Brillouin ve Langevin fonksiyonları - Brillouin and Langevin functions - Wikipedia

Brillouin ve Langevin fonksiyonları bir çift özel fonksiyonlar idealize edilmiş bir paramanyetik malzeme Istatistik mekaniği.

Brillouin işlevi

Brillouin işlevi^[1][2] aşağıdaki denklemle tanımlanan özel bir fonksiyondur:

${ displaystyle B_ {J} (x) = { frac {2J + 1} {2J}} coth sol ({ frac {2J + 1} {2J}} x sağ) - { frac {1 } {2J}} coth left ({ frac {1} {2J}} x sağ)}$

İşlev genellikle şu bağlamda uygulanır (aşağıya bakın) x gerçek bir değişkendir ve J pozitif bir tamsayı veya yarı tamsayıdır. Bu durumda, işlev -1 ile 1 arasında değişir ve 1'e yaklaşır. ${ displaystyle x ila + infty}$ ve -1 as ${ displaystyle x - infty}$.

İşlev, en iyi hesaplamada ortaya çıkmasıyla bilinir. mıknatıslanma ideal paramagnet. Özellikle manyetizasyonun bağımlılığını açıklar ${ displaystyle M}$ uygulamada manyetik alan ${ displaystyle B}$ ve toplam açısal momentum kuantum sayısı Mikroskobik J manyetik anlar malzemenin. Mıknatıslanma şu şekilde verilir:^[1]

${ displaystyle M = Ng mu _ { rm {B}} JB_ {J} (x)}$

nerede

• ${ displaystyle N}$ birim hacimdeki atom sayısıdır,
• ${ displaystyle g}$ g faktörü,
• ${ displaystyle mu _ { rm {B}}}$ Bohr manyeton,
• ${ displaystyle x}$ oranı Zeeman dış alandaki manyetik momentin enerjisi termal enerjiye ${ displaystyle k _ { rm {B}} T}$:^[1]

${ displaystyle x = J { frac {g mu _ { rm {B}} B} {k _ { rm {B}} T}}}$

• ${ displaystyle k _ { rm {B}}}$ ... Boltzmann sabiti ve ${ displaystyle T}$ sıcaklık.

SI birim sisteminde ${ displaystyle B}$ Tesla'da verilen, manyetik alan, ${ displaystyle B = mu _ {0} H}$, nerede ${ displaystyle H}$ A / m cinsinden verilen yardımcı manyetik alandır ve ${ displaystyle mu _ {0}}$ ... vakum geçirgenliği.

Bu yasanın bir türevini görmek için "göster" i tıklayın:

İdeal bir paramagnetin mıknatıslanmasını tanımlayan bu yasanın bir türevi aşağıdaki gibidir.[1] İzin Vermek z manyetik alanın yönü olabilir. Her manyetik momentin açısal momentumunun z-bileşeni (a.k.a. azimut kuantum sayısı ) 2J + 1 olası değerlerinden birini -J, -J + 1, ..., + J alabilir. Bunların her biri, dış alan nedeniyle farklı bir enerjiye sahiptir. B: Kuantum sayısıyla ilişkili enerji m dır-dir ${ displaystyle E_ {m} = - mg mu _ { rm {B}} B = -k _ { rm {B}} Txm / J}$ (nerede g ... g faktörü, μB ... Bohr manyeton, ve x yukarıdaki metinde tanımlandığı gibidir). Bunların her birinin göreceli olasılığı, Boltzmann faktörü: ${ displaystyle P (m) = e ^ {- E_ {m} / (k _ { rm {B}} T)} / Z = e ^ {xm / J} / Z}$ nerede Z ( bölme fonksiyonu ) olasılıkların birliğe toplanacağı şekilde bir normalleştirme sabitidir. Hesaplanıyor Zsonuç: ${ displaystyle P (m) = e ^ {xm / J} / sol ( toplamı _ {m '= - J} ^ {J} e ^ {xm' / J} sağ)}$. Hepsi söylendi beklenti değeri azimut kuantum sayısının m dır-dir ${ displaystyle langle m rangle = (- J) times P (-J) + cdots + J times P (J) = left ( toplamı _ {m = -J} ^ {J} ben ^ {xm / J} sağ) / sol ( toplamı _ {m = -J} ^ {J} e ^ {xm / J} sağ)}$. Payda bir Geometrik seriler ve pay bir tür aritmetik-geometrik seriler, dolayısıyla seri açıkça özetlenebilir. Biraz cebirden sonra sonuç şu şekilde çıkıyor: ${ displaystyle langle m rangle = JB_ {J} (x)}$ İle N birim hacim başına manyetik momentler, mıknatıslanma yoğunluğu ${ displaystyle M = Ng mu _ { rm {B}} langle m rangle = NgJ mu _ { rm {B}} B_ {J} (x)}$.

Takacs^[3] Brillouin fonksiyonunun tersine aşağıdaki yaklaşımı önerdi:

${ displaystyle B_ {J} (x) ^ {- 1} = { frac {axJ ^ {2}} {1-bx ^ {2}}}}$

sabitler nerede ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$ olarak tanımlandı

${ displaystyle a = { frac {0.5 (1 + 2J) (1-0.055)} {(J-0.27) 2J}} + { frac {0.1} {J ^ {2}}}}$

${ displaystyle b = 0.8}$

Langevin işlevi

Langevin işlevi (mavi çizgi) ile karşılaştırıldığında ${ displaystyle tanh (x / 3)}$ (eflatun çizgi).

Klasik sınırda, anlar sürekli sahada hizalanabilir ve ${ displaystyle J}$ tüm değerleri alabilir (${ displaystyle J ila infty}$). Brillouin işlevi daha sonra basitleştirilerek Langevin işlevi, adını Paul Langevin:

${ displaystyle L (x) = coth (x) - { frac {1} {x}}}$

Küçük değerler için xLangevin işlevi, onun kesilmesi ile tahmin edilebilir. Taylor serisi:

${ displaystyle L (x) = { tfrac {1} {3}} x - { tfrac {1} {45}} x ^ {3} + { tfrac {2} {945}} x ^ {5 } - { tfrac {1} {4725}} x ^ {7} + noktalar}$

Daha iyi davranan alternatif bir yaklaşım,Lambert'in devam eden fraksiyonu genişlemesi tanh (x):

${ displaystyle L (x) = { frac {x} {3 + { tfrac {x ^ {2}} {5 + { tfrac {x ^ {2}} {7 + { tfrac {x ^ { 2}} {9+ ldots}}}}}}}}}$

Yeterince küçük için xHer iki yaklaşım da sayısal olarak gerçek analitik ifadenin doğrudan değerlendirmesinden daha iyidir, çünkü ikincisi önem kaybı.

Ters Langevin fonksiyonu L⁻¹(x) açık aralıkta tanımlanır (−1, 1). Küçük değerler için x, onun kesilmesi ile yaklaştırılabilir Taylor serisi^[4]

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) = 3x + { tfrac {9} {5}} x ^ {3} + { tfrac {297} {175}} x ^ {5} + { tfrac { 1539} {875}} x ^ {7} + noktalar}$

ve tarafından Padé yaklaşımı

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) = 3x { frac {35-12x ^ {2}} {35-33x ^ {2}}} + O (x ^ {7}).}$

Cohen ve Jedynak yaklaşımları için x ∈ [0, 1) için bağıl hata grafikleri

Bu işlevin kapalı formu olmadığından, aşağıdaki keyfi değerleri için geçerli yaklaşımlara sahip olmak yararlıdır. x. Tüm aralıkta (−1, 1) geçerli olan popüler bir yaklaşım A. Cohen tarafından yayınlanmıştır:^[5]

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) yaklaşık x { frac {3-x ^ {2}} {1-x ^ {2}}}.}$

Bu, yaklaşık% 4,9'luk bir maksimum bağıl hataya sahiptir. x = ±0.8. R.Jedynak tarafından verilen formül kullanılarak daha fazla doğruluk elde edilebilir:^[6]

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) yaklaşık x { frac {3.0-2.6x + 0.7x ^ {2}} {(1-x) (1 + 0.1x)}},}$

Şunun için geçerli x ≥ 0. Bu yaklaşım için maksimum bağıl hata x = 0.85 civarında% 1.5'tir. M.Kröger tarafından verilen formül kullanılarak daha da yüksek doğruluk elde edilebilir:^[7]

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) yaklaşık { frac {3x-x (6x ^ {2} + x ^ {4} -2x ^ {6}) / 5} {1-x ^ {2 }}}}$

Bu yaklaşım için maksimum bağıl hata% 0.28'den azdır. Daha doğru bir yaklaşım R. Petrosyan tarafından bildirildi:^[8]

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) yaklaşık 3x + { frac {x ^ {2}} {5}} sin sol ({ frac {7x} {2}} sağ) + { frac {x ^ {3}} {1-x}},}$

Şunun için geçerli x ≥ 0. Yukarıdaki formül için maksimum bağıl hata% 0,18'den azdır.^[8]

R. Jedynak tarafından verilen yeni yaklaşım,^[9] karmaşıklık 11'de bildirilen en iyi yaklaşımdır:

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) yaklaşık { frac {x (3-1.00651x ^ {2} -0.962251x ^ {4} + 1.47353x ^ {6} -0.48953x ^ {8}) } {(1-x) (1 + 1,01524x)}},}$

Şunun için geçerli x ≥ 0. Maksimum bağıl hatası% 0,076'dan azdır.^[9]

Ters Langevin fonksiyonuna yaklaşımların mevcut son teknoloji diyagramı aşağıdaki şekli sunar. Rasyonel / Padé yaklaşımları için geçerlidir,^[7][9]

Ters Langevin fonksiyonuna yaklaşımların mevcut son teknoloji diyagramı,^[7][9]

R. Jedynak tarafından yakın zamanda yayınlanan bir makale,^[10] ters Langevin fonksiyonuna bir dizi optimal yaklaşım sağlar. Aşağıdaki tablo doğru asimptotik davranışlarla sonuçları bildirmektedir,^[7][9][10].

Kısıtlamalarla hesaplanan farklı optimal rasyonel yaklaşımlar için göreceli hataların karşılaştırılması (Ek 8 Tablo 1)^[10]

Karmaşıklık	Optimal yaklaşım	Maksimum göreli hata [%]
3	${ displaystyle R_ {2,1} (y) = { frac {-2y ^ {2} + 3y} {1-y}}}$	13
4	${ displaystyle R_ {3,1} (y) = { frac {0.88y ^ {3} -2.88y ^ {2} + 3y} {1-y}}}$	0.95
5	${ displaystyle R_ {3,2} (y) = { frac {1.1571y ^ {3} -3.3533y ^ {2} + 3y} {(1-y) (1-0.1962y)}}}$	0.56
6	${ displaystyle R_ {5,1} (y) = { frac {0.756y ^ {5} -1.383y ^ {4} + 1.5733y ^ {3} -2.9463y ^ {2} + 3y} {1- y}}}$	0.16
7	${ displaystyle R_ {3,4} (y) = { frac {2.14234y ^ {3} -4.22785y ^ {2} + 3y} {(1-y) sol (0.71716y ^ {3} -0.41103 y ^ {2} -0.39165y + 1 sağ)}}}$	0.082

Ayrıca yakın zamanda Benítez ve Montáns tarafından eğri enterpolasyonlarına dayanan verimli bir makineye yakın hassaslık yaklaşımı önerildi,^[11] Matlab kodu ayrıca spline tabanlı yaklaşımı oluşturmak ve tüm fonksiyon alanında önceden önerilen yaklaşımların birçoğunu karşılaştırmak için verilir.

Yüksek sıcaklık sınırı

Ne zaman ${ displaystyle x ll 1}$ yani ne zaman ${ displaystyle mu _ { rm {B}} B / k _ { rm {B}} T}$ küçükse, manyetizasyonun ifadesi yaklaşık olarak Curie kanunu:

${ displaystyle M = C cdot { frac {B} {T}}}$

nerede ${ displaystyle C = { frac {Ng ^ {2} J (J + 1) mu _ { rm {B}} ^ {2}} {3k _ { rm {B}}}}}$ sabittir. Bunu not edebiliriz ${ displaystyle g { sqrt {J (J + 1)}}}$ Bohr manyetonlarının efektif sayısıdır.

Yüksek alan sınırı

Ne zaman ${ displaystyle x ila infty}$, Brillouin fonksiyonu 1'e gider. Mıknatıslanma, uygulanan alanla tamamen hizalanmış manyetik momentlerle doyurulur:

${ displaystyle M = Ng mu _ { rm {B}} J}$

Referanslar