İçinde matematik ve daha doğrusu analiz, Wallis integralleri bir aile oluşturmak integraller tarafından tanıtıldı John Wallis.
Tanım, temel özellikler
Wallis integralleri dizinin şartları
tarafından tanımlandı
![{ displaystyle W_ {n} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47647776ba61c70a5ab19c93c9b8df8f0db95192)
veya eşdeğer olarak (ikame ile
),
![{ displaystyle W_ {n} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {n} x , dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8c0fb116c5e020a52251d1adf084a5900f0811)
Bu dizinin ilk birkaç terimi:
![W_ {0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f541f57fd799ba5137a2e50a1a728dde4306c06) | ![W_1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ab879909bd9762251f679bbb2fa738100baa45) | ![W_2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421467fcab2af38ddf3977b9adf66de8ef3abd57) | ![W_ {3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87b911493067a5414c6bc6c4433ff3840062864) | ![W_4](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a976c59bf91696c4af8023b529364d4d9e2dc0) | ![W_ {5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c6e3bf9d672142434318668776a3be7c53e573) | ![W_ {6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2886a845a8e8bf797b690c4fa3cbaaa94dcd11c2) | ![W_ {7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080ea71350fcad8153c3d5d381c84d552726258c) | ![W_ {8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e6acccd31fa20256f36e62bc571894aa3afa69) | ... | ![W_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa0340872ef1d6511eaf27ed7c57f98589a693d) |
![{ frac { pi} {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) | ![1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) | ![frac { pi} {4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f89d7c88c1c93dce69a46052a8e276e231063de) | ![{ frac {2} {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19eee5d63f2cf9106dc531cdfdea8cfb8f34b2cf) | ![{ frac {3 pi} {16}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6279daadbfa2bb454d7db40339692a44298ca23) | ![{ frac {8} {15}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06170be4ea30f4478fd5fe88791f008ddb490bb4) | ![{ frac {5 pi} {32}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b179f3e803bdec5b20399e59b6f1f3eddc2e24ee) | ![{ frac {16} {35}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d72ac366f9fb00c6e98ad9d620a14dd7247a5be) | ![{ frac {35 pi} {256}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e237d3627550585e65a0497f26b54e5b4508e472) | ... | ![{ displaystyle { frac {n-1} {n}} W_ {n-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea96675005973b00d238248a588a251db3ceb49d) |
Sekans
azalıyor ve olumlu şartları var. Aslında herkes için ![{ displaystyle n geq 0:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fe007d36acc026adddb1df99eac3e72cca44b7)
çünkü aynı şekilde sıfır olmayan, negatif olmayan sürekli bir fonksiyonun bir integralidir;
yine çünkü son integral negatif olmayan bir fonksiyona sahiptir.
Diziden beri
azalır ve 0 ile sınırlanırsa, negatif olmayan bir limite yakınsar. Aslında sınır sıfırdır (aşağıya bakınız).
Tekrarlama ilişkisi
Vasıtasıyla Parçalara göre entegrasyon, bir Tekrarlama ilişkisi elde edilebilir. Kimliği kullanma
hepimiz var
,
![{ displaystyle { begin {align {align}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx & = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} ( sin ^ {n-2} x) (1- cos ^ {2} x) , dx & = int _ {0} ^ { frac { pi} { 2}} sin ^ {n-2} x , dx- int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n-2} x cos ^ {2} x , dx. qquad { text {Denklem (1)}} end {hizalı}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fabd81c0df96f21541e936b4bee0a3337b2ab5)
İkinci integrali parçalara göre entegre etmek:
, kimin anti-türev dır-dir ![u (x) = { frac {1} {n-1}} sin ^ {{n-1}} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f007ea53f9d4636f25ed9009cdab09a4a3b19f4)
, kimin türev dır-dir ![v '(x) = - sin (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662235527ba2c66d6030fd09e3906e94040b042b)
sahibiz:
![{ displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n-2} x cos ^ {2} x , dx = sol [{ frac { sin ^ {n-1} x} {n-1}} cos x right] _ {0} ^ { frac { pi} {2}} + { frac {1} {n-1}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n-1} x sin x , dx = 0 + { frac {1} {n-1}} W_ {n }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9bc041e854a7886c226ea1ef97744ddfec878b4)
Bu sonucun denklem (1) ile değiştirilmesi,
![{ displaystyle W_ {n} = W_ {n-2} - { frac {1} {n-1}} W_ {n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab22dae9328b209579e36afc017bd0efb329f74b)
ve böylece
![{ displaystyle W_ {n} = { frac {n-1} {n}} W_ {n-2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2cf28351acf5b971a65463a261a4c8a2f2b475c)
hepsi için ![{ displaystyle n geq 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12579de3af09ac1e4dd0c0724536b2361760f498)
Bu bir tekrarlama ilişkisidir
açısından
. Bu, değerleri ile birlikte
ve
bize dizideki terimler için iki formül seti verin
olup olmadığına bağlı olarak
tek veya çift:
![{ displaystyle W_ {2p} = { frac {2p-1} {2p}} cdot { frac {2p-3} {2p-2}} cdots { frac {1} {2}} W_ { 0} = { frac {(2p-1) !!} {(2p) !!}} cdot { frac { pi} {2}} = { frac {(2p)!} {2 ^ { 2p} (p!) ^ {2}}} cdot { frac { pi} {2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64a2405d899e3945ce92fd81f638f9ae686ea07)
![{ displaystyle W_ {2p + 1} = { frac {2p} {2p + 1}} cdot { frac {2p-2} {2p-1}} cdots { frac {2} {3}} W_ {1} = { frac {(2p) !!} {(2p + 1) !!}} = { frac {2 ^ {2p} (p!) ^ {2}} {(2p + 1) !}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1856b66b85f50b7de264352efdceaa5a397d5328)
Wallis'in integrallerini değerlendirmek için başka bir ilişki
Wallis'in integralleri kullanılarak değerlendirilebilir Euler integralleri:
- Euler integral birinci türden: Beta işlevi:
için Yeniden(x), Re (y) > 0
- İkinci türden Euler integrali: Gama işlevi:
için Yeniden(z) > 0.
Beta fonksiyonu içerisinde aşağıdaki ikameyi yaparsak:![{ displaystyle quad left {{ begin {matrix} t = sin ^ {2} u 1-t = cos ^ {2} u dt = 2 sin u cos u, , du end {matrix}} sağ.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87189c8c6c5d5b0780446182b472fe5349a40ab)
elde ederiz:
![{ displaystyle mathrm {B} (a, b) = 2 int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {2a-1} u cos ^ {2b-1} u , du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00be5a324fdbb56e365d69ee4e744e464a3d55fa)
Bu bize Wallis integrallerini değerlendirmek için aşağıdaki ilişkiyi verir:
![{ displaystyle W_ {n} = { frac {1} {2}} mathrm {B} left ({ frac {n + 1} {2}}, { frac {1} {2}} sağ) = { frac { Gama sol ({ tfrac {n + 1} {2}} sağ) Gama sol ({ tfrac {1} {2}} sağ)} {2 , Gama sol ({ tfrac {n} {2}} + 1 sağ)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf50a9a90404c2491f3de05431e60ae279d468f)
Yani, tuhaf
, yazı
, sahibiz:
![{ displaystyle W_ {2p + 1} = { frac { Gama sol (p + 1 sağ) Gama sol ({ frac {1} {2}} sağ)} {2 , Gama left (p + 1 + { frac {1} {2}} right)}} = { frac {p! Gamma left ({ frac {1} {2}} sağ)} {( 2p + 1) , Gamma left (p + { frac {1} {2}} right)}} = { frac {2 ^ {p} ; p!} {(2p + 1) !! }} = { frac {2 ^ {2 , p} ; (p!) ^ {2}} {(2p + 1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e315bcb8dbe468d791f2e0aef9666054bc3a55de)
oysa bile
, yazı
ve bunu bilmek
, anlıyoruz:
![{ displaystyle W_ {2p} = { frac { Gama sol (p + { frac {1} {2}} sağ) Gama sol ({ frac {1} {2}} sağ)} {2 , Gama sol (p + 1 sağ)}} = { frac {(2p-1) !! ; pi} {2 ^ {p + 1} ; p!}} = { frac {(2p)!} {2 ^ {2 , p} ; (p!) ^ {2}}} cdot { frac { pi} {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef949047464423028a6277e13aa68497e443a611)
Eşdeğerlik
- Yukarıdaki yineleme formülünden
, bunu çıkarabiliriz
(iki dizinin denkliği).
- Gerçekten herkes için
:
(sıra azalıyor)
(dan beri
)
(denklem ile
).- Tarafından sandviç teoremi, Şu sonuca varıyoruz ki
, ve dolayısıyla
.
- İnceleyerek
, aşağıdaki denklik elde edilir:
( ve sonuç olarak
).
Kanıt
Hepsi için
, İzin Vermek
.
Şekline dönüştü,
denklem yüzünden
.Diğer bir deyişle
sabittir.
Bunu herkes için takip eder
,
.
Şimdi, o zamandan beri
ve
eşdeğer ürün kurallarına göre,
.
Böylece,
, istenen sonuç gelir (bunu not ederek
).
Stirling formülünün çıkarılması
Aşağıdaki denkliğe sahip olduğumuzu varsayalım ( Stirling'in formülü ):
![{ displaystyle n! sim C { sqrt {n}} left ({ frac {n} {e}} sağ) ^ {n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd7b806955b7a9524f975e805a8a896563d392c4)
bazı sabitler için
belirlemek istediğimiz. Yukarıdan biz var
(denklem (3))
Genişleyen
ve faktöriyeller için yukarıdaki formülü kullanarak,
![{ displaystyle { begin {align} W_ {2p} & = { frac {(2p)!} {2 ^ {2p} (p!) ^ {2}}} cdot { frac { pi} { 2}} & sim { frac {C left ({ frac {2p} {e}} right) ^ {2p} { sqrt {2p}}} {2 ^ {2p} C ^ { 2} left ({ frac {p} {e}} right) ^ {2p} left ({ sqrt {p}} sağ) ^ {2}}} cdot { frac { pi} {2}} & = { frac { pi} {C { sqrt {2p}}}}. { Text {(denklem (4))}} end {hizalı}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e46f118d7cf59937c3e8bc7fa12bbd3307b86c)
(3) ve (4) 'ten, geçişlilik yoluyla elde ederiz:
![{ displaystyle { frac { pi} {C { sqrt {2p}}}} sim { frac { sqrt { pi}} {2 { sqrt {p}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c4251b94fb54e4f7446a7279551d7c2d67626c)
İçin çözme
verir
Diğer bir deyişle,
![{ displaystyle n! sim { sqrt {2 pi n}} left ({ frac {n} {e}} sağ) ^ {n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3c28f23e205ed542a2b9bbeff5c56db3881877)
Gauss İntegralinin Değerlendirilmesi
Gauss integrali Wallis'in integralleri kullanılarak değerlendirilebilir.
Önce aşağıdaki eşitsizlikleri kanıtlıyoruz:
![forall n { mathbb N} ^ {*} quad forall u in { mathbb R} _ {+} quad u leqslant n quad Rightarrow quad (1-u / n) ^ {n} leqslant e ^ {{- u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d809a6e196a53cfde30077d994a36df1da613a)
![forall n { mathbb N} ^ {*} quad forall u içinde { mathbb R} _ {+} qquad e ^ {{- u}} leqslant (1 + u / n) ^ {{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aeda4c85f248f9381080ef840aac8206f55b628)
Aslında, izin vermek
ilk eşitsizlik (içinde
) eşdeğerdir
; ikinci eşitsizlik ise
olan
Bu son 2 eşitsizlik, üstel fonksiyonun dışbükeyliğinden (veya fonksiyonun bir analizinden kaynaklanır).
).
İzin vermek
ve uygunsuz integrallerin temel özelliklerini kullanarak (integrallerin yakınsaması açıktır), eşitsizlikleri elde ederiz:
ile kullanmak için sandviç teoremi (gibi
).
İlk ve son integraller, Wallis'in integralleri kullanılarak kolayca değerlendirilebilir.
(t, 0 ile
Ardından, integral olur.
Son integral için izin ver
(t farklı
-e
). Sonra, olur
.
Daha önce gösterdiğimiz gibi,
. Yani, bunu takip ediyor
.
Not: Gauss integralini değerlendirmenin başka yöntemleri de vardır. daha doğrudan.
Not
Aynı özellikler Wallis ürünü ifade eden
(görmek
) şeklinde sonsuz ürün.
Dış bağlantılar
- Pascal Sebah ve Xavier Gourdon. Gama İşlevine Giriş. İçinde PostScript ve HTML biçimler.