İç (topoloji) - Interior (topology)

Nokta

x

bir iç noktasıdır

S

. Nokta

y

sınırında

S

.

İçinde matematik, özellikle topoloji, iç bir alt küme $S$ bir topolojik uzay $X$ ... Birlik tüm alt kümelerinin $S$ bunlar açık içinde $X$ . İçerideki bir nokta $S$ bir iç nokta nın-nin $S$ .

İç $S$ ... Tamamlayıcı of kapatma tamamlayıcısının $S$ . Bu anlamda iç ve kapanış çift kavramlar.

dış bir setin $S$ kapanışının tamamlayıcısıdır $S$ ; ne sette ne de sette bulunan noktalardan oluşur. sınır. Bir alt kümenin içi, sınırı ve dışı birlikte bölüm tüm alan üç blok halinde (veya bunlardan biri veya daha fazlası boş olduğunda daha az). İç ve dış her zaman açık sınır her zaman iken kapalı. İçi boş setler çağrıldı sınır kümeleri.^[1]

Tanımlar

İç nokta

Eğer $S$ bir alt kümesidir Öklid uzayı, sonra $x$ bir iç noktasıdır $S$ eğer varsa açık top merkezli $x$ tamamen içerdiği $S$ . (Bu, bu makalenin giriş bölümünde gösterilmektedir.)

Bu tanım herhangi bir alt kümeye genelleştirir $S$ bir metrik uzay $X$ metrik ile $d$ : $x$ bir iç noktasıdır $S$ varsa $r > 0$ , öyle ki $y$ içinde $S$ ne zaman mesafe $d (x, y) < r$ .

Bu tanım genelleşir topolojik uzaylar "açık top" yerine "açık küme ". İzin Vermek $S$ topolojik bir uzayın alt kümesi olmak $X$ . Sonra $x$ bir iç noktasıdır $S$ Eğer $x$ açık bir alt kümesinde yer alır $X$ tamamen içerdiği $S$ . (Eşdeğer olarak, $x$ bir iç noktasıdır $S$ Eğer $S$ bir Semt nın-nin $x$ .)

Bir setin iç

iç bir alt kümenin $S$ topolojik bir uzay $X$ ile gösterilir $Int S$ veya $S °$ , aşağıdaki eşdeğer yollardan herhangi biriyle tanımlanabilir:

$Int S$ en büyük açık alt kümesidir $X$ içinde bulunan (bir alt küme olarak) $S$ ;
$Int S$ tüm açık kümelerin birleşimidir $X$ içerdiği $S$ ;
$Int S$ tüm iç noktaların kümesidir $S$ .

Örnekler

a

bir iç noktasıdır

M

, çünkü a'nın bir alt kümesi olan bir ε-komşuluğu vardır.

M

.

Herhangi bir alanda boş setin içi boş settir.
Herhangi bir boşlukta $X$ , Eğer $S \subseteq X$ , sonra $int S \subseteq S$ .
Eğer $X$ Öklid uzayı $ℝ$ nın-nin gerçek sayılar, sonra $int ([0, 1]) = (0, 1)$ .
Eğer $X$ Öklid uzayı $ℝ$ , sonra setin içi $ℚ$ nın-nin rasyonel sayılar boş.
Eğer $X$ ... karmaşık düzlem ${ displaystyle mathbb {C} = mathbb {R} ^ {2}}$ , sonra ${ displaystyle mathrm {int} ( {z mathbb içinde {C}: | z | leq 1 }) = {z mathbb {C}: | z | <1 }.}$
Herhangi bir Öklid uzayında, herhangi bir Sınırlı set boş kümedir.

Gerçek sayılar kümesine, standart topolojiler yerine başka topolojiler koyulabilir.

Eğer $X = ℝ$ , nerede $ℝ$ var alt limit topolojisi, sonra int ([0, 1]) = [0, 1).
Biri düşünürse $ℝ$ her kümenin açık olduğu topoloji, o zaman $int ([0, 1]) = [0, 1]$ .
Biri düşünürse $ℝ$ tek açık kümelerin boş küme olduğu topoloji ve $ℝ$ o zaman kendisi $int ([0, 1])$ boş kümedir.

Bu örnekler, bir kümenin iç kısmının, alttaki uzayın topolojisine bağlı olduğunu gösterir. Son iki örnek, aşağıdakilerin özel durumlarıdır.

Herhangi birinde ayrık uzay her set açık olduğu için her set kendi iç kısmına eşittir.
Herhangi birinde ayrık uzay $X$ , tek açık kümeler boş küme olduğundan ve $X$ bizde var $X = int X$ ve her biri için uygun altküme $S$ nın-nin $X$ , $int S$ boş kümedir.

Özellikleri

İzin Vermek $X$ topolojik bir uzay ol ve $S$ ve $T$ alt kümesi olmak $X$ .

$Int S$ dır-dir açık içinde $X$ .
Eğer $T$ açık $X$ sonra $T \subseteq S$ ancak ve ancak $T \subseteq Uluslararası S$ .
$Int S$ açık bir alt kümesidir $S$ ne zaman $S$ verilir alt uzay topolojisi.
$S$ açık bir alt kümesidir $X$ ancak ve ancak $S = int S$ .
Yoğun: $Int S \subseteq S$ .
Idempotence: $Int (Int S) = Int S$ .
Korur/dağıtır ikili kesişim: $Int (S \cap T) = (Int S) \cap (Uluslararası T)$ .
Monoton/göre azalmayan $\subseteq$ : Eğer $S \subseteq T$ sonra $Int S \subseteq Uluslararası T$ .

Yukarıdaki ifadeler, sembollerin / kelimelerin tüm örnekleri

"iç", "İç", "açık", "alt küme" ve "en büyük"

sırasıyla ile değiştirilir

"kapanış", "Cl", "kapalı", "süper küme" ve "en küçük"

ve aşağıdaki semboller değiştirilir:

"⊆", "⊇" ile değiştirildi
"∪", "∩" ile değiştirildi

Bu konuyla ilgili daha fazla ayrıntı için bkz. iç operatör aşağıdaki veya makale Kuratowski kapanış aksiyomları.

Diğer özellikler şunları içerir:

Eğer $S$ kapalı $X$ ve $Int T = \emptyset$ sonra $Int (S \cup T) = Int S$ .^[2]

İç operatör

iç operatör ^Ö çifttir kapatma Şebeke ^—, anlamda olduğu

{ displaystyle S ^ { circ} = X ters eğik çizgi { üst çizgi {(X ters eğik çizgi S)}}}

,

ve ayrıca

{ displaystyle { bar {S}} = X ters eğik çizgi (X ters eğik çizgi S) ^ { circ}}

,

nerede $X$ ... topolojik uzay kapsamak $S$ ve ters eğik çizgi, küme teorik fark.

Bu nedenle, soyut kapatma operatörleri teorisi ve Kuratowski kapanış aksiyomları Takımları tamamlayıcıları ile değiştirerek iç mekan operatörlerinin diline kolayca tercüme edilebilir.

Genel olarak, iç operatör sendikalarla gidip gelmez. Ancak, bir tam metrik uzay aşağıdaki sonuç geçerli:

Teoremi^[3] (C. Ursescu) — İzin Vermek $X$ olmak tam metrik uzay ve izin ver ${ displaystyle S_ {1}, S_ {2}, ldots}$ alt kümeleri dizisi olmak $X$ .

Eğer her biri $S ben$ kapalı $X$ sonra ${ displaystyle operatorname {cl} sol ( cup _ {i in mathbb {N}} operatorname {int} S_ {i} sağ) = operatorname {cl} operatorname {int} sol ( cup _ {i in mathbb {N}} S_ {i} sağ)}$ .
Eğer her biri $S ben$ açık $X$ sonra ${ displaystyle operatorname {int} sol ( cap _ {i in mathbb {N}} operatorname {cl} S_ {i} sağ) = operatorname {int} operatorname {cl} sol ( cap _ {i in mathbb {N}} S_ {i} sağ)}$ .

Bir setin dışı

dış bir alt kümenin $S$ topolojik bir uzay $X$ , belirtilen $ext S$ veya $Dahili S$ iç mi $int (X \ S)$ göreceli tamamlayıcısı. Alternatif olarak şu şekilde tanımlanabilir: $X \ S—$ kapanışının tamamlayıcısı $S$ . Birçok özellik, aşağıdakiler gibi, iç mekan operatörününkilerden doğrudan bir yol izler.

$ext S$ ile uyuşmayan açık bir kümedir $S$ .
$ext S$ ile ayrık olan tüm açık kümelerin birleşimidir $S$ .
$ext S$ ile uyuşmayan en büyük açık kümedir $S$ .
Eğer $S \subseteq T$ , sonra $ext (S)$ üst kümesidir $ext T$ .

İç operatörden farklı olarak ext idempotent değildir, ancak aşağıdakiler geçerlidir:

$ext (dahili S)$ üst kümesidir $int S$ .

İçten ayrık şekiller

Kırmızı şekiller, mavi Üçgen ile içten ayrık değildir. Yeşil ve sarı şekiller mavi Üçgen ile içten ayrıktır, ancak yalnızca sarı şekil mavi Üçgenden tamamen ayrıktır.

İki şekil $a$ ve $b$ arandı iç ayrık içlerinin kesişimi boşsa. İçten ayrık şekiller, sınırlarında kesişebilir veya kesişmeyebilir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ Kuratowski, Kazimierz (1922). "Sur l'Operation Ā de l'Analysis Situs" (PDF). Fundamenta Mathematicae. Varşova: Polonya Bilimler Akademisi. 3: 182–199. ISSN 0016-2736.
^ Narici ve Beckenstein 2011, s. 371-423.
^ Zalinescu, C (2002). Genel vektör uzaylarında dışbükey analiz. River Edge, NJ Londra: World Scientific. s. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.

Kaynakça

Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Genel Topoloji: Bölüm 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Dixmier, Jacques (1984). Genel Topoloji. Matematikte Lisans Metinleri. Berberian, S. K. New York tarafından çevrildi: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
Császár, Ákos (1978). Genel topoloji. Császár, Klára tarafından çevrildi. Bristol İngiltere: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011.
Dugundji, James (1966). Topoloji. Boston: Allyn ve Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Joshi, K. D. (1983). Genel Topolojiye Giriş. New York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750.
Kelley, John L. (1975). Genel Topoloji. Matematikte Lisansüstü Metinler. 27. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047.
Munkres, James R. (2000). Topoloji (İkinci baskı). Upper Saddle Nehri, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları. Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schubert, Horst (1968). Topoloji. Londra: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753.
Willard, Stephen (2004) [1970]. Genel Topoloji. Dover Matematik Kitapları (İlk baskı). Mineola, NY: Dover Yayınları. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

Dış bağlantılar

İç -de PlanetMath.

[1] Kuratowski, Kazimierz (1922). "Sur l'Operation Ā de l'Analysis Situs" (PDF). Fundamenta Mathematicae. Varşova: Polonya Bilimler Akademisi. 3: 182–199. ISSN 0016-2736.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011371-423-2] Narici ve Beckenstein 2011, s. 371-423.

[Zalinescu_2002_p._33-3] Zalinescu, C (2002). Genel vektör uzaylarında dışbükey analiz. River Edge, NJ Londra: World Scientific. s. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.

[1]

[2]

[3]

Fonksiyonel Analiz (konular – sözlük )
Alanlar	Hilbert uzayı Banach alanı Fréchet alanı topolojik vektör uzayı
Teoremler	Hahn-Banach teoremi kapalı grafik teoremi düzgün sınırlılık ilkesi Kakutani sabit nokta teoremi Kerin-Milman teoremi min-max teoremi Gelfand-Naimark teoremi Banach-Alaoğlu teoremi
Operatörler	sınırlı operatör kompakt operatör ek operatör üniter operatör Hilbert-Schmidt operatörü izleme sınıfı sınırsız operatör
Cebirler	Banach cebiri C * -algebra bir C *-cebirinin spektrumu operatör cebiri yerel olarak kompakt bir grubun grup cebiri von Neumann cebiri
Açık sorunlar	değişmez alt uzay problemi Mahler'in varsayımı
Başvurular	Besov alanı Hardy uzayı adi diferansiyel denklemlerin spektral teorisi ısı çekirdeği indeks teoremi varyasyon hesabı fonksiyonel hesap integral operatörü Jones polinomu topolojik kuantum alan teorisi değişmez geometri Riemann hipotezi
İleri düzey konular	yerel dışbükey boşluk yaklaşım özelliği dengeli küme Schwartz uzay zayıf topoloji namlulu boşluk Banach-Mazur mesafesi Tomita-Takesaki teorisi