Artin-Rees lemma - Artin–Rees lemma

İçinde matematik, Artin-Rees lemma hakkında temel bir sonuçtur modüller üzerinde Noetherian yüzük gibi sonuçlarla birlikte Hilbert temel teoremi. 1950'li yıllarda bağımsız çalışmalarda kanıtlanmıştır. matematikçiler Emil Artin ve David Rees;^[1][2] özel bir durum biliniyordu Oscar Zariski işlerinden önce.

Lemmanın bir sonucu, Krull kesişim teoremi. Sonuç aynı zamanda kesinlik özelliğini kanıtlamak için de kullanılır. tamamlama (Atiyah ve MacDonald 1969, s. 107–109) harv hatası: hedef yok: CITEREFAtiyahMacDonald1969 (Yardım). Lemma, aynı zamanda, ℓ-adic kasnaklar.

Beyan

İzin Vermek ben fasulye ideal içinde Noetherian yüzük R; İzin Vermek M olmak sonlu oluşturulmuş R-modül ve izin ver N bir alt modül M. Sonra bir tamsayı var k ≥ 1, böylece n ≥ k,

${displaystyle I ^ {n} Mcap N = I ^ {n-k} ((I ^ {k} M) cap N).}$

Kanıt

Lemma gerçeğinden hemen sonra gelir R Noetherian, bir zamanlar gerekli kavramlar ve gösterimler kurulduğunda.^[3]

Herhangi bir yüzük için R ve ideal ben içinde R, ayarladık ${displaystyle B_ {I} R = extstyle igoplus _ {n = 0} ^ {infty} I ^ {n}}$ (B patlama için.) Azalan bir alt modül dizisi diyoruz. ${displaystyle M = M_ {0} supset M_ {1} supset M_ {2} supset cdots}$ bir ben-filtre eğer ${displaystyle IM_ {n} alt küme M_ {n + 1}}$; dahası, eğer kararlıysa ${displaystyle IM_ {n} = M_ {n + 1}}$ yeterince büyük için n. Eğer M verilir ben-filtrasyon, ayarladık ${displaystyle B_ {I} M = extstyle igoplus _ {n = 0} ^ {infty} M_ {n}}$; bu bir dereceli modül bitmiş ${displaystyle B_ {I} R}$.

Şimdi izin ver M olmak R-modül ile ben-filtrasyon ${displaystyle M_ {i}}$ sonlu olarak oluşturulmuş R-modüller. Bir gözlem yapıyoruz

${displaystyle B_ {I} M}$ üzerinde sonlu olarak oluşturulmuş bir modüldür ${displaystyle B_ {I} R}$ ancak ve ancak filtreleme ben-kararlı.

Nitekim, filtrasyon ben-stabil, o zaman ${displaystyle B_ {I} M}$ ilk tarafından üretilir ${displaystyle k + 1}$ şartlar ${displaystyle M_ {0}, noktalar, M_ {k}}$ ve bu terimler sonlu olarak üretilir; Böylece, ${displaystyle B_ {I} M}$ sonlu olarak oluşturulur. Tersine, eğer sonlu olarak, diyelim ki, içindeki bazı homojen unsurlar tarafından üretiliyorsa ${displaystyle extstyle igoplus _ {j = 0} ^ {k} M_ {j}}$, bundan dolayı ${displaystyle ngeq k}$, her biri f içinde ${displaystyle M_ {n}}$ olarak yazılabilir

${displaystyle f = toplam a_ {j} g_ {j}, I ^ {n-j} 'de dört a_ {j}}$

jeneratörlerle ${displaystyle g_ {j}}$ içinde ${displaystyle M_ {j}, jleq k}$. Yani, ${displaystyle fin I ^ {n-k} M_ {k}}$.

Artık lemmayı ispatlayabiliriz R Noetherian. İzin Vermek ${displaystyle M_ {n} = I ^ {n} M}$. Sonra ${displaystyle M_ {n}}$ bir ben-stabil filtreleme. Böylece gözlemle, ${displaystyle B_ {I} M}$ üzerinde sonlu olarak üretilir ${displaystyle B_ {I} R}$. Fakat ${displaystyle B_ {I} Rsimeq R [It]}$ o zamandan beri Noetherian bir yüzük R dır-dir. (Yüzük ${displaystyle R [It]}$ denir Rees cebiri.) Böylece, ${displaystyle B_ {I} M}$ bir Noetherian modülüdür ve herhangi bir alt modül sonlu olarak oluşturulur. ${displaystyle B_ {I} R}$; özellikle, ${displaystyle B_ {I} N}$ sonlu olarak oluşturulduğunda N indüklenen filtrasyon verilir; yani ${displaystyle N_ {n} = M_ {n} büyük harf N}$. Daha sonra indüklenen filtrasyon ben-gözlemle yine kararlı.

Krull kesişim teoremi

Bir halkanın tamamlanmasında kullanılmasının yanı sıra, lemmanın tipik bir uygulaması, Krull'un kesişim teoreminin kanıtıdır ve şöyle der: ${displaystyle extstyle igcap _ {n = 1} ^ {infty} I ^ {n} = 0}$ uygun bir ideal için ben değişmeli bir Noetherian halkasında ya da yerel halka veya bir integral alan. Kavşağa uygulanan lemma tarafından ${displaystyle N}$, bulduk k öyle ki için ${displaystyle ngeq k}$,

${displaystyle I ^ {n} cap N = I ^ {n-k} (I ^ {k} cap N).}$

Ama sonra ${displaystyle N = IN}$. Böylece, eğer Bir yerel ${displaystyle N = 0}$ tarafından Nakayama'nın lemması. Eğer Bir integral bir alandır, bu durumda belirleyici numara kullanılır (bu, Cayley-Hamilton teoremi ve verim Nakayama'nın lemması ):

Teoremi İzin Vermek sen fasulye endomorfizm bir Bir-modül N tarafından oluşturuldu n elementler ve ben ideali Bir öyle ki ${displaystyle u (N) alt kümesi İÇİNDE}$. Sonra bir ilişki var:

${displaystyle u ^ {n} + a_ {1} u ^ {n-1} + cdots + a_ {n-1} u + a_ {n} = 0,, a_ {i}, I ^ {i}.}$

Buradaki kurulumda sen kimlik operatörü olmak N; sıfır olmayan bir öğe verecek x içinde Bir öyle ki ${displaystyle xN = 0}$, Hangi ima ${displaystyle N = 0}$.

Hem yerel bir halka hem de bir integral alan için, "Noetherian" varsayımdan çıkarılamaz: yerel halka durumu için, bakınız yerel halka # Değişmeli durum. İntegral alan durumu için, ${displaystyle A}$ olmak cebirsel tamsayılar halkası (yani, integral kapanışı ${displaystyle mathbb {Z}}$ içinde ${displaystyle mathbb {C}}$). Eğer ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ ana idealidir Bir, sonra bizde: ${displaystyle {mathfrak {p}} ^ {n} = {mathfrak {p}}}$ her tam sayı için ${displaystyle n> 0}$. Gerçekten, eğer ${displaystyle yin {mathfrak {p}}}$, sonra ${displaystyle y = alfa ^ {n}}$ bazı karmaşık sayılar için ${displaystyle alpha}$. Şimdi, ${displaystyle alpha}$ integral bitti ${displaystyle mathbb {Z}}$; böylece ${displaystyle A}$ ve sonra ${displaystyle {mathfrak {p}}}$, iddiayı kanıtlıyor.

Referanslar

• Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969). Değişmeli Cebire Giriş. Westview Press. ISBN  978-0-201-40751-8.
• Eisenbud, David (1995). Cebirsel Geometriye Yönelik Değişmeli Cebir. Matematikte Lisansüstü Metinler. 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN  0-387-94268-8.

daha fazla okuma

• Conrad, Brian; de Jong, Aise Johan (2002). "Versal deformasyonların yaklaştırılması" (PDF). Cebir Dergisi. 255 (2): 489–515. doi:10.1016 / S0021-8693 (02) 00144-8. BAY  1935511. Artin-Rees lemmasının bir şekilde daha kesin bir versiyonunu verir.

Dış bağlantılar

• "Artin-Rees Teoremi". PlanetMath.