Bott periyodiklik teoremi - Bott periodicity theorem

İçinde matematik, Bott periyodiklik teoremi bir dönemselliği tanımlar homotopi grupları nın-nin klasik gruplar, tarafından keşfedildi Raoul Bott (1957, 1959 ), özellikle daha ileri araştırmalar için temel öneme sahip olduğu kanıtlanmıştır. K-teorisi kararlı kompleks vektör demetleri yanı sıra kürelerin kararlı homotopi grupları. Bott periyodikliği çeşitli şekillerde formüle edilebilir; söz konusu periyodiklik, ilgili teori için boyuta göre her zaman bir periyot-2 fenomeni olarak görünür. üniter grup. Örneğin bakınız topolojik K-teorisi.

Eşleşen teoriler için karşılık gelen 8. periyot fenomeni vardır, (gerçek ) KO-teorisi ve (kuaterniyonik ) KSp-teorisi, gerçekle ilişkili ortogonal grup ve kuaterniyonik semplektik grup, sırasıyla. J-homomorfizm ortogonal grupların homotopi gruplarından bir homomorfizmdir kürelerin kararlı homotopi grupları Bu, kürelerin kararlı homotopi gruplarında 8 Bott periyodikliğinin görünür olmasına neden olur.

Sonuç beyanı

Bott gösterdi ki ${ displaystyle O ( infty)}$ olarak tanımlanır endüktif limit of ortogonal gruplar, sonra onun homotopi grupları periyodik:^[1]

{ displaystyle pi _ {n} (O ( infty)) simeq pi _ {n + 8} (O ( infty))}

ve ilk 8 homotopi grubu aşağıdaki gibidir:

{ displaystyle { başlar {hizalı} pi _ {0} (O ( infty)) & simeq mathbb {Z} _ {2} pi _ {1} (O ( infty)) & simeq mathbb {Z} _ {2} pi _ {2} (O ( infty)) & simeq 0 pi _ {3} (O ( infty)) & simeq mathbb {Z} pi _ {4} (O ( infty)) & simeq 0 pi _ {5} (O ( infty)) & simeq 0 pi _ {6} ( O ( infty)) & simeq 0 pi _ {7} (O ( infty)) & simeq mathbb {Z} end {hizalı}}}

Bağlam ve önemi

Bott dönemselliğinin bağlamı, homotopi grupları nın-nin küreler temel rolü oynaması beklenen cebirsel topoloji benzeterek homoloji teorisi, anlaşılması zor olduğunu kanıtladı (ve teori karmaşıktır). Konusu kararlı homotopi teorisi bir sadeleştirme olarak tasarlandı. süspansiyon (parçalamak ürün Birlikte daire ) operasyon ve (kabaca konuşursak), bir denklemin her iki tarafının da istediği kadar askıya alınmasına izin verildiğinde, homotopi teorisinden geriye kalan şeyi görmek. Kararlı teorinin pratikte hesaplanması hala zordu.

Bott dönemselliğinin sunduğu şey, bağlantılarının bağlantısı nedeniyle topolojide merkezi statüye sahip, oldukça önemsiz bazı alanlar hakkında bir fikirdi. kohomoloji ile karakteristik sınıflar, bunun için tüm (kararsız) homotopi grupları hesaplanabilir. Bu boşluklar (sonsuz veya kararlı) üniter, ortogonal ve semplektik gruplar U, Ö ve Sp. Bu içerikte, kararlı sendikayı almayı ifade eder U (aynı zamanda direkt limit ) kapanımlar dizisi

{ Displaystyle U (1) alt küme U (2) alt küme cdots alt küme U = bigcup _ {k = 1} ^ { infty} U (k)}

ve benzer şekilde Ö ve Sp. Bott'un bu kelimeyi kullandığına dikkat edin kararlı ufuk açıcı makalesinin başlığında bu istikrarlı klasik gruplar ve değil kararlı homotopi gruplar.

Bott dönemselliğinin önemli bağlantısı kürelerin kararlı homotopi grupları ${ displaystyle pi _ {n} ^ {S}}$ sözde ahır üzerinden gelir J-homomorfizm (kararlı) klasik grupların (kararsız) homotopi gruplarından bu kararlı homotopi gruplarına ${ displaystyle pi _ {n} ^ {S}}$ . Başlangıçta tanımlayan George W. Whitehead ünlülerin konusu oldu Adams varsayımı (1963), nihayet olumlu olarak çözüldü. Daniel Quillen (1971).

Bott'un orijinal sonuçları kısaca şu şekilde özetlenebilir:

Sonuç: (Sonsuz) 'un (kararsız) homotopi grupları klasik gruplar periyodik:

{ displaystyle { başla {hizalı} pi _ {k} (U) & = pi _ {k + 2} (U) pi _ {k} (O) & = pi _ {k + 4} ( operatöradı {Sp}) pi _ {k} ( operatöradı {Sp}) & = pi _ {k + 4} (O) && k = 0,1, ldots end {hizalı} }}

Not: Bu izomorfizmlerin ikincisi ve üçüncüsü, 8 kat periyodiklik sonuçlarını vermek için iç içe geçer:

{ displaystyle { begin {align} pi _ {k} (O) & = pi _ {k + 8} (O) pi _ {k} ( operatorname {Sp}) & = pi _ {k + 8} ( operatöradı {Sp}), && k = 0,1, ldots end {hizalı}}}

Döngü uzayları ve boşlukları sınıflandırma

Sonsuzla ilişkili teori için üniter grup, U, boşluk BU ... alanı sınıflandırmak kararlı kompleks için vektör demetleri (bir Grassmanniyen sonsuz boyutlarda). Bott periyodikliğinin bir formülasyonu, iki katlı döngü uzayını tanımlar, Ω²BU nın-nin BU. Burada, the döngü alanı functor sağ bitişik -e süspansiyon ve sol ek için alanı sınıflandırmak inşaat. Bott periyodikliği, bu çift döngü uzayının esasen BU tekrar; daha kesin,

{ displaystyle Omega ^ {2} BU simeq mathbb {Z} times BU}

esasen (yani, homotopi eşdeğeri sayılabilir sayıda nüsha birliği BU. Eşdeğer bir formülasyon

{ displaystyle Omega ^ {2} U simeq U.}

Bunlardan herhangi biri, neden (karmaşık) topolojik olduğunu gösterme anında etkiye sahiptir. Kteori, 2 katlı periyodik bir teoridir.

Sonsuz için karşılık gelen teoride ortogonal grup, Ö, boşluk BÖ ... alanı sınıflandırmak istikrarlı gerçek için vektör demetleri. Bu durumda, Bott periyodikliği, 8 katlı döngü alanı için,

{ displaystyle Omega ^ {8} BO simeq mathbb {Z} times BO;}

Veya eşdeğer olarak,

{ displaystyle Omega ^ {8} O simeq O,}

sonuç verir ki KOteori, 8 katlı periyodik bir teoridir. Ayrıca, sonsuz için semplektik grup, Sp, BSp uzayı alanı sınıflandırmak kararlı kuaterniyonik için vektör demetleri ve Bott periyodikliği şunu belirtir:

{ displaystyle Omega ^ {8} operatorname {BSp} simeq mathbb {Z} times operatorname {BSp};}

Veya eşdeğer olarak

{ displaystyle Omega ^ {8} operatorname {Sp} simeq operatorname {Sp}.}

Böylece hem topolojik gerçek Kteori (aynı zamanda KO-teori) ve topolojik kuaterniyonik K-teori (KSp-teorisi olarak da bilinir) 8 katlı periyodik teorilerdir.

Döngü uzaylarının geometrik modeli

Bott dönemselliğinin zarif bir formülasyonu, klasik gruplar arasında doğal düğünler (kapalı alt gruplar olarak) olduğu gözlemini kullanır. Bott periyodikliğindeki döngü uzayları daha sonra homotopiye eşdeğerdir. simetrik uzaylar ardışık bölümlerin ek ayrık faktörleri ile Z.

Karmaşık sayılar üzerinde:

{ displaystyle U times U subset U subset U times U.}

Gerçek sayılar ve kuaterniyonlar üzerinde:

{ displaystyle O times O subset O subset U subset operatorname {Sp} subset operatorname {Sp} times operatorname {Sp} subset operatorname {Sp} subset U subset O subset O times O.}

Bu diziler, içindeki dizilere karşılık gelir Clifford cebirleri - görmek Clifford cebirlerinin sınıflandırılması; karmaşık sayılar üzerinde:

{ displaystyle mathbb {C} oplus mathbb {C} subset mathbb {C} subset mathbb {C} oplus mathbb {C}.}

Gerçek sayılar ve kuaterniyonlar üzerinde:

{ displaystyle mathbb {R} oplus mathbb {R} alt küme mathbb {R} alt küme mathbb {C} alt küme mathbb {H} alt küme mathbb {H} oplus mathbb {H} subset mathbb {H} subset mathbb {C} subset mathbb {R} subset mathbb {R} oplus mathbb {R},}

burada bölme cebirleri "bu cebir üzerindeki matrisleri" gösterir.

2-periyodik / 8-periyodik olduklarından, bir daire şeklinde düzenlenebilirler ve burada Bott periyodiklik saati ve Clifford cebir saati.

Bott periyodik sonuçları daha sonra bir dizi homotopi eşdeğerleri:

Karmaşık için Kteori:

{ displaystyle { başlar {hizalı} Omega U & simeq mathbb {Z} times BU = mathbb {Z} times U / (U times U) Omega (Z times BU) & simeq U = (U times U) / U end {hizalı}}}

Gerçek ve kuaterniyonik için KO- ve KSp teorileri:

{ displaystyle { başlar {hizalı} Omega ( mathbb {Z} times BO) & simeq O = (O times O) / O & Omega ( mathbb {Z} times operatorname {BSp}) & simeq operatorname {Sp} = ( operatorname {Sp} times operatorname {Sp}) / operatorname {Sp} Omega O & simeq O / U & Omega operatorname {Sp} & simeq operatör adı {Sp} / U Omega (O / U) & simeq U / operatöradı {Sp} & Omega ( operatöradı {Sp} / U) & simeq U / O Omega (U / operatöradı {Sp}) & simeq mathbb {Z} times operatorname {BSp} = mathbb {Z} times operatorname {Sp} / ( operatorname {Sp} times operatorname {Sp}) & Omega (U / O) & simeq mathbb {Z} times BO = mathbb {Z} times O / (O times O) end {hizalı}}}

Ortaya çıkan boşluklar, klasik indirgeyiciye eşdeğer homotopidir. simetrik uzaylar ve Bott periyodiklik saatinin terimlerinin birbirini izleyen bölümleridir. Bu eşdeğerlikler hemen Bott periyodik teoremlerini verir.

Belirli alanlar,^{[not 1]} (gruplar için temel homojen uzay ayrıca listelenir):

Döngü alanı	Bölüm	Cartan'ın etiketi	Açıklama
${ displaystyle Omega ^ {0}}$	${ displaystyle mathbb {Z} times O / (O times O)}$	BDI	Gerçek Grassmanniyen
${ displaystyle Omega ^ {1}}$	${ displaystyle O = (O times O) / O}$		Ortogonal grup (gerçek Stiefel manifoldu )
${ displaystyle Omega ^ {2}}$	${ displaystyle O / U}$	DIII	belirli bir ortogonal yapı ile uyumlu karmaşık yapıların uzayı
${ displaystyle Omega ^ {3}}$	${ displaystyle U / mathrm {Sp}}$	Hepsi	belirli bir karmaşık yapı ile uyumlu kuaterniyonik yapıların uzayı
${ displaystyle Omega ^ {4}}$	${ displaystyle mathbb {Z} times mathrm {Sp} / ( mathrm {Sp} times mathrm {Sp})}$	CII	Kuaterniyonik Grassmanniyen
${ displaystyle Omega ^ {5}}$	${ displaystyle mathrm {Sp} = ( mathrm {Sp} times mathrm {Sp}) / mathrm {Sp}}$		Semplektik grup (kuaterniyonik Stiefel manifoldu )
${ displaystyle Omega ^ {6}}$	${ displaystyle mathrm {Sp} / U}$	CI	karmaşık Lagrange Grassmanniyen
${ displaystyle Omega ^ {7}}$	${ displaystyle U / O}$	AI	Lagrange Grassmanniyen

Kanıtlar

Bott'un orijinal kanıtı (Bott 1959 ) Kullanılmış Mors teorisi, hangi Bott (1956) Lie gruplarının homolojisini incelemek için daha önce kullanmıştı. Birçok farklı kanıt verildi.

Notlar

^ Yorumlama ve etiketleme biraz yanlıştır ve indirgenemez simetrik uzaylar, bunlar daha genel indirgeyici boşluklar. Örneğin, SU/ Sp indirgenemezken U/ Sp indirgeyicidir. Bunların gösterdiği gibi, fark birinin içerip içermediği şeklinde yorumlanabilir. oryantasyon.

Referanslar

^ http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node1.html

Bott, Raoul (1956), "Morse teorisinin Lie gruplarının topolojisine bir uygulaması", Bulletin de la Société Mathématique de France, 84: 251–281, doi:10.24033 / bsmf.1472, ISSN 0037-9484, BAY 0087035
Bott, Raoul (1957), "Klasik grupların kararlı homotopisi", Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi Bildirileri, 43 (10): 933–5, doi:10.1073 / pnas.43.10.933, JSTOR 89403, BAY 0102802, PMC 528555, PMID 16590113
Bott, Raoul (1959), "Klasik grupların kararlı homotopisi", Matematik Yıllıkları İkinci Seri, 70 (2): 313–337, doi:10.2307/1970106, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970106, BAY 0110104, PMC 528555
Bott, R. (1970), "Klasik gruplar için periyodiklik teoremi ve bazı uygulamaları", Matematikteki Gelişmeler, 4 (3): 353–411, doi:10.1016/0001-8708(70)90030-7. Teoremin ve onu çevreleyen matematiğin açıklayıcı bir açıklaması.
Giffen, C.H. (1996), "Bott periyodikliği ve Q-yapısı" Banaszak, Grzegorz'da; Gajda, Wojciech; Krasoń, Piotr (editörler), Cebirsel K-Teorisi Çağdaş Matematik 199, American Mathematical Society, s. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4, BAY 1409620
Milnor, J. (1969). Mors Teorisi. Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9.
Baez, John (21 Haziran 1997). "Hafta 105". Matematiksel Fizikte Bu Haftanın Bulguları.

[2] Yorumlama ve etiketleme biraz yanlıştır ve indirgenemez simetrik uzaylar, bunlar daha genel indirgeyici boşluklar. Örneğin, SU/ Sp indirgenemezken U/ Sp indirgeyicidir. Bunların gösterdiği gibi, fark birinin içerip içermediği şeklinde yorumlanabilir. oryantasyon.

[1] ttp://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node1.html

[1]

[not 1]