Trigonometrik moment problemi - Trigonometric moment problem

İçinde matematik, trigonometrik an problemi aşağıdaki gibi formüle edilir: sonlu bir sıra verilir {α₀, ... α_n }, pozitif var mı Borel ölçüsü μ [0, 2 aralığındaπ] öyle ki

${displaystyle alpha _ {k} = {frac {1} {2pi}} int _ {0} ^ {2pi} e ^ {- ikt}, dmu (t).}$

Başka bir deyişle, sorunlara olumlu yanıt vermek şu anlama gelir:α₀, ... α_n } ilk n + 1 Fourier katsayıları bazı pozitif Borel önlemlerinin μ [0, 2'deπ].

Karakterizasyon

Trigonometrik moment problemi çözülebilir, yani {α_k} bir Fourier katsayıları dizisidir, ancak ve ancak (n + 1) × (n + 1) Toeplitz matrisi

${displaystyle A = left ({egin {matrix} alpha _ {0} & alpha _ {1} & cdots & alpha _ {n} {ar {alpha _ {1}}} & alpha _ {0} & cdots & alpha _ {n-1 } vdots & vdots & ddots & vdots {ar {alpha _ {n}}} & {ar {alpha _ {n-1}}} & cdots & alpha _ {0} end {matrix}} ight)}$

dır-dir pozitif yarı belirsiz.

Taleplerin "sadece eğer" kısmı doğrudan bir hesaplama ile doğrulanabilir.

Sohbet için bir argüman çiziyoruz. Pozitif yarı kesin matris Bir tanımlar sesquilinear ürün C^{n + 1}, sonuçta Hilbert uzayı

${displaystyle ({mathcal {H}}, langle;,; angle)}$

en fazla boyutsal n + 1, tipik bir öğesi [ile gösterilen bir eşdeğerlik sınıfıdırf]. Toeplitz yapısı Bir "kesilmiş" vardiyanın bir kısmi izometri açık ${displaystyle {mathcal {H}}}$. Daha spesifik olarak {e₀, ...e_n } standart temeli olmak C^{n + 1}. İzin Vermek ${displaystyle {mathcal {E}}}$ {[tarafından oluşturulan alt uzaye₀], ... [e_{n - 1}] } ve ${displaystyle {mathcal {F}}}$ {[tarafından oluşturulan alt uzaye₁], ... [e_n]}. Bir operatör tanımlayın

${displaystyle V: {mathcal {E}} ightarrow {mathcal {F}}}$

tarafından

${displaystyle V [e_ {k}] = [e_ {k + 1}] dörtlü {mbox {for}} dörtlü k = 0ldots n-1.}$

Dan beri

${displaystyle langle V [e_ {j}], V [e_ {k}] açı = langle [e_ {j + 1}], [e_ {k + 1}] açı = A_ {j + 1, k + 1} = A_ {j, k} = halka [e_ {j}], [e_ {k}] açı,}$

V tümünün üzerine etki eden kısmi bir izometriye genişletilebilir ${displaystyle {mathcal {H}}}$. Asgari alın üniter uzantı U nın-nin V, muhtemelen daha geniş bir alanda (bu her zaman vardır). Göre spektral teorem Borel ölçüsü var m birim çemberde T öyle ki tüm tamsayılar için k

${displaystyle langle (U ^ {*}) ^ {k} [e_ {n + 1}], [e_ {n + 1}] açı = int _ {mathbf {T}} z ^ {k} dm.}$

İçin k = 0,...,nsol taraf

${displaystyle langle (U ^ {*}) ^ {k} [e_ {n + 1}], [e_ {n + 1}] açı = langle (V ^ {*}) ^ {k} [e_ {n + 1}], [e_ {n + 1}] açı = langle [e_ {n + 1-k}], [e_ {n + 1}] açı = A_ {n + 1, n + 1-k} = { ar {alfa _ {k}}}.}$

Yani

${displaystyle int _ {mathbf {T}} z ^ {- k} dm = int _ {mathbf {T}} {ar {z}} ^ {k} dm = alfa _ {k}.}$

Son olarak, birim çemberi parametrize edin T tarafından e^o [0, 2'deπ] verir

${displaystyle {frac {1} {2pi}} int _ {0} ^ {2pi} e ^ {- ikt} dmu (t) = alfa _ {k}}$

uygun bir önlem için μ.

Çözümlerin parametrelendirilmesi

Yukarıdaki tartışma, Toeplitz matrisi varsa, trigonometrik moment probleminin sonsuz sayıda çözüme sahip olduğunu göstermektedir. Bir ters çevrilebilir. Bu durumda, sorunun çözümleri, sorunun asgari üniter uzantıları ile önyargılı yazışmalardır. kısmi izometri V.

Referanslar

• N.I. Akhiezer, Klasik Moment Problemi, Olivier ve Boyd, 1965.
• N.I. Akhiezer, M.G. Kerin, Momentler Teorisindeki Bazı Sorular, Amer. Matematik. Soc., 1962.