Williams sprey denklemi - Williams spray equation

İçinde yanma, Williams sprey denklemiolarak da bilinir Williams-Boltzmann denklemi, başka bir sıvının içerdiği spreylerin istatistiksel gelişimini açıklar. Boltzmann denklemi adını taşıyan moleküller için Forman A. Williams, 1958'de denklemi türeten.^[1][2]

Matematiksel açıklama^[3]

Spreylerin yarıçaplı küresel olduğu varsayılır ${ displaystyle r}$Katı parçacıklar (sıvı damlacıklar) için, şekillerinin yanma üzerinde hiçbir etkisi olmadığında varsayım geçerli olsa da. Sıvı damlacıkların neredeyse küresel olması için, spreyin seyreltilmesi gerekir (spreylerin kapladığı toplam hacim, gazın hacminden çok daha azdır) ve Weber numarası ${ displaystyle Biz = 2r rho _ {g} | mathbf {v} - mathbf {u} | ^ {2} / sigma}$, nerede ${ displaystyle rho _ {g}}$ gaz yoğunluğu, ${ displaystyle mathbf {v}}$ sprey damlacık hızı, ${ displaystyle mathbf {u}}$ gaz hızı ve ${ displaystyle sigma}$ sıvı spreyin yüzey gerilimi, olmalıdır ${ displaystyle 10}$.

Denklem, bir sayı yoğunluğu işlevi ile tanımlanır ${ displaystyle f_ {j} (r, mathbf {x}, mathbf {v}, T, t) , dr , d mathbf {x} , d mathbf {v} , dT}$kimyasal türlerin olası sprey partikül sayısını (damlacıkları) temsil eder ${ displaystyle j}$ (nın-nin ${ displaystyle M}$ toplam türler), arasındaki yarıçaplarla bulabileceğiniz ${ displaystyle r}$ ve ${ displaystyle r + dr}$, arasındaki uzamsal aralıkta bulunur ${ displaystyle mathbf {x}}$ ve ${ displaystyle mathbf {x} + d mathbf {x}}$, arada bir hızla seyahat etmek ${ displaystyle mathbf {v}}$ ve ${ displaystyle mathbf {v} + d mathbf {v}}$, sıcaklık arasında ${ displaystyle T}$ ve ${ displaystyle T + dT}$ zamanda ${ displaystyle t}$. Daha sonra bu yoğunluk fonksiyonunun gelişimi için sprey denklemi şu şekilde verilir:

${ displaystyle { frac { kısmi f_ {j}} { kısmi t}} + nabla _ {x} cdot ( mathbf {v} f_ {j}) + nabla _ {v} cdot ( F_ {j} f_ {j}) = - { frac { kısmi} { kısmi r}} (R_ {j} f_ {j}) - { frac { kısmi} { kısmi T}} (E_ {j} f_ {j}) + Q_ {j} + Gama _ {j}, quad j = 1,2, ldots, M.}$

nerede

${ displaystyle F_ {j} = sol ({ frac {d mathbf {v}} {dt}} sağ) _ {j}}$ birim kütle başına etkiyen kuvvettir ${ displaystyle j ^ { text {th}}}$ tür sprey (spreylere uygulanan hızlandırma),

${ displaystyle R_ {j} = sol ({ frac {dr} {dt}} sağ) _ {j}}$ boyutunun değişim oranıdır ${ displaystyle j ^ { text {th}}}$ tür sprey

${ displaystyle E_ {j} = sol ({ frac {dT} {dt}} sağ) _ {j}}$ sıcaklık değişim hızıdır. ${ displaystyle j ^ { text {th}}}$ ısı transferi nedeniyle türlerin püskürmesi,^[4]

${ displaystyle Q_ {j}}$ sayı yoğunluğu fonksiyonunun değişim oranıdır ${ displaystyle j ^ { text {th}}}$ çekirdeklenme, sıvı parçalanması vb. nedeniyle türlerin püskürmesi,

${ displaystyle Gama _ {j}}$ sayı yoğunluğu fonksiyonunun değişim oranıdır ${ displaystyle j ^ { text {th}}}$ diğer sprey parçacıklarıyla çarpışmadan dolayı püskürür.

Sıvı yakıtlı roket için basitleştirilmiş bir model

Roket motorunun bu modeli Probert tarafından geliştirilmiştir.^[5] Williams^[1][6] ve Tanasawa.^[7][8] İhmal etmek mantıklı ${ displaystyle Q_ {j}, Gama _ {j}}$, yanmanın büyük bir kısmının meydana geldiği sprey atomizöre çok yakın olmayan mesafeler için. Şu noktada bulunan tek boyutlu bir sıvı itici roket motoru düşünün. ${ displaystyle x = 0}$, yakıtın püskürtüldüğü yer. İhmal ${ displaystyle E_ {j}}$(yoğunluk fonksiyonu sıcaklık olmadan tanımlanır, bu nedenle ${ displaystyle f_ {j}}$ değişiklikler) ve ortalama akışın paralel olması nedeniyle ${ displaystyle x}$ eksen, sabit sprey denklemi,

${ displaystyle { frac { kısmi} { kısmi r}} (R_ {j} f_ {j}) + { frac { kısmi} { kısmi x}} (u_ {j} f_ {j}) + { frac { kısmi} { kısmi u_ {j}}} (F_ {j} f_ {j}) = 0}$

nerede ${ displaystyle u_ {j}}$ içindeki hız ${ displaystyle x}$ yön. Hız sonuçlarına göre entegrasyon

${ displaystyle { frac { kısmi} { kısmi r}} sol ( int R_ {j} f_ {j} , du_ {j} sağ) + { frac { kısmi} { kısmi x }} left ( int u_ {j} f_ {j} , du_ {j} right) + [F_ {j} f_ {j}] _ {0} ^ { infty} = 0}$

Son terimden (püskürtme hızlandırma terimi) katkı sıfır olur (kullanılarak Diverjans teoremi ) dan beri ${ displaystyle f_ {j} rightarrow 0}$ ne zaman ${ displaystyle u}$ çok büyüktür, bu tipik olarak roket motorlarında görülür. Damla boyutu oranı ${ displaystyle R_ {j}}$ buharlaşma mekanizmaları kullanılarak iyi modellenmiştir.

${ displaystyle R_ {j} = - { frac { chi _ {j}} {r ^ {k_ {j}}}}, quad chi _ {j} geq 0, quad 0 leq k_ {j} leq 1}$

nerede ${ displaystyle chi _ {j}}$ bağımsızdır ${ displaystyle r}$ancak çevredeki gaza bağlı olabilir. Birim yarıçap başına birim hacimdeki damlacık sayısını ve hızlar üzerinden ortalaması alınan ortalama miktarları tanımlama,

${ displaystyle G_ {j} = int f_ {j} , du_ {j}, quad { bar {R}} _ {j} = { frac { int R_ {j} f_ {j} , du_ {j}} {G_ {j}}}, quad { bar {u}} _ {j} = { frac { int u_ {j} f_ {j} , du_ {j}} { G_ {j}}}}$

denklem olur

${ displaystyle { frac { kısmi} { kısmi r}} ({ bar {R}} _ {j} G_ {j}) + { frac { kısmi} { kısmi x}} ({ çubuk {u}} _ {j} G_ {j}) = 0.}$

Daha fazla varsayarsak ${ displaystyle { bar {u}} _ {j}}$ bağımsızdır ${ displaystyle r}$ve dönüştürülmüş bir koordinatla

${ displaystyle eta _ {j} = sol [r ^ {k_ {j} +1} + (k_ {j} +1) int _ {0} ^ {x} { frac { chi _ { j}} {{ bar {u}} _ {j}}} , dx right] ^ {1 / (k_ {j} +1)}}$

Yanma odası değişen kesit alanına sahipse ${ displaystyle A (x)}$bilinen bir işlev ${ displaystyle x> 0}$ ve alanla birlikte ${ displaystyle A_ {o}}$ püskürtme yerinde, çözelti şu şekilde verilir:

${ displaystyle G_ {j} ( eta _ {j}) = G_ {j, o} ( eta _ {j}) { frac {A_ {o} { bar {u}} _ {j, o }} {A { bar {u}} _ {j}}} left ({ frac {r} { eta _ {j}}} sağ) ^ {k_ {j}}}$.

nerede ${ displaystyle G_ {j, 0} = G_ {j} (r, 0), { bar {u}} _ {j, 0} = { bar {u}} _ {j} (x = 0 )}$ sayı dağılımı ve ortalama hızdır ${ displaystyle x = 0}$ sırasıyla.

Ayrıca bakınız

• Boltzmann denklemi
• Sprey (sıvı damla)
• Sıvı yakıtlı roket
• Smoluchowski pıhtılaşma denklemi

Referanslar