Antisimetrik tensör - Antisymmetric tensor

İçinde matematik ve teorik fizik, bir tensör dır-dir antisimetrik (veya göre) bir dizin alt kümesi değişirse işaret Alt kümenin herhangi iki endeksi değiştirildiğinde (+/-).^[1][2] Dizin alt kümesi genellikle tümü olmalıdır ortak değişken ya da hepsi aykırı.

Örneğin,

${ displaystyle T_ {ijk dots} = - T_ {jik dots} = T_ {jki dots} = - T_ {kji dots} = T_ {kij dots} = - T_ {ikj noktalar}}$

tensör ilk üç endeksine göre antisimetrik olduğunda tutar.

Bir tensör değiş tokuşu altında işareti değiştirirse her biri indis çifti, sonra tensör tamamen (veya tamamen) antisimetrik. Tamamen antisimetrik bir kovaryant tensörü sipariş p olarak adlandırılabilir p-form ve tamamen antisimetrik kontravaryant bir tensör, p-vektör.

Antisimetrik ve simetrik tensörler

Bir tensör Bir endekslerde antisimetrik olan ben ve j özelliği vardır kasılma bir tensörle B bu endekslerde simetriktir ben ve j aynı 0.

Genel bir tensör için U bileşenlerle ${ displaystyle U_ {ijk noktalar}}$ ve bir çift endeks ben ve j, U aşağıdaki gibi tanımlanan simetrik ve antisimetrik parçalara sahiptir:

${ displaystyle U _ {(ij) k noktalar} = { frac {1} {2}} (U_ {ijk noktalar} + U_ {jik noktalar})}$		(simetrik kısım)
${ displaystyle U _ {[ij] k noktalar} = { frac {1} {2}} (U_ {ijk noktalar} -U_ {jik noktalar})}$		(antisimetrik kısım).

Diğer indeks çiftleri için de benzer tanımlar verilebilir. "Parça" teriminin önerdiği gibi, bir tensör simetrik kısmının ve belirli bir indis çifti için antisimetrik kısmının toplamıdır.

${ displaystyle U_ {ijk noktalar} = U _ {(ij) k noktalar} + U _ {[ij] k noktalar}.}$

Gösterim

Anti-simetrizasyon için bir kısaltma notasyonu, bir çift köşeli parantez ile gösterilir. Örneğin, rastgele boyutlarda, bir sıra 2 kovaryant tensörü için M,

${ displaystyle M _ {[ab]} = { frac {1} {2!}} (M_ {ab} -M_ {ba}),}$

ve bir sıra için 3 kovaryant tensör T,

${ displaystyle T _ {[abc]} = { frac {1} {3!}} (T_ {abc} -T_ {acb} + T_ {bca} -T_ {bac} + T_ {cab} -T_ {cba }).}$

Herhangi bir 2 ve 3 boyutta bunlar şu şekilde yazılabilir:

${ displaystyle M _ {[ab]} = { frac {1} {2!}} , delta _ {ab} ^ {cd} M_ {cd},}$

${ displaystyle T _ {[abc]} = { frac {1} {3!}} , delta _ {abc} ^ {def} T_ {def}.}$

nerede ${ displaystyle delta _ {ab noktalar} ^ {cd noktalar}}$ genelleştirilmiş mi Kronecker deltası ve kullanıyoruz Einstein gösterimi benzer endeksler üzerinden özetlemek için.

Daha genel olarak, boyutların sayısına bakılmaksızın, antisimetrizasyon p endeksler şu şekilde ifade edilebilir:

${ displaystyle T _ {[a_ {1} dots a_ {p}]} = { frac {1} {p!}} delta _ {a_ {1} dots a_ {p}} ^ {b_ {1 } noktalar b_ {p}} T_ {b_ {1} noktalar b_ {p}}.}$

Genel olarak, rank 2'nin her tensörü, aşağıdaki gibi simetrik ve anti-simetrik bir çifte ayrıştırılabilir:

${ displaystyle T_ {ij} = { frac {1} {2}} (T_ {ij} + T_ {ji}) + { frac {1} {2}} (T_ {ij} -T_ {ji} )}$

Bu ayrıştırma, daha karmaşık simetrilere sahip olan 3. derece veya daha yüksek tensörler için genel olarak doğru değildir.

Örnekler

Tamamen antisimetrik tensörler şunları içerir:

• Önemsiz bir şekilde, tüm skalerler ve vektörler (0 ve 1 dereceli tensörler) tamamen antisimetriktir (tamamen simetriktir)
• elektromanyetik tensör, ${ displaystyle F _ { mu nu}}$ içinde elektromanyetizma
• Riemannian cilt formu bir sözde Riemann manifoldu

Ayrıca bakınız

• Levi-Civita sembolü
• Simetrik tensör
• Antisimetrik matris
• Antisimetrik ilişki
• Dış cebir
• Ricci hesabı

Notlar

Referanslar

• J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Yerçekimi. W.H. Freeman & Co. s. 85–86, §3.5. ISBN  0-7167-0344-0.
• R. Penrose (2007). Gerçeğe Giden Yol. Vintage kitaplar. ISBN  0-679-77631-1.

Dış bağlantılar

• Antisimetrik Tensör - mathworld.wolfram.com