Birim kök - Unit root

İçinde olasılık teorisi ve İstatistik, bir Birim kök bazılarının bir özelliği Stokastik süreçler (gibi rastgele yürüyüşler ) sorunlara neden olabilir istatiksel sonuç içeren Zaman serisi modeller. Doğrusal Stokastik süreç 1 işlemin kökü ise birim kökü vardır karakteristik denklem. Böyle bir süreç sabit olmayan ama her zaman bir eğilime sahip değildir.

Karakteristik denklemin diğer kökleri birim çemberin içindeyse, yani bir modülü (mutlak değer ) birden az - sonra ilk fark sürecin durağan olacağı; aksi takdirde, işlemin durağan hale gelmesi için birden çok kez farklılaştırılması gerekecektir.^[1] Eğer varsa d birim kökler, işlemin farklılaştırılması gerekecek d sabit hale getirmek için kez.^[2] Bu özelliğinden dolayı birim kök süreçleri de denir sabit fark.^[3][4]

Birim kök süreçleri bazen şununla karıştırılabilir: trend-durağan süreçler; birçok mülkü paylaşırken birçok yönden farklıdırlar. Bir zaman serisinin durağan olmaması, ancak birim köke sahip olmaması ve trend-durağan olması mümkündür. Hem birim kök hem de eğilim-durağan süreçlerde, ortalama zaman içinde artabilir veya azalabilir; Bununla birlikte, bir şokun varlığında, eğilim-durağan süreçler ortalama geri dönerken (yani geçici, zaman serileri şoktan etkilenmeyen büyüme ortalamasına tekrar yakınlaşacaktır), birim-kök süreçleri ise kalıcı bir etkiye sahiptir. ortalama (yani zaman içinde yakınsama yok).^[5]

Sürecin karakteristik denkleminin bir kökü 1'den büyükse, buna bir patlayıcı süreç, bu tür süreçler bazen yanlış bir şekilde birim kök süreçleri olarak adlandırılsa bile.

Bir birim kökün varlığı, bir birim kök testi.

Tanım

Ayrık bir zamanı düşünün Stokastik süreç ${ displaystyle (y_ {t}, t = 1,2,3, ldots)}$ve bunun bir otoregresif sipariş sürecip:

${ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + a_ {2} y_ {t-2} + cdots + a_ {p} y_ {t-p} + varepsilon _ {t}.}$

Buraya, ${ displaystyle ( varepsilon _ {t}, t = 0,1,2, ldots,)}$ sabit varyanslı, seri olarak ilintisiz, sıfır ortalamalı bir stokastik süreçtir ${ displaystyle sigma ^ {2}}$. Kolaylık sağlamak için varsayalım ${ displaystyle y_ {0} = 0}$. Eğer ${ displaystyle m = 1}$ bir kök of karakteristik denklem, nın-nin çokluk 1:

${ displaystyle m ^ {p} -m ^ {p-1} a_ {1} -m ^ {p-2} a_ {2} - cdots -a_ {p} = 0}$

daha sonra stokastik sürecin bir Birim kök veya alternatif olarak düzen entegre bir, belirtilen ${ displaystyle I (1)}$. Eğer m = 1 bir çokluğun kökü r, daha sonra stokastik süreç sipariş ile entegre edilir r, belirtilen ben(r).

Misal

Birinci dereceden otoregresif model, ${ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + varepsilon _ {t}}$, bir birim köke sahip olduğunda ${ displaystyle a_ {1} = 1}$. Bu örnekte karakteristik denklem şu şekildedir: ${ displaystyle m-a_ {1} = 0}$. Denklemin kökü ${ displaystyle m = 1}$.

Sürecin bir birim kökü varsa, bu durağan olmayan bir zaman serisidir. Yani, stokastik sürecin anları, ${ displaystyle t}$. Bir birim kökün etkisini göstermek için, birinci dereceden durumu düşünebiliriz. y₀ = 0:

${ displaystyle y_ {t} = y_ {t-1} + varepsilon _ {t}.}$

Tekrarlanan ikameyle yazabiliriz ${ displaystyle y_ {t} = y_ {0} + toplam _ {j = 1} ^ {t} varepsilon _ {j}}$. Sonra varyansı ${ displaystyle y_ {t}}$ tarafından verilir:

${ displaystyle operatorname {Var} (y_ {t}) = toplam _ {j = 1} ^ {t} sigma ^ {2} = t sigma ^ {2}.}$

Varyans şunlara bağlıdır: t dan beri ${ displaystyle operatöradı {Var} (y_ {1}) = sigma ^ {2}}$, süre ${ displaystyle operatöradı {Var} (y_ {2}) = 2 sigma ^ {2}}$. Serinin varyansının sonsuza doğru uzaklaştığını unutmayın.t.

Bir birim kökün varlığını kontrol etmek için çeşitli testler vardır, bunlardan bazıları şu şekilde verilir:

1. Dickey-Fuller testi (DF) veya artırılmış Dickey – Fuller (ADF) testleri
2. Birden fazla katsayının önemini test etme (f testi)
3. Phillips – Perron testi (PP)
4. Dickey Pantula testi

İlgili modeller

Ek olarak otoregresif (AR) ve otoregresif – hareketli ortalama (ARMA) modelleri, diğer önemli modeller regresyon analizi nerede model hataları kendileri olabilir Zaman serisi yapı ve dolayısıyla yukarıda tartışıldığı gibi bir birim köke sahip olabilen bir AR veya ARMA süreci ile modellenmesi gerekebilir. sonlu örnek birim kökleri de dahil olmak üzere birinci dereceden ARMA hatalarına sahip regresyon modellerinin özellikleri analiz edilmiştir.^[6][7]

Bir birim kökün bulunabileceği tahmin

Sıklıkla, Sıradan en küçük kareler (OLS), eğim katsayılarını tahmin etmek için kullanılır. otoregresif model. OLS'nin kullanımı, stokastik sürecin durağan olmasına dayanır. Stokastik süreç durağan olmadığında, OLS kullanımı geçersiz tahminler üretebilir. Granger ve Newbold, bu tür tahminleri 'sahte regresyon' sonuçları olarak adlandırdı:^[8] yüksek R² değerler ve yüksek t-oranları ekonomik anlamı olmayan sonuçlar verir.

Eğim katsayılarını tahmin etmek için önce bir birim kök testi, kimin sıfır hipotezi bir birim kökün mevcut olmasıdır. Bu hipotez reddedilirse, OLS kullanılabilir. Ancak, bir birim kökün varlığı reddedilmezse, o zaman kişi fark operatörü seriye. Başka bir birim kök testi, farklı zaman serilerinin durağan olduğunu gösteriyorsa, OLS, eğim katsayılarını tahmin etmek için bu seriye uygulanabilir.

Örneğin, AR (1) durumunda, ${ displaystyle Delta y_ {t} = y_ {t} -y_ {t-1} = varepsilon _ {t}}$ sabittir.

AR (2) durumunda, ${ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + a_ {2} y_ {t-2} + varepsilon _ {t}}$ olarak yazılabilir ${ displaystyle (1- lambda _ {1} L) (1- lambda _ {2} L) y_ {t} = varepsilon _ {t}}$ L nerede gecikme operatörü bir değişkenin zaman indeksini bir dönem azaltır: ${ displaystyle Ly_ {t} = y_ {t-1}}$. Eğer ${ displaystyle lambda _ {2} = 1}$modelin bir birim kökü var ve biz tanımlayabiliriz ${ displaystyle z_ {t} = Delta y_ {t}}$; sonra

${ displaystyle z_ {t} = lambda _ {1} z_ {t-1} + varepsilon _ {t}}$

eğer sabitse ${ displaystyle | lambda _ {1} | <1}$. OLS, eğim katsayısını tahmin etmek için kullanılabilir, ${ displaystyle lambda _ {1}}$.

İşlemin birden fazla birim kökü varsa, fark operatörü birden çok kez uygulanabilir.

Birim kök süreçlerin özellikleri ve özellikleri

• Birim kök sürecindeki şokların kalıcı etkileri vardır ve süreç durağan olsaydı olduğu gibi bozulmaz.
• Yukarıda belirtildiği gibi, bir birim kök işleminin t'ye bağlı bir varyansı vardır ve sonsuza uzaklaşır.
• Bir dizinin birim köke sahip olduğu biliniyorsa, diziler onu durağan kılmak için farklılaştırılabilir. Örneğin, bir dizi ${ displaystyle Y_ {t}}$ Ben (1), dizi ${ displaystyle Delta Y_ {t} = Y_ {t} -Y_ {t-1}}$ I (0) (sabit). Bu nedenle a sabit fark dizi.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Birim kök hipotezi

Yukarıdaki şema, bir potansiyel birim kök örneğini göstermektedir. Kırmızı çizgi, çıktıda gözlemlenen bir düşüşü temsil eder. Yeşil, dizinin birim kökü varsa kurtarma yolunu gösterir. Mavi, eğer birim kökü yoksa ve seri trend-durağan ise iyileşmeyi gösterir. Mavi çizgi kesikli trend çizgisini karşılamak ve takip etmek için geri dönerken, yeşil çizgi trendin kalıcı olarak altında kalır. Birim kök hipotezi, çıktıdaki bir artışın, geçmiş trendden daha yüksek çıktı seviyelerine yol açacağını da savunuyor.

Ekonomistler, çeşitli ekonomik istatistiklerin, özellikle çıktı, bir birim köke sahip veya trend-sabit.^[9] Birinci dereceden durumda sürüklenmeli bir birim kök süreci verilir.

${ displaystyle y_ {t} = y_ {t-1} + c + e_ {t}}$

nerede c "sürüklenme" terimi olarak adlandırılan sabit bir terimdir ve ${ displaystyle e_ {t}}$ beyaz gürültüdür. Gürültü teriminin sıfır olmayan herhangi bir değeri, yalnızca bir dönem için meydana gelir, kalıcı olarak değerini etkileyecektir. ${ displaystyle y_ {t}}$ grafikte gösterildiği gibi, çizgiden sapmalar ${ displaystyle y_ {t} = a + ct}$ sabit değildir; herhangi bir trend çizgisine geri dönüş yoktur. Buna karşılık, trend-durağan bir süreç şu şekilde verilir:

${ displaystyle y_ {t} = k cdot t + u_ {t}}$

nerede k trendin eğimi ve ${ displaystyle u_ {t}}$ gürültüdür (en basit durumda beyaz gürültü; daha genel olarak, kendi sabit otoregresif sürecini takip eden gürültü). Burada herhangi bir geçici gürültü, uzun vadeli eğilimi değiştirmeyecektir. ${ displaystyle y_ {t}}$ grafikte de gösterildiği gibi eğilim çizgisinde olmak. Bu sürecin trend-durağan olduğu söylenir çünkü trend çizgisinden sapmalar sabittir.

Konu, iş çevrimleriyle ilgili literatürde özellikle popülerdir.^[10][11] Konuyla ilgili araştırmalar Nelson ve Plosser ile başladı. GSMH ve diğer çıktı kümeleri bu seriler için birim kök hipotezini reddedemedi.^[12] O zamandan beri, istatistiksel yöntemlerle ilgili teknik tartışmalarla iç içe olan bir tartışma başladı. Bazı ekonomistler^[13] şunu tartış GSYİH birim köke sahip veya yapısal kırılma ekonomik gerilemelerin uzun vadede kalıcı olarak daha düşük GSYİH seviyeleri ile sonuçlandığını ima eder. Diğer iktisatçılar, GSYİH'nin eğilim-durağan olduğunu savunuyorlar: Yani, bir gerileme sırasında GSYİH eğilimin altına düştüğünde, daha sonra üretimde kalıcı bir düşüş olmayacak şekilde eğilimin ima ettiği seviyeye geri dönüyor. Birim kök hipotezine ilişkin literatür, istatistiksel yöntemler üzerine gizli tartışmalardan ibaret olsa da, hipotez ekonomik tahminler ve politikalar için önemli pratik çıkarımlar taşır.

Ayrıca bakınız

• Dickey-Fuller testi
• Artırılmış Dickey-Fuller testi
• ADF-GLS testi
• Birim kök testi
• Phillips – Perron testi
• Eşbütünleşme birim köklere sahip iki değişken arasındaki ilişkinin belirlenmesi
• Ağırlıklı simetrik birim kök testi (WS)
• Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin testi, olarak bilinen KPSS testleri

Notlar