Neredeyse heryerde - Almost everywhere

Basit bir örnek ölçü, bir alt bölgeye atar. dikdörtgen geometrik kesir alan işgal eder. Sonra dikdörtgenin sınır Ölçüsü 0, iç kısmı 1'dir. Dikdörtgenin neredeyse her noktası iç nokta, yine de iç boş değil Tamamlayıcı.

İçinde teori ölçmek (bir dalı matematiksel analiz ), bir mülk neredeyse heryerde teknik anlamda mülkün sahip olduğu set neredeyse tüm olasılıkları kapsıyorsa. "Hemen hemen her yerde" kavramı, kavramına eşlik eden bir kavramdır. sıfır ölçmek ve nosyonuna benzer neredeyse kesin içinde olasılık teorisi.

Daha spesifik olarak, bir özellik sıfır ölçümünün bir alt kümesi dışında bir kümedeki tüm öğeleri tutarsa hemen hemen her yerde tutar,^[1]^[2]^[3] veya eşdeğer olarak, mülkün sahip olduğu unsurlar kümesi Conull. Önlemin olmadığı durumlarda tamamlayınız, kümenin bir sıfır ölçüm kümesi içinde yer alması yeterlidir. Kümelerini tartışırken gerçek sayılar, Lebesgue ölçümü aksi belirtilmedikçe genellikle varsayılır.

Dönem neredeyse heryerde kısaltılmıştır a.e.;^[4] eski literatürde p.p. eşdeğer olarak durmak için kullanılır Fransızca dili ifade presque partout.^[5]

İle bir set tam ölçü tamamlayıcısı sıfır ölçüsünde olan birdir. Olasılık teorisinde terimler neredeyse kesin, neredeyse kesin ve neredeyse her zaman başvurmak Etkinlikler ile olasılık 1 tüm sonuçları içermesi gerekmez.^[1] Bunlar, bir olasılık uzayındaki tam ölçü kümeleridir.

Bazen, bir mülkün hemen hemen her yerde olduğunu söylemek yerine, mülkün, Neredeyse hepsi öğeler (terim olsa da Neredeyse hepsi başka anlamları da olabilir).

Tanım

Eğer ${ displaystyle (X, Sigma, mu)}$ bir alanı ölçmek, bir mülk ${ displaystyle P}$ neredeyse her yerde tuttuğu söyleniyor ${ displaystyle X}$ bir set varsa ${ displaystyle N in Sigma}$ ile ${ displaystyle mu (N) = 0}$ , ve tüm ${ displaystyle x in X setminus N}$ mülk sahibi olmak ${ displaystyle P}$ .^[6] Aynı şeyi ifade etmenin bir başka yaygın yolu da "hemen hemen her nokta ${ displaystyle P ,}$ "veya bu" neredeyse her biri için ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle P (x)}$ tutar".

Bu değil setin gerekli olması ${ displaystyle {x in X: neg P (x) }}$ 0 ölçüsüne sahiptir; ait olmayabilir ${ displaystyle Sigma}$ . Yukarıdaki tanıma göre, yeterlidir ${ displaystyle {x in X: neg P (x) }}$ bazı setlerde yer almak ${ displaystyle N}$ bu ölçülebilir ve 0 ölçüsüne sahiptir.

Özellikleri

Eğer mülkiyet ${ displaystyle P}$ neredeyse her yerde tutar ve mülkiyeti ima eder ${ displaystyle Q}$ , sonra mülk ${ displaystyle Q}$ neredeyse her yerde tutar. Bu, monotonluk önlemlerin.
Eğer ${ displaystyle (P_ {n})}$ sonlu veya sayılabilir bir özellik dizisidir, her biri hemen hemen her yerde, sonra bunların birleşiminde bulunur ${ displaystyle forall nP_ {n}}$ neredeyse her yerde tutar. Bu, sayılabilir alt toplamsallık önlemlerin.
Aksine, eğer ${ displaystyle (P_ {x}) _ {x in mathbf {R}}}$ her biri hemen hemen her yerde tutan sayılamaz bir mülk ailesidir, sonra ${ displaystyle forall xP_ {x}}$ hemen hemen her yerde geçerli olması gerekmez. Örneğin, eğer ${ displaystyle mu}$ Lebesgue ölçümü açık mı ${ displaystyle X = mathbf {R}}$ ve ${ displaystyle P_ {x}}$ eşit olmama özelliğidir ${ displaystyle x}$ (yani ${ displaystyle P_ {x} (y)}$ doğrudur ancak ve ancak ${ displaystyle y neq x}$ ), sonra her biri ${ displaystyle P_ {x}}$ hemen hemen her yerde bulunur, ancak ${ displaystyle forall xP_ {x}}$ hiçbir yerde tutmaz.

İlk iki özelliğin bir sonucu olarak, bir ölçü uzayının "hemen hemen her noktası" hakkında bir soyutlamadan ziyade sıradan bir nokta gibi düşünmek çoğu zaman mümkündür.^{[kaynak belirtilmeli ]} Bu genellikle gayri resmi matematiksel argümanlarda örtük olarak yapılır. Bununla birlikte, yukarıdaki üçüncü madde nedeniyle bu akıl yürütme tarzına dikkat edilmelidir: sayılamayan ifade aileleri üzerindeki evrensel nicelik, sıradan noktalar için geçerlidir, ancak "hemen hemen her nokta" için geçerli değildir.

Örnekler

Eğer f : R → R bir Lebesgue integrallenebilir fonksiyon ve ${ displaystyle f (x) geq 0}$ hemen hemen her yerde
${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx geq 0}$
tüm gerçek sayılar için ${ displaystyle a$ eşitlikle ancak ve ancak ${ displaystyle f (x) = 0}$ neredeyse heryerde.
Eğer f : [a, b] → R bir tekdüze işlev, sonra f dır-dir ayırt edilebilir neredeyse heryerde.
Eğer f : R → R Lebesgue ölçülebilir mi ve
${ displaystyle int _ {a} ^ {b} | f (x) | , dx < infty}$
tüm gerçek sayılar için ${ displaystyle a$ sonra bir set var E (bağlı olarak f) öyle ki, eğer x içinde E, Lebesgue demek
${ displaystyle { frac {1} {2 epsilon}} int _ {x- epsilon} ^ {x + epsilon} f (t) , dt}$
yakınsamak f(x) gibi ${ displaystyle epsilon}$ sıfıra düşer. Set E Lebesgue kümesi olarak adlandırılır f. Tamamlayıcısının sıfır ölçüsüne sahip olduğu kanıtlanabilir. Başka bir deyişle, Lebesgue anlamı f yakınsamak f neredeyse heryerde.
Sınırlı işlevi f : [a, b] → R dır-dir Riemann entegre edilebilir eğer ve sadece öyleyse sürekli neredeyse heryerde.
Merak olarak, [0, 1] aralığındaki hemen hemen her gerçek sayının ondalık açılımı şunun tam metnini içerir: Shakespeare'in oyunları, kodlanmış ASCII; benzer şekilde diğer her sonlu basamak dizisi için bkz. Normal sayı.

Ultra filtreleri kullanarak tanımlama

Gerçek analiz bağlamının dışında, hemen hemen her yerde geçerli olan bir özellik kavramı bazen bir ultra filtre. Bir sette bir ultra filtre X maksimal bir koleksiyon F alt kümelerinin X öyle ki:

Eğer U ∈ F ve U ⊆ V sonra V ∈ F
Herhangi iki kümenin kesişimi F içinde F
Boş küme içinde değil F

Bir mülk P puanların X bir ultra filtreye göre neredeyse her yerde tutar Fpuan kümesinin P tutuyor F.

Örneğin, bir yapı gerçeküstü sayı sistem bir hipergerçek sayıyı, bir ultrafiltre tarafından tanımlandığı gibi hemen hemen her yerde eşit olan bir eşdeğerlik sınıfı olarak tanımlar.

Tanımı neredeyse heryerde Ultra filtreler açısından, ölçümler açısından tanımla yakından ilgilidir, çünkü her ultra filtre, yalnızca ve ancak ultrafiltrede yer alıyorsa, bir kümenin 1 ölçüsüne sahip olduğu, yalnızca 0 ve 1 değerlerini alarak sonlu eklemeli bir ölçüm tanımlar.

Ayrıca bakınız

Dirichlet'in işlevi, hemen hemen her yerde 0'a eşit bir işlev.

Referanslar

^ ^a ^b "Yüksek Matematik Jargonunun Kesin Sözlüğü - Neredeyse". Matematik Kasası. 2019-08-01. Alındı 2019-11-19.
^ Weisstein, Eric W. "Neredeyse heryerde". mathworld.wolfram.com. Alındı 2019-11-19.
^ Halmos Paul R. (1974). Ölçü teorisi. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8.
^ "Hemen hemen her yerin tanımı | Merriam". www.dictionary.com. Alındı 2019-11-19.
^ Ursell, H.D. (1932-01-01). "Rademacher Serisinin Hemen Her Yerinde Yakınsama Üzerine ve Stepanoff Anlamında Neredeyse Periyodik Bir Fonksiyonun Bochnerfejér Toplamları Üzerine". Londra Matematik Derneği Bildirileri. s2-33 (1): 457–466. doi:10.1112 / plms / s2-33.1.457. ISSN 0024-6115.
^ "Neredeyse Her Yerde Tutan Mülkler - Mathonline". mathonline.wikidot.com. Alındı 2019-11-19.

Kaynakça

Billingsley Patrick (1995). Olasılık ve ölçü (3. baskı). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.

[:0-1] "Yüksek Matematik Jargonunun Kesin Sözlüğü - Neredeyse". Matematik Kasası. 2019-08-01. Alındı 2019-11-19.

[2] Weisstein, Eric W. "Neredeyse heryerde". mathworld.wolfram.com. Alındı 2019-11-19.

[3] Halmos Paul R. (1974). Ölçü teorisi. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8.

[4] "Hemen hemen her yerin tanımı | Merriam". www.dictionary.com. Alındı 2019-11-19.

[5] Ursell, H.D. (1932-01-01). "Rademacher Serisinin Hemen Her Yerinde Yakınsama Üzerine ve Stepanoff Anlamında Neredeyse Periyodik Bir Fonksiyonun Bochnerfejér Toplamları Üzerine". Londra Matematik Derneği Bildirileri. s2-33 (1): 457–466. doi:10.1112 / plms / s2-33.1.457. ISSN 0024-6115.

[6] "Neredeyse Her Yerde Tutan Mülkler - Mathonline". mathonline.wikidot.com. Alındı 2019-11-19.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]