Cebirsel yüzey - Algebraic surface

İçinde matematik, bir cebirsel yüzey bir cebirsel çeşitlilik nın-nin boyut iki. Alan üzerinde geometri durumunda Karışık sayılar cebirsel bir yüzeyin karmaşık boyutu iki vardır (bir karmaşık manifold, ne zaman tekil olmayan ) ve böylece dördüncü boyut pürüzsüz manifold.

Cebirsel yüzeyler teorisi, cebirsel yüzeyler teorisinden çok daha karmaşıktır. cebirsel eğriler (I dahil ederek kompakt Riemann yüzeyleri, gerçek olan yüzeyler (gerçek) boyut iki). Bununla birlikte, birçok sonuç elde edildi. İtalyan cebirsel geometri okulu ve 100 yaşına kadar.

Kodaira boyutuna göre sınıflandırma

Tek boyut olması durumunda, çeşitler yalnızca topolojik cins ama iki boyut, arasındaki fark aritmetik cins ${ displaystyle p_ {a}}$ ve geometrik cins ${ displaystyle p_ {g}}$ önemli hale gelir çünkü çift yönlü olarak sadece topolojik cinsi ayırt edemeyiz. Sonra tanıtıyoruz düzensizlik bunların sınıflandırılması için. Sonuçların bir özeti (ayrıntılı olarak, her yüzey türü için her yeniden yönlendirmeye atıfta bulunur) aşağıdaki gibidir:

Cebirsel yüzeylerin örnekleri arasında (κ, Kodaira boyutu ):

• κ = −∞: projektif düzlem, dörtlü içinde P³, kübik yüzeyler, Veronese yüzeyi, del Pezzo yüzeyler, kurallı yüzeyler
• κ = 0: K3 yüzeyleri, değişmeli yüzeyler, Enriques yüzeyler, hiperelliptik yüzeyler
• κ = 1: eliptik yüzeyler
• κ = 2: genel tip yüzeyler.

Daha fazla örnek için bkz. cebirsel yüzeylerin listesi.

İlk beş örnek aslında çiftleşme açısından eşdeğer. Yani, örneğin, kübik bir yüzeyin bir fonksiyon alanı izomorfik projektif düzlem, olmak rasyonel işlevler iki belirsiz olarak. İki eğrinin Kartezyen çarpımı da örnekler sağlar.

Yüzeylerin ikili geometrisi

ikili geometri cebirsel yüzeylerin oranı zengindir, çünkü patlamak (olarak da bilinir monoidal dönüşüm ), altında bir noktanın yerine eğri içine gelen tüm sınırlayıcı teğet yönlerin (a projektif çizgi ). Belirli eğriler de patlayabilir aşağı, ancak bir kısıtlama var (kendi kendine kesişme numarası −1 olmalıdır).

Castelnuovo'nun Teoremi

Yüzeylerin çiftleşme geometrisi için temel teoremlerden biri Castelnuovo teoremi. Bu, cebirsel yüzeyler arasındaki herhangi bir ikili haritanın sonlu bir patlama ve boşaltma dizisi tarafından verildiğini belirtir.

Özellikleri

Nakai kriteri diyor ki:

Bölen D bir yüzeyde S yeterli ise ve ancak D² > 0 ve tüm indirgenemez eğriler için C açık S D • C> 0.

Geniş bölenlerin, özellikleri çok iyi bilinen bazı projektif uzay kümelerinin geri çekilmesi gibi güzel bir özelliği vardır. İzin Vermek ${ displaystyle { mathcal {D}} (S)}$ tüm bölenlerden oluşan değişmeli grup olmak S. Sonra kesişim teoremi

${ displaystyle { mathcal {D}} (S) times { mathcal {D}} (S) rightarrow mathbb {Z}: (X, Y) mapsto X cdot Y}$

olarak görülüyor ikinci dereceden form. İzin Vermek

${ displaystyle { mathcal {D}} _ {0} (S): = {D in { mathcal {D}} (S) | D cdot X = 0, { text {tümü için}} { Mathcal {D}} (S) }} içinde X$

sonra ${ displaystyle { mathcal {D}} / { mathcal {D}} _ {0} (S): = Num (S)}$ olur sayısal eşdeğer sınıf grubu nın-nin S ve

${ displaystyle Num (S) times Num (S) mapsto mathbb {Z} = ({ bar {D}}, { bar {E}}) mapsto D cdot E}$

ayrıca ikinci dereceden bir form haline gelir ${ displaystyle Num (S)}$, nerede ${ displaystyle { bar {D}}}$ bir bölenin görüntüsüdür D açık S. (Aşağıdaki resimde ${ displaystyle { bar {D}}}$ ile kısaltılır D.)

Geniş bir paket için H açık S tanım

${ displaystyle {H } ^ { perp}: = {D Num (S) | D cdot H = 0 }.}$

yol açar Hodge indeks teoremi yüzey versiyonunun.

için ${ displaystyle D in { {H } ^ { perp} | D neq 0 }, D cdot D <0}$yani ${ displaystyle {H } ^ { perp}}$ negatif belirli ikinci dereceden bir formdur.

Bu teorem, Nakai kriteri ve yüzeyler için Riemann-Roch teoremi kullanılarak kanıtlanmıştır. Tüm bölen için ${ displaystyle {H } ^ { perp}}$ bu teorem doğrudur. Bu teorem sadece yüzeylerin araştırılması için bir araç değil, aynı zamanda Weil varsayımı Deligne tarafından çünkü cebirsel olarak kapalı alanda doğrudur.

Cebirsel yüzeyler üzerindeki temel sonuçlar şunları içerir: Hodge indeks teoremi ve ikili denklik sınıflarının beş grubuna bölünmesi cebirsel yüzeylerin sınıflandırılması. genel tip sınıfı Kodaira boyutu 2, çok büyüktür (tekil olmayan yüzey için derece 5 veya daha büyük) P³ içinde yatıyor, örneğin).

Üç tane gerekli Hodge numarası bir yüzeyin değişmezleri. Bunların, h^1,0 klasik olarak düzensizlik ve ile gösterilir q; ve h^2,0 denildi geometrik cins p_g. Üçüncü, h^1,1, değil birasyonel değişmez, Çünkü patlamak içindeki sınıflarla tam eğriler ekleyebilir H^1,1. Biliniyor ki Hodge döngüleri cebirseldir ve bu cebirsel eşdeğerlik ile çakışır homolojik eşdeğerlik, Böylece h^1,1 ρ için bir üst sınırdır, Néron-Severi grubu. aritmetik cins p_a fark nedir

geometrik cins - düzensizlik.

Aslında bu, düzensizliğin neden bir tür 'hata terimi' olarak adını aldığını açıklıyor.

Yüzeyler için Riemann-Roch teoremi

Yüzeyler için Riemann-Roch teoremi ilk formüle edildi Max Noether. Yüzeylerdeki eğri aileleri bir anlamda sınıflandırılabilir ve ilginç geometrilerinin çoğunu ortaya çıkarabilir.

Referanslar

• Dolgachev, I.V. (2001) [1994], "Cebirsel yüzey", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın
• Zariski, Oscar (1995), Cebirsel yüzeyler, Matematikte Klasikler, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-58658-6, BAY  1336146

Dış bağlantılar

• Ücretsiz program SURFER bir kullanıcı galerisi dahil olmak üzere cebirsel yüzeyleri gerçek zamanlı olarak görselleştirmek için.
• SingSurf cebirsel yüzeyler için etkileşimli bir 3B görüntüleyici.
• Cebirsel Yüzeyler sayfası 2008'de başladı
• Cebirsel yüzeylerin tasarımına genel bakış ve düşünceler