Whitney uzatma teoremi - Whitney extension theorem

İçinde matematik özellikle matematiksel analiz, Whitney uzatma teoremi kısmi bir sohbettir Taylor teoremi. Kabaca konuşursak, teorem eğer Bir Öklid uzayının kapalı bir alt kümesidir, bu durumda belirli bir işlevi genişletmek mümkündür. Bir Türevleri belirtilen noktalarda öngörecek şekilde Bir. Bir sonucudur Hassler Whitney.

Beyan

Teoremin kesin bir ifadesi, bir fonksiyonun türevini kapalı bir küme üzerine yazmanın ne anlama geldiğinin dikkatlice değerlendirilmesini gerektirir. Örneğin bir zorluk, Öklid uzamının kapalı alt kümelerinin genel olarak ayırt edilebilir bir yapıya sahip olmamasıdır. O halde başlangıç ​​noktası, Taylor teoreminin ifadesinin incelenmesidir.

Gerçek değerli verildiğinde C^m işlevi f(x) üzerinde RⁿTaylor teoremi her biri için a, x, y ∈ Rⁿbir fonksiyon var R_α(x,y) 0'a eşit olarak yaklaşırken x,y → a öyle ki

${displaystyle f ({mathbf {x}}) = toplam _ {| alfa | leq m} {frac {D ^ {alfa} f ({mathbf {y}})} {alfa!}} cdot ({mathbf {x }} - {mathbf {y}}) ^ {alpha} + toplam _ {| alpha | = m} R_ {alpha} ({mathbf {x}}, {mathbf {y}}) {frac {({mathbf { x}} - {mathbf {y}}) ^ {alfa}} {alfa!}}}$

(1)

toplam nerede bitti çoklu endeksler  α.

İzin Vermek f_α = D^αf her çoklu dizin için α. (1) 'e göre farklılaştırma xve muhtemelen değiştiriliyor R gerektiği gibi verim

${displaystyle f_ {alfa} ({mathbf {x}}) = toplam _ {| eta | leq m- | alfa |} {frac {f_ {alfa + eta} ({mathbf {y}})} {eta!}} ({mathbf {x}} - {mathbf {y}}) ^ {eta } + R_ {alfa} ({mathbf {x}}, {mathbf {y}})}$

(2)

nerede R_α dır-dir Ö(|x − y|^m−|α|) aynı şekilde x,y → a.

Bunu not et (2) tamamen işlevler arasında bir uyumluluk koşulu olarak kabul edilebilir f_α Bu fonksiyonların, fonksiyonun Taylor serisinin katsayıları olması için yerine getirilmesi gereken f. Aşağıdaki ifadeyi kolaylaştıran bu iç görüdür

Teorem. Farz et ki f_α kapalı bir alt kümedeki işlevlerin bir koleksiyonudur Bir nın-nin Rⁿ tüm çoklu endeksler için α ile ${displaystyle | alpha | leq m}$ uyumluluk koşulunun sağlanması (2) her noktada x, y, ve a nın-nin Bir. Sonra bir fonksiyon var F(x) sınıf C^m öyle ki:

1. F = f₀ açık Bir.
2. D^αF = f_α açık Bir.
3. F her noktasında gerçek analitiktir Rⁿ − Bir.

Kanıtlar orijinal belgesinde verilmiştir. Whitney (1934), ve Malgrange (1967), Bierstone (1980) ve Hörmander (1990).

Yarım alanda uzatma

Seeley (1964) Yarım uzayın özel durumunda Whitney uzatma teoreminin keskinleştiğini kanıtladı. Yarım alanda pürüzsüz bir işlev R^n,+ nerede x_n ≥ 0 düzgün bir işlevdir f iç kısımda x_n türevleri^α f yarım uzayda sürekli fonksiyonlara uzanır. Sınırda x_n = 0, f düzgün işlevle sınırlıdır. Tarafından Borel'in lemması, f tümünde sorunsuz bir işleve genişletilebilir Rⁿ. Borel'in lemması doğası gereği yerel olduğundan, aynı argüman şunu gösterir: eğer Ω bir (sınırlı veya sınırsız) alan Rⁿ Düzgün sınır ile, daha sonra clos kapanışındaki herhangi bir yumuşak işlev, düz bir işleve uzatılabilir. Rⁿ.

Seeley'in yarım çizgi sonucu tek tip bir uzatma haritası verir

${displaystyle displaystyle {E: C ^ {infty} (mathbf {R} ^ {+}) ightarrow C ^ {infty} (mathbf {R}),}}$

doğrusal, sürekli (fonksiyonların düzgün yakınsaklık topolojisi ve kompakta üzerindeki türevleri için) ve [0,R] [-R,R]

Tanımlamak için E, Ayarlamak^[1]

${displaystyle displaystyle {E (f) (x) = toplam _ {m = 1} ^ {infty} a_ {m} f (-b_ {m} x) varphi (-b_ {m} x) ,,, (x <0),}}$

burada φ, kompakt desteğin düzgün bir işlevidir R 0'a yakın 1'e ve dizilere eşittir (a_m), (b_m) tatmin etmek:

• b_m > 0, ∞'a meyillidir;
• ∑ a_m b_m^j = (−1)^j için j ≥ 0, toplamı kesinlikle yakınsak.

Bu denklem sistemine bir çözüm, aşağıdaki yöntemlerle elde edilebilir: b_n = 2ⁿ ve aramak tüm işlev

${displaystyle g (z) = toplam _ {m = 1} ^ {infty} a_ {m} z ^ {m}}$

öyle ki g(2^j) = (−1)^j. Böyle bir işlevin inşa edilebileceği, Weierstrass teoremi ve Mittag-Leffler teoremi.^[2]

Doğrudan ayarlayarak görülebilir^[3]

${displaystyle W (z) = prod _ {jgeq 1} (1-z / 2 ^ {j}),}$

2'de basit sıfırlarla tam bir fonksiyon^j. Türevler W '(2^j) yukarı ve aşağı sınırlıdır. Benzer şekilde işlev

${displaystyle M (z) = toplam _ {jgeq 1} {(- 1) ^ {j} W ^ {üssü} (2 ^ {j}) (z-2 ^ {j})}}$

basit kutuplu ve 2'de belirtilen kalıntılarla meromorfik^j.

İnşaat tarafından

${ekran stili görüntü stili {g (z) = W (z) M (z)}}$

gerekli özelliklere sahip tam bir işlevdir.

Yarım boşluğun tanımı Rⁿ operatörü uygulayarak R son değişkene x_n. Benzer şekilde, pürüzsüz birlik bölümü ve değişkenlerin yerel bir değişimi, yarım uzayın sonucu, benzer bir genişleyen haritanın varlığını gösterir.

${displaystyle displaystyle {C ^ {infty} ({overline {Omega}}) ightarrow C ^ {infty} (mathbf {R} ^ {n})}}$

herhangi bir etki alanı için Ω içinde Rⁿ pürüzsüz sınır ile.

Ayrıca bakınız

• Kirszbraun teoremi Lipschitz fonksiyonlarının uzantılarını verir.

Notlar

Referanslar

• McShane, Edward James (1934), "İşlevlerin kapsamının genişletilmesi", Boğa. Amer. Matematik. Soc., 40 (12): 837–842, doi:10.1090 / s0002-9904-1934-05978-0, BAY  1562984, Zbl  0010.34606
• Whitney, Hassler (1934), "Kapalı kümelerde tanımlanan işlevlerin analitik uzantıları", Amerikan Matematik Derneği İşlemleri, Amerikan Matematik Derneği 36 (1): 63–89, doi:10.2307/1989708, JSTOR  1989708
• Bierstone, Edward (1980), "Türevlenebilir fonksiyonlar", Brezilya Matematik Derneği Bülteni, 11 (2): 139–189, doi:10.1007 / bf02584636
• Malgrange, Bernard (1967), Türevlenebilir fonksiyonların idealleri, Tata Matematikte Temel Araştırma Çalışmaları Enstitüsü, 3, Oxford University Press
• Seeley, R. T. (1964), "Yarım boşlukta tanımlanan C∞ fonksiyonlarının uzantısı", Proc. Amer. Matematik. Soc., 15: 625–626, doi:10.1090 / s0002-9939-1964-0165392-8
• Hörmander, Lars (1990), Doğrusal kısmi diferansiyel operatörlerin analizi. I. Dağıtım teorisi ve Fourier analizi, Springer-Verlag, ISBN  3-540-00662-1
• Chazarain, Jacques; Piriou, Alain (1982), Doğrusal Kısmi Diferansiyel Denklemler Teorisine GirişMatematik Çalışmaları ve Uygulamaları, 14, Elsevier, ISBN  0444864520
• Ponnusamy, S .; Silverman, Herb (2006), Uygulamalar ile karmaşık değişkenler, Birkhäuser, ISBN  0-8176-4457-1
• Fefferman, Charles (2005), "Whitney'in genişleme teoreminin keskin bir formu", Matematik Yıllıkları, 161 (1): 509–577, doi:10.4007 / annals.2005.161.509, BAY  2150391