Ortalama Lagrange - Averaged Lagrangian - Wikipedia

Yüksek irtifa dalga bulutu Hampton bölgesi üzerinde oluşmuş Burra, Güney Avustralya 16 Ocak 2007.

İçinde süreklilik mekaniği, Whitham's ortalama Lagrangian yöntem - veya kısaca Whitham yöntemi - çalışmak için kullanılır Lagrange dinamikleri nın-nin yavaş değişen dalga trenleri homojen olmayan (hareketli) orta Yöntem her ikisi için de geçerlidir. doğrusal ve doğrusal olmayan sistemler. Yöntemde kullanılan ortalamanın doğrudan bir sonucu olarak, dalga hareketi bir korunan mülk dalga hareketinin. Aksine, dalga enerji Ortalama hareket ile enerji değişimi nedeniyle mutlaka korunmuş değildir. Bununla birlikte, toplam enerji, dalga hareketindeki enerjilerin toplamı ve ortalama hareket, bir süre korunacaktır.değişmez Lagrangian. Ayrıca, ortalama Lagrangian ile güçlü bir ilişkisi vardır. dağılım ilişkisi sistemin.

Yöntemin sebebi Gerald Whitham, onu 1960'larda geliştiren. Örneğin modellemede kullanılır yüzey yerçekimi dalgaları açık akışkan arayüzler,[1][2] ve plazma fiziği.[3][4]

Saf dalga hareketi için ortaya çıkan denklemler

Durumunda Lagrange formülasyonu bir süreklilik mekaniği sistemi mevcuttur, ortalama Lagrange metodolojisi, dalga hareketinin ortalama dinamikleri için yaklaşımları bulmak için kullanılabilir - ve (sonunda) dalga hareketi ile ortalama hareket arasındaki etkileşim için - zarf taşıyıcı dalgaların dinamiği yavaş değişen. Lagrangian'ın faz ortalaması, bir ortalama Lagrangianher zaman dalga fazının kendisinden bağımsızdır (ancak dalga gibi yavaş değişen dalga miktarlarına bağlıdır) genlik, Sıklık ve dalga sayısı ). Tarafından Noether teoremi, varyasyon Ortalama Lagrangian'ın saygıyla değişmez dalga fazı daha sonra bir koruma kanunu:[5]

 

 

 

 

(1)

Bu denklem, korunması dalga hareketi - bir kavramının genellemesi adyabatik değişmez sürekli mekaniğe - ile[6]

  ve  

dalga hareketi olmak ve dalga hareketi akı sırasıyla. Daha ileri ve sırasıyla uzay ve zamanı gösterirken ... gradyan operatörü. açısal frekans ve dalga sayısı olarak tanımlanır[7]

  ve  

 

 

 

 

(2)

ve her ikisinin de yavaşça değiştiği varsayılır. Bu tanım nedeniyle, ve tutarlılık ilişkilerini sağlamalı:

  ve  

 

 

 

 

(3)

İlk tutarlılık denklemi olarak bilinir dalga tepelerinin korunmasıve ikincisi, dalga numarası alanının dır-dir dönüşsüz (yani sıfır var kıvırmak ).

Yöntem

Ortalama Lagrangian yaklaşımı, dalga hareketi için geçerlidir - muhtemelen ortalama bir hareket üzerine yerleştirilmiş - Lagrange formülasyonu. Bir Ansatz hareketin dalga kısmında, Lagrange dır-dir evre ortalama. Lagrangian ile ilişkili olduğundan kinetik enerji ve potansiyel enerji hareketin salınımları Lagrangian'a katkıda bulunur, ancak dalganın salınımlı sapmasının ortalama değeri sıfırdır (veya çok küçüktür).

Ortaya çıkan ortalama Lagrangian, aşağıdaki gibi dalga özelliklerini içerir. dalga sayısı, açısal frekans ve genlik (veya eşdeğer olarak dalganın enerji yoğunluğu veya dalga hareketi ). Ancak faz ortalamasından dolayı dalga fazının kendisi yoktur. Sonuç olarak, aracılığıyla Noether teoremi, var koruma kanunu dalga hareketinin korunumu denir.

Başlangıçta ortalama Lagrangian yöntemi Whitham tarafından yavaş değişen dağıtıcı dalga trenleri.[8] Birkaç uzantı yapılmıştır, ör. etkileşimli dalga bileşenlerine,[9][10] Hamilton mekaniği,[8][11] yüksek mertebeden modülasyon Etkileri,[12] yayılma Etkileri.[13]

Varyasyonel formülasyon

Ortalama Lagrange yöntemi, dalga hareketini tanımlayan bir Lagrangian'ın varlığını gerektirir. Örneğin bir alan tarafından tanımlanan Lagrange yoğunluğu sabit hareket ilkesi dır-dir:[14]

ile gradyan operatörü ve zaman türevi Şebeke. Bu eylem ilkesi, Euler – Lagrange denklemi:[14]

hangisi ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklem dinamiklerini tanımlayan Yüksek mertebeden kısmi diferansiyel denklemler, Lagrangian'da birinci mertebeden türevlerden daha yüksek olanların dahil edilmesini gerektirir.[14]

Misal

Örneğin, bir boyutsuz ve doğrusal olmayan Klein-Gordon denklemi tek uzay boyutunda :[15]

 

 

 

 

(4)

Bu Euler-Lagrange denklemi, Lagrangian yoğunluğundan ortaya çıkar:[15]

 

 

 

 

(5)

Küçük genlik yaklaşımı Sinüs-Gordon denklemi değere karşılık gelir [16] İçin sistem doğrusaldır klasik tek boyutlu Klein – Gordon denklemi elde edilir.

Yavaş değişen dalgalar

Yavaş değişen doğrusal dalgalar

Whitham, ortalama bir Lagrangian yöntemi elde etmek için birkaç yaklaşım geliştirdi.[14][17] En basit olanı yavaş değişen doğrusal dalga grupları burada hangi yöntem uygulanacak.[14]

Doğrusal bir dağılım sistemindeki yavaş değişen dalga düzeni - ortalama hareket olmaksızın - şu şekilde tanımlanır:[18]

  ile     ve  

nerede ... gerçek değerli dalga fazı, gösterir mutlak değer of karmaşık değerli genlik süre onun tartışma ve gösterir gerçek kısım. Gerçek değerli genlik ve faz kayması şu şekilde gösterilir: ve sırasıyla.

Şimdi, tanım olarak, açısal frekans ve dalga sayısı vektör olarak ifade edilmektedir zaman türevi ve gradyan dalga fazının gibi:[7]

  ve  

Sonuç olarak, ve tutarlılık ilişkilerini sağlamalı:

  ve  

Bu iki tutarlılık ilişkisi, "dalga tepelerinin korunmasını" ve dönüşsüzlük dalga numarası alanı.

Dalga dizisindeki yavaş varyasyonların varsayımı nedeniyle - hem de olası bir homojen olmayan orta ve ortalama hareket - miktarlar ve hepsi uzayda yavaşça değişir ve zaman - ama dalga fazı kendisi yavaş değişmez. Sonuç olarak, türevleri ve türevlerinin belirlenmesinde ihmal edilmektedir. ortalama Lagrangian'da kullanım için:[14]

  ve  

Sonraki bu varsayımlar ve türevleri Lagrangian yoğunluğuna uygulanır

Yavaş değişen doğrusal olmayan dalgalar

Yavaş değişen çeşitli yaklaşımlar doğrusal olmayan wavetrains mümkündür. Biri kullanımı ile Stokes genişletmeleri,[19] Whitham tarafından yavaş değişen Stokes dalgaları.[20] Alanın Stokes genişlemesi şu şekilde yazılabilir:[19]

genlikler nerede vb. aşamalar gibi yavaşça değişmektedir vb. Doğrusal dalga durumuna gelince, en düşük sırada ( modülasyon etkiler söz konusudur), türevler hariç, genliklerin ve fazların türevleri ihmal edilir ve hızlı evrenin

  ve

Bu yaklaşımlar, Lagrange yoğunluğuna uygulanacaktır. ve faz ortalaması

Yavaş değişen dalgalar için ortalama Lagrangian

Saf dalga hareketi için Lagrangian alan açısından ifade edilir ve türevleri.[14][17] Ortalama Lagrangian yönteminde, sahayla ilgili yukarıda verilen varsayımlar - ve türevleri - Lagrangian'ı hesaplamak için uygulanır. Lagrangian daha sonra dalga fazı üzerinden ortalaması alınır [14]

Son adım olarak, bu ortalama sonuç olarak ifade edilebilir ortalama Lagrangian yoğunluk - bu, yavaş değişen parametrelerin bir fonksiyonudur ve ve dalga fazından bağımsız kendisi.[14]

Ortalama Lagrange yoğunluğu şimdi Whitham tarafından ortalamayı izlemesi öneriliyor varyasyon ilkesi:[14]

Varyasyonlarından yavaş değişen dalga özellikleri için dinamik denklemleri izleyin.

Misal

Doğrusal olmayan Klein-Gordon denklemi örneğine devam ederek, bkz. Denklemler 4 ve 5ve yukarıdaki yaklaşımları uygulamak için ve (bu 1B örnek için) Lagrangian yoğunluğunda, ortalamadan sonraki sonuç dır-dir:

varsayıldığı yerde, büyük-O gösterimi, ve . Varyasyon göre sebep olur Yani ortalama Lagrangian:

 

 

 

 

(6)

Doğrusal dalga hareketi için ortalama Lagrangian ayarlanarak elde edilir sıfıra eşit.

Ortalama Lagrangian'dan ortaya çıkan denklem seti

Ortalama Lagrangian prensibinin uygulanması, dalga fazına göre değişim dalga hareketinin korunmasına yol açar:

dan beri ve dalga fazındayken ortalama Lagrange yoğunluğunda görünmüyor faz ortalamasından dolayı. Dalga hareketinin tanımlanması ve dalga hareketi akısı sonuç:

Dalga hareketi denklemine tutarlılık denklemleri eşlik eder. ve hangileri:

  ve  

Genliğe göre değişim yol açar dağılım ilişkisi

Misal

Denklemde ortalama varyasyon prensibini kullanarak doğrusal olmayan Klein-Gordon denklemiyle devam etmek 6dalga hareketi denklemi, dalga fazına göre değişerek olur

ve doğrusal olmayan dağılım ilişkisi genliğe göre varyasyondan gelir

Yani dalga hareketi ve dalga hareket akışı grup hızı dır-dir

Ortalama hareket ve sözde faz

Dalga hareketinin korunması

Ortalama Lagrangian, Lagrangian'ın dalga fazı. Sonuç olarak, ortalama Lagrangian yalnızca türevler dalga fazının (bu türevler, tanımı gereği açısal frekans ve dalga sayısıdır) ve dalga fazının kendisine bağlı değildir. Dolayısıyla çözümler, seçiminden bağımsız olacaktır. sıfır seviye dalga fazı için. Sonuç olarak - tarafından Noether teoremivaryasyon Ortalama Lagrangian'ın dalga fazıyla ilgili olarak bir koruma kanunu:

nerede

  ve  

ile dalga hareketi ve dalga hareketi akı. Daha ileri gösterir kısmi türev zamana göre ve ... gradyan Şebeke. Tanım olarak, grup hızı tarafından verilir:

Ortalama bir akışla bir enerji alışverişi olabileceğinden, genel olarak dalga hareketinin enerjisinin korunmasına gerek olmadığını unutmayın. Toplam enerji - dalga hareketinin ve ortalama akışın enerjilerinin toplamı - korunur (dış kuvvetler tarafından iş olmadığında ve Enerji dağılımı ).

Dalga hareketinin korunumu, aynı zamanda, genelleştirilmiş Lagrange ortalama (GLM) yöntemini kullanarak birleşik dalga akışı ve ortalama hareket denklemleri Newton mekaniği varyasyonel bir yaklaşım yerine.[21]

Enerji ve momentumun korunumu

Dağılım ilişkisine bağlantı

Doğrusal modellerin saf dalga hareketi her zaman formun ortalama Lagrange yoğunluğuna yol açar:[14]

Sonuç olarak, genliğe göre değişim: verir

Yani bu, dağılım ilişkisi doğrusal dalgalar için ve doğrusal dalgalar için ortalama Lagrangian her zaman dağılım fonksiyonudur çarpı genliğin karesi.

Daha genel olarak, bir uzay boyutunda yayılan ve daha yüksek dereceli dağılım etkileri içeren zayıf doğrusal olmayan ve yavaş modüle edilmiş dalgalar için - zaman ve uzay türevlerini ihmal etmemek ve genliğin türev alırken, nerede küçük bir modülasyon parametresidir - ortalama Lagrange yoğunluğu şu şekildedir:[22]

ile yavaş değişkenler ve

Referanslar

Notlar

Yöntem üzerine Whitham tarafından yapılan yayınlar

Kitapta bir genel bakış bulunabilir:

  • Whitham, G.B. (1974), Doğrusal ve doğrusal olmayan dalgalar, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-94090-9

Yöntemle ilgili Whitham tarafından yapılan bazı yayınlar şunlardır:

daha fazla okuma