Hareketli yüzeyler hesabı - Calculus of moving surfaces - Wikipedia

Rüzgardaki bir bayrağın yüzeyi deforme olan bir manifold örneğidir.

hareketli yüzeyler hesabı (CMS) [1] klasik bir uzantısıdır tensör hesabı deforme olmak manifoldlar. CMS'nin merkezinde Tensorial Zaman Türevidir kimin orijinal tanımı [2] tarafından ortaya atıldı Jacques Hadamard. O, benzer bir rol oynar. kovaryant türev açık diferansiyel manifoldlar. ürettiği için tensör bir tensöre uygulandığında.

Jacques Salomon Hadamard, Fransız Matematikçi, 1865–1963 CE

Farz et ki evrimi yüzey zaman benzeri bir parametre ile indekslenmiş . Yüzeyin tanımları hız ve Şebeke bunlar geometrik CMS'nin temelleri. C hızı, oran yüzey deformasyonu anında normal yön. Değeri bir noktada olarak tanımlanır limit

nerede nokta dik olan düz çizgi üzerinde uzanır P noktasında. Bu tanım, aşağıdaki ilk geometrik şekilde gösterilmektedir. Hız işaretli bir miktardır: pozitiftir seçilen normalin yönünü gösterir ve aksi halde negatiftir. Aralarındaki ilişki ve temel hesaplamadaki konum ve hız arasındaki ilişkiye benzer: her iki nicelikten birinin bilinmesi, birinin diğerini şu şekilde inşa etmesine izin verir: farklılaşma veya entegrasyon.

Yüzey hızı C'nin geometrik yapısı
Geometrik yapı Değişmez bir F alanının türevi

Tensorial Zaman Türevi üzerinde tanımlanan bir skaler alan F için ... değişim oranı içinde anında normal yönde:

Bu tanım aynı zamanda ikinci geometrik şekilde de gösterilmiştir.

Yukarıdaki tanımlar geometrik. Analitik ortamlarda, bu tanımların doğrudan uygulanması mümkün olmayabilir. CMS verir analitik C'nin tanımları ve temel işlemler açısından hesap ve diferansiyel geometri.

Analitik tanımlar

İçin analitik tanımları ve , evrimini düşünün veren

nerede genel eğrisel uzay koordinatları ve yüzey koordinatlarıdır. Geleneksel olarak, fonksiyon argümanlarının tensör indeksleri bırakılır. Böylece yukarıdaki denklemler şunları içerir: ziyade . Hız nesnesi olarak tanımlanır kısmi türev

Hız en doğrudan formülle hesaplanabilir

nerede normal vektörün kovaryant bileşenleridir .

Ayrıca, Yüzeyin Teğet Uzayının kaydırma tensör temsilini tanımlama ve Teğet Hız olarak , sonra tanımı bir türevi değişmez F okur

nerede S'nin kovaryant türevidir.

İçin tensörleruygun bir genellemeye ihtiyaç vardır. Temsili bir tensör için doğru tanım okur

nerede vardır Christoffel sembolleri ve yüzeyin uygun zamansal sembolleridir ( yüzeyin eğrilik şekli operatörünün matris gösterimidir)

Özellikleri -türev

-türevli kasılmalı gidip gelir, Ürün kuralı herhangi bir endeks koleksiyonu için

ve itaat eder zincir kuralı yüzey için kısıtlamalar uzaysal tensörlerin:

Zincir kuralı, -uzamsal "metriklerin" türevleri kaybolur

nerede ve kovaryant ve çelişkili metrik tensörler, ... Kronecker deltası sembol ve ve bunlar Levi-Civita sembolleri. Ana makale Levi-Civita sembollerinde bunları Kartezyen koordinat sistemleri. Yukarıdaki kural genel koordinatlarda geçerlidir, burada Levi-Civita sembollerinin tanımı, değerin karekökünü içermelidir. belirleyici kovaryant metrik tensörün .

İçin fark tablosu -türev

Anahtar yüzey nesnelerinin türevi, oldukça özlü ve çekici formüllere yol açar. Uygulandığında ortak değişken yüzey metrik tensör ve aykırı metrik tensör aşağıdaki kimlikler sonucu

nerede ve iki kat eşdeğişken ve iki kat aykırı eğrilik tensörleri. Bu eğrilik tensörleri ve karışık eğrilik tensörü , tatmin etmek

Vites tensörü ve normal tatmin etmek

Son olarak, yüzey Levi-Civita sembolleri ve tatmin etmek

İntegrallerin zaman farklılaşması

CMS aşağıdakiler için kurallar sağlar: hacim ve yüzey integrallerinin zaman farklılaşması.

Referanslar

  1. ^ Grinfeld, P. (2010). "Akışkan Filmler için Hamilton Dinamik Denklemler". Uygulamalı Matematik Çalışmaları. doi:10.1111 / j.1467-9590.2010.00485.x. ISSN  0022-2526.
  2. ^ J. Hadamard, Leçons Sur La Propagation Des Ondes Et Les Équations de l'Hydrodynamique. Paris: Hermann, 1903.