Uyarlanabilir Gabor gösterimi - Adaptive Gabor representation

Uyarlanabilir Gabor gösterimi (AGR) bir Gabor gösterimi varyansının ayarlanabildiği bir sinyalin Geleneksel olarak zaman çözünürlüğü ve frekans çözünürlüğü arasında her zaman bir denge vardır. kısa süreli Fourier dönüşümü (STFT). Uzun bir pencere, yüksek frekans çözünürlüğüne ve düşük zaman çözünürlüğüne yol açar. Öte yandan, yüksek zaman çözünürlüğü, düşük frekans çözünürlüğü pahasına daha kısa pencere gerektirir. Farklı spektrum yapısına sahip sinyal için uygun temel işlevi seçerek, uyarlamalı Gabor gösterimi hem dar bant hem de geniş bant sinyalini barındırabilir.

Gabor genişlemesi

1946'da, Dennis Gabor bir sinyalin zaman ve frekans koordinatlarıyla iki boyutta temsil edilebileceğini öne sürdü. Ve sinyal, ayrık bir Gauss temel sinyalleri kümesine genişletilebilir.

Tanım

S (t) sinyalinin Gabor açılımı şu formülle tanımlanır:

{ displaystyle s (t) = toplam _ {m = - infty} ^ { infty} toplamı _ {n = - infty} ^ { infty} C_ {m, n} h (t-mT) e ^ {jnt Omega}}

nerede h(t) Gauss temel fonksiyonudur:

{ displaystyle h (t) = sol ({ frac { alpha} { pi}} sağ) ^ { frac {1} {4}} e ^ { sol (- { frac { alpha } {2}} t ^ {2} sağ)}}

Gabor temel işlevi belirlendikten sonra, Gabor katsayıları ${ displaystyle C_ {m, n}}$ s (t) 'nin iç çarpımı ve ikili bir fonksiyon ile elde edilebilir ${ displaystyle gama (t)}$

{ displaystyle C_ {m, n} = int s (t) gamma ^ {*} (t-mT) e ^ {- jnt Omega} , dt.}

${ displaystyle T}$ ve ${ displaystyle Omega}$ zaman ve sıklık örnekleme adımlarını belirtir ve kriterleri karşılar

{ displaystyle T Omega leqq 2 pi ,}

Gabor gösterimi ve Gabor dönüşümü arasındaki ilişki

Gabor dönüşümü basitçe Gabor katsayılarını hesaplar ${ displaystyle C_ {m, n}}$ sinyal için s (t).

Uyarlanabilir genişleme

Uyarlanabilir sinyal genişletme şu şekilde tanımlanır:

{ Displaystyle s sol (t sağ) = toplamı _ {p} B_ {p} h_ {p} (t)}

katsayılar nerede ${ displaystyle B_ {p}}$ s (t) sinyalinin ve temel fonksiyonun iç çarpımı ile elde edilir ${ displaystyle h_ {p}}$

{ displaystyle B_ {p} = sol langle s, h_ {p} sağ rangle ,}

Katsayılar ${ displaystyle B_ {p}}$ sinyal ve temel fonksiyon arasındaki benzerliği temsil eder.
Uyarlanabilir sinyal ayrıştırma, bir dizi temel işlevi bulmayı amaçlayan yinelemeli bir işlemdir ${ displaystyle sol {h_ {p} (t) sağ }}$ , sinyalin zaman-frekans yapısına en çok benzeyen.
Önce w = 0 ile başlayın ve ${ Displaystyle s_ {0} sol (t sağ) = s sol (t sağ)}$ . O zaman bul ${ displaystyle h_ {0} sol (t sağ)}$ sinyal ile maksimum iç ürüne sahip olan ${ displaystyle s_ {0} sol (t sağ)}$ ve

{ displaystyle sol | B_ {p} sağ | ^ {2} = max _ {h} sol | sol langle s_ {p} (t), h_ {p} (t) sağ rangle sağ | ^ {2}}

İkincisi, artığı hesaplayın:

{ displaystyle s_ {1} sol (t sağ) = s_ {0} sol (t sağ) -B_ {0} h_ {0} sol (t sağ)}

ve bunun gibi. Bir dizi çıkacak artık ( ${ displaystyle s_ {p} sol (t sağ)}$ ), projeksiyon ( ${ displaystyle B_ {p} = sol langle s_ {p} (t), h_ {p} (t) sağ rangle}$ ), ve temel fonksiyon ( ${ displaystyle h_ {p} sol (t sağ)}$ ) her farklı için s. Ayrıştırmaya devam edersek, artığın enerjisi yok olur.

Enerji tasarrufu denklemi

Temel denklem ( ${ displaystyle h_ {p} sol (t sağ)}$ ) birim enerjiye sahip olacak şekilde tasarlanmıştır. Daha sonra pth aşamasındaki kalıntıdaki enerji, p + 1'inci aşamadaki artı ile belirlenebilir ( ${ displaystyle B_ {p}}$ ). Yani,

{ displaystyle sol | s_ {p} (t) sağ | ^ {2} = sol | s_ {p + 1} (t) sağ | ^ {2} + sol | B_ { p} sağ | ^ {2},}

{ displaystyle sol | s (t) sağ | ^ {2} = toplamı _ {p = o} ^ { infty} sol | B_ {p} sağ | ^ {2},}

benzer Parseval teoremi Fourier analizinde.

Temel işlevin seçimi, uyarlanabilir sinyal ayrıştırmasında ana görevdir. Eşitsizliğin alt sınırını elde etmek için Gauss tipi bir işlev seçmek doğaldır:

{ displaystyle h_ {p} (t) = sol ({ frac { alpha} { pi}} sağ) ^ { frac {1} {4}} e ^ {- { frac { alpha } {2}} (t-T_ {p}) ^ {2}} e ^ {jt Omega _ {p}},}

nerede ${ displaystyle sol (T_ {p}, Omega _ {p} sağ)}$ anlamı ve ${ displaystyle alpha _ {p} ^ {- 1}}$ Gauss'un varyansıdır ${ displaystyle sol (T_ {p}, Omega _ {p} sağ)}$ . Ve

{ displaystyle s sol (t sağ) = toplamı _ {p} B_ {p} h_ {p} (t) = toplamı _ {p} B_ {p} sol ({ frac { alfa} { pi}} sağ) ^ { frac {1} {4}} e ^ {- { frac { alpha} {2}} (t-T_ {p}) ^ {2}} e ^ { jt Omega _ {p}}}

uyarlanabilir Gabor gösterimi olarak adlandırılır.

Varyans değerinin değiştirilmesi, temel işlevin süresini (pencere boyutu) değiştirir ve temel işlevin merkezi artık sabit değildir. Temel fonksiyonun merkez noktasını ve varyansını ayarlayarak, sinyalin yerel zaman-frekans özelliğini eşleştirebiliriz. Uyarlamanın daha iyi performansı, eşleştirme süreci pahasına elde edilir. Farklı pencere uzunlukları arasındaki değiş tokuş, artık hesaplama süresi ve performans arasındaki değiş tokuş haline geldi.

Ayrıca bakınız

Referanslar

M.J. Bastiaans, "Gabor'un bir sinyalin Gauss temel sinyallerine genişlemesi", Proceedings of the IEEE, cilt. 68, Sayı: 4, s. 538–539, Nisan 1980
Shie Qian ve Dapang Chen, "Uyarlanabilir normalleştirilmiş Gauss işlevlerini kullanarak Sinyal Gösterimi" Sinyal işleme, cilt. 42, no.3, s. 687–694, Mart 1994
Qinye Yin, Shie Qian ve Aigang Feng, "Uyarlanabilir Gauss Chirplet Ayrıştırması İçin Hızlı Bir İyileştirme", Sinyal İşlemede IEEE İşlemleri, cilt. 50, no.6, pp. 1298–1306, Haziran 2002
Shie Qian, Zaman-Frekans ve Dalgacık Dönüşümlerine Giriş, Prentice Hall, 2002