Veblen işlevi - Veblen function

İçinde matematik, Veblen fonksiyonları bir hiyerarşi normal işlevler (sürekli kesinlikle artan fonksiyonlar itibaren sıra sayıları Sıralamalara), tarafından tanıtıldı Oswald Veblen içinde Veblen (1908). Eğer φ0 herhangi bir normal fonksiyondur, o zaman herhangi bir sıfır olmayan ordinal α için, φα ortak olanı numaralandıran işlevdir sabit noktalar / φβ β <α için. Bu işlevlerin hepsi normaldir.

Veblen hiyerarşisi

Özel durumda φ0(α) = ωαbu işlev ailesi olarak bilinir Veblen hiyerarşisi. İşlevi φ1 ile aynı ε işlevi: φ1(α) = εα. Eğer sonra Bundan ve φ gerçeğindenβ kesinlikle artıyor sipariş alıyoruz: eğer ve sadece eğer ( ve ) veya ( ve ) veya ( ve ).

Veblen hiyerarşisi için temel diziler

Sıralı dizinin temel dizisi nihai olma ω, sınırı olarak ordinal olan, kesin olarak artan bir ω-dizisidir. Birinin α ve tüm küçük limit sıraları için temel dizileri varsa, o zaman ω ve α arasında (yani seçim aksiyomunu kullanmayan) açık bir yapıcı eşleştirme yaratılabilir. Burada, sıra sayılarının Veblen hiyerarşisi için temel dizileri açıklayacağız. Resmi n α için temel sekans altında α [n].

Bir varyasyonu Kantor normal formu Veblen hiyerarşisi ile bağlantılı olarak kullanılır - sıfırdan farklı her sıra sayısı α benzersiz şekilde şöyle yazılabilir: , nerede k> 0 doğal bir sayıdır ve ilkinden sonraki her terim, önceki terimden küçük veya ona eşittir, ve her biri Son terim için temel bir dizi sağlanabiliyorsa, bu terim böyle bir dizi ile değiştirilebilir.

Herhangi bir β için, eğer γ bir sınır ise o zaman izin ver

Böyle bir sıra sağlanamaz = ω0 = 1 çünkü eş finalitesi yok.

İçin Biz seciyoruz

İçin kullanırız ve ör. 0, , , vb..

İçin , kullanırız ve

Şimdi β'nin bir sınır olduğunu varsayalım:

Eğer o zaman izin ver

İçin , kullan

Aksi takdirde, sıra kullanılarak daha küçük sıra sayıları cinsinden tanımlanamaz. ve bu şema ona uygulanmaz.

Γ işlevi

Γ işlevi, α sıralarını φ olacak şekilde numaralandırır.α(0) = α. Γ0 ... Feferman-Schütte sıralı, yani en küçük α öyle ki φα(0) = α.

Γ için0, temel bir sekans seçilebilir ve

Γ içinβ + 1, İzin Vermek ve

Γ içinβ nerede sınırdır, izin ver

Genellemeler

Sonlu çok değişken

Sonlu sayıda argümanın (sonlu Veblen fonksiyonu) Veblen fonksiyonunu oluşturmak için ikili fonksiyona izin verin olmak yukarıda tanımlandığı gibi.

İzin Vermek boş bir dize veya virgülle ayrılmış bir veya daha fazla sıfırdan oluşan bir dize olabilir ve boş bir dize veya bir veya daha fazla virgülle ayrılmış sıra sayılarından oluşan bir dize olabilir ile . İkili fonksiyon olarak yazılabilir ikisi de nerede ve boş dizelerdir. Sonlu Veblen fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlanır:

  • Eğer , sonra gösterir - fonksiyonların ortak sabit noktası her biri için

Örneğin, ... - fonksiyonların sabit noktası , yani ; sonra bu fonksiyonun sabit noktalarını, yani, işlev; ve tüm sabit noktaları numaralandırır . Genelleştirilmiş Veblen işlevlerinin her bir örneği, sıfır olmayan son değişken (yani, bir değişken değişecek şekilde yapılırsa ve sonraki tüm değişkenler sürekli olarak sıfıra eşit tutulursa).

Sıra bazen olarak bilinir Ackermann sıralı. Sınırı sıfırların sayısının over üzerinde değiştiği yerde, bazen "Küçük" Veblen sıralı.

Sıfır olmayan her sıra küçük Veblen ordinalinden (SVO) daha az, sonlu Veblen işlevi için normal biçimde benzersiz bir şekilde yazılabilir:

nerede

  • pozitif bir tam sayıdır
  • virgülle ayrılmış bir veya daha fazla sıra sayıdan oluşan bir dizedir nerede ve her biri

Sonlu Veblen fonksiyonunun limit sıraları için temel diziler

Limit sıraları için , sonlu Veblen işlevi için normal biçimde yazılmış:

  • ,
  • ,
  • ve Eğer ve halefi bir sıra,
  • ve Eğer ve halefler,
  • Eğer bir sınır sıralıdır,
  • Eğer ve bir limit sıralıdır,
  • Eğer halefi bir sıra ve bir limit sıralıdır.

Sonsuz sayıda değişken

Daha genel olarak, Veblen, φ'nın, α sıralarının bir transfinite dizisi için bile tanımlanabileceğini gösterdi.β, sınırlı sayıları dışında hepsinin sıfır olması koşuluyla. Böyle bir sıra sırası sayılamayanlardan daha az olanlardan seçilirse dikkat edin. düzenli kardinal κ, bu durumda dizi κ'den küçük tek bir sıra olarak kodlanabilirκ. Yani biri, φ'den function fonksiyonunu tanımlıyorκ κ.

Tanım şu şekilde verilebilir: let α sıra sayılarının sonsuz bir dizisi olabilir (yani, sonlu desteği olan sıra işlevi) sıfırla biten (yani, α₀ = 0 olacak şekilde) ve let α[0↦γ], son 0'ın γ ile değiştirildiği aynı işlevi gösterir. Sonra γ↦φ (α[0↦γ]), tüm fonksiyonların ortak sabit noktalarını sıralayan fonksiyon olarak tanımlanır ξ↦φ (β) nerede β en küçük indeksli sıfır olmayan değerin azaltılmasıyla elde edilen tüm diziler üzerinde aralıklar α ve daha küçük dizine alınmış bir değeri belirsiz ξ ile değiştirmek (yani, β=α[ι₀↦ζ, ι↦ξ] en küçük indeks için ι₀, öyle ki αι₀ sıfırdan farklıdır, ikincisi bir ζ <α değeriyle değiştirilmiştirι₀ ve daha küçük bir dizin için ι <ι₀, α değeriι= 0, ξ ile değiştirilmiştir).

Örneğin, eğer α= (ω↦1) değeri 1 olan sonlu diziyi ve diğer her yerde 0, o zaman φ (ω↦1) tüm fonksiyonların en küçük sabit noktasıdır ξ↦φ (ξ, 0,…, 0) ile sonlu birçok son sıfır (aynı zamanda sonlu çok sıfırlı φ (1,0,…, 0) 'ın sınırıdır, küçük Veblen sıralaması).

Α'nın α desteğiyle herhangi bir fonksiyona uygulanan φ'dan büyük olduğu en küçük ordinal α (yani sonsuz sayıda değişkenin Veblen fonksiyonu kullanılarak "aşağıdan" ulaşılamayan) bazen olarak bilinir "Büyük" Veblen sıra sayısı.

Referanslar

  • Hilbert Levitz, Transfinite Sıralamalar ve Gösterimleri: Başlatılmamışlar İçin, açıklayıcı makale (8 sayfa, içinde PostScript )
  • Pohlers, Wolfram (1989), İspat teorisi, Matematik Ders Notları, 1407, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-46825-7, ISBN  978-3-540-51842-6, BAY  1026933
  • Schütte, Kurt (1977), İspat teorisiGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 225, Berlin-New York: Springer-Verlag, s. Xii + 299, ISBN  978-3-540-07911-8, BAY  0505313
  • Takeuti, Gaisi (1987), İspat teorisiMantık Üzerine Çalışmalar ve Matematiğin Temelleri, 81 (İkinci baskı), Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN  978-0-444-87943-1, BAY  0882549
  • Smorynski, C. (1982), "Arboreal deneyimin çeşitleri", Matematik. İstihbaratçı, 4 (4): 182–189, doi:10.1007 / BF03023553 Veblen hiyerarşisinin gayri resmi bir açıklamasını içerir.
  • Veblen, Oswald (1908), "Sonlu ve Sonlu Sıraların Sürekli Artan İşlevleri", Amerikan Matematik Derneği İşlemleri, 9 (3): 280–292, doi:10.2307/1988605, JSTOR  1988605
  • Miller, Larry W. (1976), "Normal Fonksiyonlar ve Yapıcı Sıralı Gösterimler", Sembolik Mantık Dergisi, 41 (2): 439–459, doi:10.2307/2272243, JSTOR  2272243