Bochner – Riesz demek - Bochner–Riesz mean

Bochner – Riesz demek bir toplanabilirlik yöntemi sıklıkla kullanılır harmonik analiz yakınsaması düşünüldüğünde Fourier serisi ve Fourier integralleri. Tarafından tanıtıldı Salomon Bochner bir değişiklik olarak Riesz demek.

Tanım

Tanımlamak

${ displaystyle ( xi) _ {+} = { begin {case} xi ve { mbox {if}} xi> 0 0, & { mbox {aksi halde}}. end {case }}}$

İzin Vermek ${ displaystyle f}$ periyodik bir fonksiyon olabilir, üzerinde olduğu düşünülür n-torus, ${ displaystyle mathbb {T} ^ {n}}$ve Fourier katsayılarına sahip ${ displaystyle { şapka {f}} (k)}$ için ${ displaystyle k in mathbb {Z} ^ {n}}$. O zaman Bochner-Riesz karmaşık düzen demektir ${ displaystyle delta}$, ${ displaystyle B_ {R} ^ { delta} f}$ / nerede ${ displaystyle R> 0}$ ve ${ displaystyle { mbox {Re}} ( delta)> 0}$) olarak tanımlanır

${ displaystyle B_ {R} ^ { delta} f ( theta) = { underet {| k | leq R} { sum _ {k in mathbb {Z} ^ {n}}}} sol (1 - { frac {| k | ^ {2}} {R ^ {2}}} sağ) _ {+} ^ { delta} { hat {f}} (k) e ^ {2 pi ik cdot theta}.}$

Benzer şekilde, bir işlev için ${ displaystyle f}$ açık ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ Fourier dönüşümü ile ${ displaystyle { şapka {f}} ( xi)}$Bochner-Riesz karmaşık düzen demektir ${ displaystyle delta}$, ${ displaystyle S_ {R} ^ { delta} f}$ (nerede ${ displaystyle R> 0}$ ve ${ displaystyle { mbox {Re}} ( delta)> 0}$) olarak tanımlanır

${ displaystyle S_ {R} ^ { delta} f (x) = int _ {| xi | leq R} sol (1 - { frac {| xi | ^ {2}} {R ^ {2}}} right) _ {+} ^ { delta} { hat {f}} ( xi) e ^ {2 pi ix cdot xi} , d xi.}$

Evrişim operatörlerine uygulama

İçin ${ displaystyle delta> 0}$ ve ${ displaystyle n = 1}$, ${ displaystyle S_ {R} ^ { delta}}$ ve ${ displaystyle B_ {R} ^ { delta}}$ olarak yazılabilir kıvrım evrişim çekirdeğinin bir olduğu operatörler yaklaşık kimlik. Bu nedenle, bu durumlarda, neredeyse her yerde yakınsama Bochner – Riesz, içindeki fonksiyonlar anlamına gelir ${ displaystyle L ^ {p}}$ boşluklar, Fourier serilerinin / integrallerinin hemen hemen her yerde yakınsaması "düzenli" probleminden çok daha basittir (karşılık gelen ${ displaystyle delta = 0}$).

Daha yüksek boyutlarda, evrişim çekirdekleri "daha kötü davranılır": özellikle

${ displaystyle delta leq { tfrac {n-1} {2}}}$

çekirdek artık entegre edilemez. Burada hemen hemen her yerde yakınsamanın kurulması buna bağlı olarak daha zor hale geliyor.

Bochner-Riesz varsayımı

Başka bir soru, bunun için ${ displaystyle delta}$ ve hangisi ${ displaystyle p}$ Bochner-Riesz, bir ${ displaystyle L ^ {p}}$ işlevi normda birleşmek. Bu konu, ${ displaystyle n geq 2}$, çünkü düzenli küresel norm yakınsaması (yine ${ displaystyle delta = 0}$) başarısız olur ${ displaystyle L ^ {p}}$ ne zaman ${ displaystyle p neq 2}$. Bu, 1971 tarihli bir makalede Charles Fefferman.^[1]

Bir aktarım sonucuna göre, ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ ve ${ displaystyle mathbb {T} ^ {n}}$ sorunlar birbirine eşdeğerdir ve bu nedenle, düzgün sınırlılık ilkesi, herhangi bir belirli ${ displaystyle p in (1, infty)}$, ${ displaystyle L ^ {p}}$ norm yakınsaması her iki durumda da tam olarak ${ displaystyle delta}$ nerede ${ displaystyle (1- | xi | ^ {2}) _ {+} ^ { delta}}$ ... sembol bir ${ displaystyle L ^ {p}}$ sınırlı Fourier çarpanı Şebeke.

İçin ${ displaystyle n = 2}$, bu soru tamamen çözüldü, ancak ${ displaystyle n geq 3}$, sadece kısmen yanıtlandı. Halinde ${ displaystyle n = 1}$ burada ilginç değil çünkü yakınsama ${ displaystyle p in (1, infty)}$ en zor durumda ${ displaystyle delta = 0}$ dava sonucu ${ displaystyle L ^ {p}}$ Sınırlılığı Hilbert dönüşümü ve bir argüman Marcel Riesz.

Tanımlamak ${ displaystyle delta (p)}$, "kritik indeks"

${ displaystyle max (n | 1 / p-1/2 | -1 / 2,0)}$.

Sonra Bochner-Riesz varsayımı şunu belirtir

${ displaystyle delta> delta (p)}$

için gerekli ve yeterli koşuldur ${ displaystyle L ^ {p}}$ sınırlı Fourier çarpanı operatörü. Durumun gerekli olduğu bilinmektedir.^[2]

Referanslar

daha fazla okuma

• Lu, Shanzhen (2013). Bochner-Riesz Öklid Uzayları Anlamına Gelir (İlk baskı). World Scientific. ISBN  978-981-4458-76-4.
• Grafakos, Loukas (2008). Klasik Fourier Analizi (İkinci baskı). Berlin: Springer. ISBN  978-0-387-09431-1.
• Grafakos, Loukas (2009). Modern Fourier Analizi (İkinci baskı). Berlin: Springer. ISBN  978-0-387-09433-5.
• Stein, Elias M. & Murphy, Timothy S. (1993). Harmonik Analiz: Gerçek Değişkenli Yöntemler, Ortogonalite ve Salınımlı İntegraller. Princeton: Princeton Üniversitesi Yayınları. ISBN  0-691-03216-5.