun C bazı değişmeli grupların bir alt grubudur B, ardından doğal harita tensör ürünü C ⊗ Bir -e B ⊗ Bir dır-dir enjekte edici.
• Değişmeli bir grubu germek Bir ile Q (veya herhangi biri bölünebilir grup ) burulmayı öldürür. Yani, eğer T bir burulma grubudur o zaman T ⊗ Q = 0. Genel değişmeli grup için Bir burulma alt grubu ile T birinde var Bir ⊗ Q ≅ Bir/T ⊗ Q.
• Burulma alt grubunu almak, burulma değişmeli gruplarını bir coreflective alt kategori Değişken grupların oranı, burulma alt grubu tarafından bölümü alırken, burulmasız değişmeli grupları bir yansıtıcı alt kategori.

Ayrıca bakınız

• Burulma (cebir)
• Burulma içermeyen değişmeli grup
• Burulma değişmeli grubu

Notlar

Referanslar

• Epstein, David B.A.; Savaş Topu, James W.; Holt, Derek F .; Levy, Silvio V. F .; Paterson, Michael S.; Thurston, William P. (1992), Gruplarda Kelime İşleme, Boston, MA: Jones ve Bartlett Yayıncıları, ISBN  0-86720-244-0