Metrik tensör (genel görelilik) - Metric tensor (general relativity) - Wikipedia

İçinde Genel görelilik, metrik tensör (bu bağlamda genellikle kısaltılmıştır. metrik) çalışmanın temel amacıdır. Kabaca bir genelleme olarak düşünülebilir. yer çekimsel potansiyel nın-nin Newton yerçekimi.^{[açıklama gerekli ]} Metrik, tüm geometrik ve nedensel yapı nın-nin boş zaman, zaman, mesafe, hacim, eğrilik, açı ve gelecek ile geçmişin ayrılması gibi kavramları tanımlamak için kullanılmaktadır.

Gösterim ve kurallar

Bu makale boyunca bir metrik imza bu çoğunlukla olumludur (− + + +); görmek imza geleneği. yerçekimi sabiti ${ displaystyle G}$ açık tutulacaktır. Bu makale, Einstein toplama kuralı, tekrarlanan endekslerin otomatik olarak toplandığı yer.

Tanım

Matematiksel olarak, uzay-zaman dört boyutlu bir türevlenebilir manifold ${ displaystyle M}$ ve metrik tensör bir ortak değişken, ikinci-derece, simetrik tensör açık ${ displaystyle M}$ , geleneksel olarak şu şekilde gösterilir ${ displaystyle g}$ . Dahası, metriğin dejenere olmayan ile imza (− + + +). Bir manifold ${ displaystyle M}$ böyle bir metrikle donatılmış bir tür Lorentzian manifoldu.

Açıkça, metrik tensör bir simetrik çift doğrusal form her birinde teğet uzay nın-nin ${ displaystyle M}$ Bu, noktadan noktaya yumuşak (veya farklılaştırılabilir) bir şekilde değişir. İki teğet vektör verildiğinde ${ displaystyle u}$ ve ${ displaystyle v}$ bir noktada ${ displaystyle x}$ içinde ${ displaystyle M}$ , metrik değerlendirilebilir ${ displaystyle u}$ ve ${ displaystyle v}$ gerçek bir sayı vermek için:

{ displaystyle g_ {x} (u, v) = g_ {x} (v, u) in mathbb {R}.}

Bu bir genellemedir nokta ürün sıradan Öklid uzayı. Öklid uzayının aksine - nokta çarpım pozitif tanımlı - metrik belirsizdir ve her teğet uzaya yapısını verir Minkowski alanı.

Yerel koordinatlar ve matris gösterimleri

Fizikçiler genellikle yerel koordinatlar (yani bazılarında tanımlanan koordinatlar yerel yama nın-nin ${ displaystyle M}$ ). Yerel koordinatlarda ${ displaystyle x ^ { mu}}$ (nerede ${ displaystyle mu}$ 0'dan 3'e kadar çalışan bir dizindir) metrik formda yazılabilir

{ displaystyle g = g _ { mu nu} dx ^ { mu} otimes dx ^ { nu}.}

Faktörler ${ displaystyle dx ^ { mu}}$ vardır tek biçimli gradyanlar skaler koordinat alanlarının ${ displaystyle x ^ { mu}}$ . Dolayısıyla metrik, doğrusal bir kombinasyondur tensör ürünleri koordinatların tek biçimli gradyanları. Katsayılar ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ 16 gerçek değerli fonksiyon kümesidir (tensörden beri ${ displaystyle g}$ bir tensör alanı, a'nın tüm noktalarında tanımlanan boş zaman manifold). Metriğin simetrik olması için sahip olmamız gerekir

{ displaystyle g _ { mu nu} = g _ { nu mu},}

10 bağımsız katsayı vererek.

Yerel koordinatlar belirtilirse veya bağlamdan anlaşılırsa, metrik bir 4 × 4 simetrik matris girişlerle ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ . Dejenerelik ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ bu matrisin tekil olmayan (yani kaybolmayan belirleyiciye sahiptir), Lorentzian imzası ise ${ displaystyle g}$ matrisin bir negatif ve üç pozitif olduğunu ima eder özdeğerler. Fizikçilerin genellikle bu matrise veya koordinatlara atıfta bulunduğunu unutmayın. ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ metrik olarak kendileri (ancak bkz. soyut indeks gösterimi ).

Miktarlarla ${ displaystyle dx ^ { mu}}$ sonsuz küçük koordinat yer değiştirmesinin bileşenleri olarak görülmek dört vektör (yukarıdaki aynı gösterimin tek biçimleriyle karıştırılmamalıdır), metrik sonsuz küçük bir değerin değişmez karesini belirler satır öğesi, genellikle bir Aralık. Aralık genellikle belirtilir

{ displaystyle ds ^ {2} = g _ { mu nu} dx ^ { mu} dx ^ { nu}.}

Aralık ${ displaystyle ds ^ {2}}$ hakkında bilgi verir uzay-zamanın nedensel yapısı. Ne zaman ${ displaystyle ds ^ {2} <0}$ , aralık zaman gibi ve mutlak değerinin karekökü ${ displaystyle ds ^ {2}}$ artımlıdır uygun zaman. Yalnızca zamansal aralıklar, büyük bir nesne tarafından fiziksel olarak geçilebilir. Ne zaman ${ displaystyle ds ^ {2} = 0}$ , aralık ışık gibidir ve yalnızca ışık tarafından geçilebilir. Ne zaman ${ displaystyle ds ^ {2}> 0}$ , aralık boşluk benzeri ve kare kökü ${ displaystyle ds ^ {2}}$ artımlı olarak davranır uygun uzunluk. Birbirlerinin dışındaki olayları birbirine bağladıkları için uzay benzeri aralıklar geçilemez. ışık konileri. Etkinlikler sadece birbirlerinin ışık konilerinin içindeyse nedensel olarak ilişkilendirilebilir.

Metriğin bileşenleri, yerel koordinat sistemi seçimine bağlıdır. Koordinat değişikliği altında ${ displaystyle x ^ { mu} - x ^ { bar { mu}}}$ , metrik bileşenler şu şekilde dönüşür:

{ displaystyle g _ {{ bar { mu}} { bar { nu}}} = { frac { kısmi x ^ { rho}} { kısmi x ^ { bar { mu}}} } { frac { kısmi x ^ { sigma}} { kısmi x ^ { bar { nu}}}} g _ { rho sigma} = Lambda ^ { rho} {} _ { bar { mu}} , Lambda ^ { sigma} {} _ { bar { nu}} , g _ { rho sigma}.}

Örnekler

Düz uzay zamanı

Lorentzian manifoldunun en basit örneği^{[açıklama gerekli ]} dır-dir düz uzay-zaman olarak verilebilir R⁴ koordinatlarla^{[açıklama gerekli ]} ${ displaystyle (t, x, y, z)}$ ve metrik

{ displaystyle ds ^ {2} = - c ^ {2} dt ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} = eta _ { mu nu} dx ^ { mu} dx ^ { nu}. ,}

Bu koordinatların aslında tüm R⁴. Düz uzay metriği (veya Minkowski metriği ) genellikle sembolü ile gösterilir η ve kullanılan metriktir Özel görelilik. Yukarıdaki koordinatlarda, matris gösterimi η dır-dir

{ displaystyle eta = { begin {pmatrix} -c ^ {2} & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}

(Alternatif bir kural, koordinatın yerini alır ${ displaystyle t}$ tarafından ${ displaystyle ct}$ ve tanımlar ${ displaystyle eta}$ de olduğu gibi Minkowski alanı § Standart temel.)

İçinde küresel koordinatlar ${ displaystyle (t, r, theta, phi)}$ düz uzay metriği biçimi alır

{ displaystyle ds ^ {2} = - c ^ {2} dt ^ {2} + dr ^ {2} + r ^ {2} d Omega ^ {2} ,}

nerede

{ displaystyle d Omega ^ {2} = d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}}

standart metriktir 2 küre^{[açıklama gerekli ]}.

Kara delik ölçümleri

Schwarzschild ölçüsü, yüksüz, dönmeyen bir kara deliği tanımlar. Dönen ve yüklü kara delikleri tanımlayan ölçümler de vardır.

Schwarzschild metriği

Düz uzay metriğinin yanı sıra, genel görelilikte en önemli ölçü, Schwarzschild metriği bir dizi yerel koordinatta verilebilir

{ displaystyle ds ^ {2} = - sol (1 - { frac {2GM} {rc ^ {2}}} sağ) c ^ {2} dt ^ {2} + sol (1 - { frac {2GM} {rc ^ {2}}} right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d Omega ^ {2}}

yine nerede ${ displaystyle d Omega ^ {2}}$ standart metriktir 2 küre. Buraya, ${ displaystyle G}$ ... yerçekimi sabiti ve ${ displaystyle M}$ boyutlarıyla bir sabittir kitle. Türevi bulunabilir İşte. Schwarzschild metriği, Minkowski metriğine şu şekilde yaklaşır: ${ displaystyle M}$ sıfıra yaklaşır (tanımsız olduğu başlangıç noktası hariç). Benzer şekilde, ne zaman ${ displaystyle r}$ sonsuza gider, Schwarzschild metriği Minkowski metriğine yaklaşır.

Koordinatlarla

{ displaystyle sol (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3} sağ) = (ct, r, theta, varphi) ,,}

ölçüyü şu şekilde yazabiliriz

{ displaystyle g _ { mu nu} = { başla {bmatrix} - sol (1 - { frac {2GM} {rc ^ {2}}} sağ) & 0 ve 0 ve 0 0 ve sol (1- { frac {2GM} {rc ^ {2}}} right) ^ {- 1} & 0 & 0 0 & 0 & r ^ {2} & 0 0 & 0 & 0 & r ^ {2} sin ^ {2} theta end {bmatrix} } ,.}

Schwarzschild metriği için birkaç başka koordinat sistemi geliştirilmiştir: Eddington-Finkelstein koordinatları, Gullstrand-Painlevé koordinatları, Kruskal-Szekeres koordinatları, ve Lemaitre koordinatları.

Dönen ve yüklü kara delikler

Schwarzschild çözümü, uzayda dönmeyen ve yüklü olmayan bir nesneyi varsayar. Yükü hesaba katmak için, metrik daha önce olduğu gibi Einstein Alan denklemlerini ve Maxwell denklemlerini eğri bir uzay-zamanda karşılamalıdır. Yüklü, dönmeyen bir kütle, Reissner – Nordström metriği.

Dönen kara delikler, Kerr metriği ve Kerr-Newman metriği.^{[daha fazla açıklama gerekli ]}

Diğer ölçümler

Diğer önemli ölçümler şunlardır:

Alcubierre metriği,
de Sitter /anti-de Sitter metrikler,
Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker metriği,
İzotropik koordinatlar,
Lemaître – Tolman metriği (diğer adıyla Bondi metriği^{[açıklama gerekli ]}),
Peres metriği,
Rindler koordinatları,
Weyl − Lewis − Papapetrou koordinatları,
Gödel metriği.

Bazıları yok olay ufku veya onsuz olabilir yerçekimsel tekillik.

Ses

Metrik g doğal bir hacim formu (bir işarete kadar), bir bölge bir manifoldun. Yerel koordinatlar verildiğinde ${ displaystyle x ^ { mu}}$ manifold için hacim formu yazılabilir

{ displaystyle mathrm {vol} _ {g} = pm { sqrt {| det [g _ { mu nu}] |}} , dx ^ {0} wedge dx ^ {1} wedge dx ^ {2} wedge dx ^ {3}}

nerede ${ displaystyle det [g _ { mu nu}]}$ ... belirleyici verilen koordinat sistemi için metrik tensör bileşenlerinin matrisinin.

Eğrilik

Metrik ${ displaystyle g}$ tamamen belirler eğrilik uzay zamanının. Göre Riemann geometrisinin temel teoremi benzersiz bir bağ ∇ herhangi biri yarı Riemann manifoldu metrikle uyumlu ve burulma -Bedava. Bu bağlantıya Levi-Civita bağlantısı. Christoffel sembolleri Bu bağlantının yerel koordinatlarda metriğin kısmi türevleri cinsinden verilmiştir. ${ displaystyle x ^ { mu}}$ formülle

{ displaystyle Gamma ^ { lambda} {} _ { mu nu} = {1 over 2} g ^ { lambda rho} sol ({ kısmi g _ { rho mu} over kısmi x ^ { nu}} + { kısmi g _ { rho nu} üzerinden kısmi x ^ { mu}} - { kısmi g _ { mu nu} üzerinden kısmi x ^ { rho }} right) = {1 over 2} g ^ { lambda rho} left (g _ { rho mu, nu} + g _ { rho nu, mu} -g _ { mu nu, rho} sağ)}

(virgüllerin gösterdiği yerde kısmi türevler ).

Uzay-zaman eğriliği daha sonra Riemann eğrilik tensörü Levi-Civita bağlantısı connection cinsinden tanımlanmıştır. Yerel koordinatlarda bu tensör şu şekilde verilir:

{ displaystyle {R ^ { rho}} _ { sigma mu nu} = kısmi _ { mu} Gama ^ { rho} {} _ { nu sigma} - kısmi _ { nu} Gama ^ { rho} {} _ { mu sigma} + Gama ^ { rho} {} _ { mu lambda} Gama ^ { lambda} {} _ { nu sigma } - Gama ^ { rho} {} _ { nu lambda} Gama ^ { lambda} {} _ { mu sigma}.}

Eğrilik daha sonra tamamen metrik olarak ifade edilebilir ${ displaystyle g}$ ve türevleri.

Einstein denklemleri

Genel göreliliğin temel fikirlerinden biri, metriğin (ve uzay-zamanın ilişkili geometrisinin), Önemli olmak ve enerji içeriği boş zaman. Einstein'ın alan denklemleri:

{ displaystyle R _ { mu nu} - {1 2'den fazla} Rg _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} , T _ { mu nu }}

nerede Ricci eğrilik tensörü

{ displaystyle R _ { nu rho} { stackrel { mathrm {def}} {=}} {R ^ { mu}} _ { nu mu rho}}

ve skaler eğrilik

{ displaystyle R { stackrel { mathrm {def}} {=}} g ^ { mu nu} R _ { mu nu}}

metriği (ve ilişkili eğrilik tensörlerini) stres-enerji tensörü ${ displaystyle T _ { mu nu}}$ . Bu tensör denklem karmaşık bir doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler metrik bileşenler için. Kesin çözümler Einstein'ın alan denklemlerinin bulunması çok zor.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Görmek genel görelilik kaynakları referans listesi için.