Evrensel ikinci dereceden form - Universal quadratic form

Matematikte bir evrensel ikinci dereceden form bir ikinci dereceden form üzerinde yüzük yüzüğün her unsurunu temsil eden.[1] Sıfırı önemsiz olmayan bir şekilde temsil eden bir alan üzerinde tekil olmayan bir form evrenseldir.[2]

Örnekler

  • Gerçek sayıların üzerinde, form x2 tek bir değişkende negatif sayıları temsil edemediği için evrensel değildir: iki değişkenli form x2 − y2 bitmiş R evrenseldir.
  • Lagrange'ın dört kare teoremi her pozitif tamsayının dört karenin toplamı olduğunu belirtir. Dolayısıyla form x2 + y2 + z2 + t2 − sen2 bitmiş Z evrenseldir.
  • Üzerinde sonlu alan 2 veya daha fazla boyutun tekil olmayan ikinci dereceden herhangi bir formu evrenseldir.[3]

Rasyonel sayıların üzerinde formlar

Hasse-Minkowski teoremi bir formun evrensel olduğunu ima eder Q eğer ve ancak evrenselse Qp hepsi için p (dahil ettiğimiz yer p = ∞, izin vermek Q∞ belirtmek R).[4] Bir form bitti R evrenseldir ancak ve ancak değilse kesin; üzerinde bir form Qp en az 4 boyutuna sahipse evrenseldir.[5] Tüm belirsiz boyut biçimlerinin en az 4'ün üzerinde olduğu sonucuna varılabilir. Q evrenseldir.[4]

Ayrıca bakınız

  • 15 ve 290 teoremleri ikinci dereceden bir formun tüm pozitif tam sayıları temsil etmesi için koşullar verin.

Referanslar

  1. ^ Lam (2005) s. 10
  2. ^ Rajwade (1993) s. 146
  3. ^ Lam (2005) s. 36
  4. ^ a b Serre (1973) s. 43
  5. ^ Serre (1973) s. 37
  • Lam, Tsit-Yuen (2005). Alanlar Üzerinden Kuadratik Formlara Giriş. Matematik Yüksek Lisans Çalışmaları. 67. Amerikan Matematik Derneği. ISBN  0-8218-1095-2. BAY  2104929. Zbl  1068.11023.
  • Rajwade, A.R. (1993). Kareler. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.
  • Serre, Jean-Pierre (1973). Aritmetik Kursu. Matematikte Lisansüstü Metinler. 7. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90040-3. Zbl  0256.12001.