Kılcal uzunluk - Capillary length

Kılcal uzunluk, farklı sıvılar ve farklı koşullar için değişecektir. İşte nilüfer yaprağındaki su damlasının resmi. Sıcaklık 20 ise^Ö sonra ${displaystyle lambda _ {c}}$= 2,71 mm

kılcal uzunluk veya kılcal sabit, ilgili bir uzunluk ölçekleme faktörüdür Yerçekimi ve yüzey gerilimi. Menisküslerin davranışını yöneten temel bir fiziksel özelliktir ve vücut kuvvetleri (yerçekimi) ve yüzey kuvvetleri (Laplace basıncı ) denge içindedir.

Statik bir sıvının basıncı, sıvının şekline, toplam kütlesine veya yüzey alanına bağlı değildir. Akışkan ile doğru orantılıdır. özel ağırlık - yerçekiminin belirli bir hacim üzerine uyguladığı kuvvet ve dikey yüksekliği. Bununla birlikte, bir sıvı aynı zamanda yüzey geriliminin neden olduğu, genellikle Young-Laplace basınç.^[1] Yüzey gerilimi, moleküller arasındaki kohezif kuvvetlerden kaynaklanır ve toplu Moleküller her yönden çekici kuvvetler yaşarlar. Bir sıvının yüzeyi kavislidir, çünkü yüzeydeki açıktaki moleküller daha az komşu etkileşime sahiptir ve bu da yüzeyi daraltan net bir kuvvetle sonuçlanır. Bu eğriliğin her iki tarafında da bir basınç farkı vardır ve bu, yerçekimine bağlı basıncı dengelediğinde, kılcal uzunluğu bulmak için yeniden düzenleme yapılabilir.^[2]

Bir sıvı-sıvı arayüzü söz konusu olduğunda, örneğin başka bir sıvıya batırılmış bir su damlası, kılcal uzunluk olarak gösterilir. ${displaystyle lambda _ {m {c}}}$ veya ${displaystyle l_ {m {c}}}$ en yaygın olarak formülle verilir,

${displaystyle lambda _ {m {c}} = {sqrt {frac {gamma} {Delta ho g}}}}$,

nerede ${displaystyle gamma}$ ... yüzey gerilimi sıvı arayüzünün ${displaystyle g}$ ... yerçekimi ivmesi ve ${displaystyle Delta ho}$ ... kütle yoğunluğu akışkanların farkı. Kılcal uzunluk bazen belirtilir ${displaystyle kappa ^ {- 1}}$ matematiksel gösterimle ilgili olarak eğrilik. Kılcal sabit terimi biraz yanıltıcıdır, çünkü şunu bilmek önemlidir: ${displaystyle lambda _ {m {c}}}$ değişken miktarlardan oluşan bir bileşimdir, örneğin yüzey geriliminin değeri sıcaklığa göre değişecek ve yoğunluk farkı bir arayüz etkileşiminde yer alan sıvılara bağlı olarak değişecektir. Bununla birlikte, bu koşullar biliniyorsa, kapiler uzunluk herhangi bir sıvı için sabit olarak kabul edilebilir ve çok sayıda akışkan mekanik türetilmiş denklemleri herhangi bir akışkan için geçerli olacak şekilde ölçekleme problemleri.^[3] Moleküler sıvılar için, arayüzey gerilimleri ve yoğunluk farklılıkları tipik olarak şu sıradadır: ${displaystyle 10-100}$ mN m⁻¹ ve ${displaystyle 0.1-1}$g mL⁻¹ sırasıyla bir kılcal uzunluk ile sonuçlanır ${görüntü stili simülasyonu 3}$yeryüzünde oda sıcaklığında su ve hava için mm.^[4] Öte yandan, kılcal uzunluk ${displaystyle {lambda scriptscriptstyle c} = 6,68}$Aydaki su havası için mm. Bir sabun köpüğü yüzey gerilimi ortalama kalınlığa bölünmeli ve yaklaşık kılcal uzunlukla sonuçlanmalıdır. ${displaystyle 3}$ havada metre!^[5] Denklemi ${displaystyle lambda _ {m {c}}}$ ekstra olarak da bulunabilir ${displaystyle {sqrt {2}}}$ terim, çoğunlukla kılcal yüksekliği normalleştirirken kullanılır.^[6]

Menşei

Teorik

Kılcal uzunluğu teorik olarak türetmenin bir yolu, yüzey geriliminin yerçekimini dengelediği noktada bir sıvı damlası hayal etmektir.

Yarıçapı olan küresel bir damlacık düşünelim ${displaystyle lambda _ {c}}$,

Karakteristik Laplace basıncı ${displaystyle P_ {gamma}}$yüzey gerilimi nedeniyle eşittir

${displaystyle P_ {gamma} = 2 {frac {gamma} {lambda _ {m {c}}}}}$,

nerede ${displaystyle gamma}$ yüzey gerilimidir. yerçekimine bağlı basınç (hidrostatik basınç) ${displaystyle P_ {m {h}}}$ bir sıvı sütununun

${displaystyle P_ {m {h}} = ho gh = 2ho glambda _ {m {c}}}$,

nerede ${displaystyle ho}$ damlacık yoğunluğu, ${displaystyle g}$ yerçekimi ivmesi ve ${displaystyle h = 2lambda _ {m {c}}}$ damlacığın yüksekliğidir.

Laplace basıncının yerçekimi nedeniyle basıncı dengelediği noktada ${displaystyle P_ {m {h}} = P_ {gamma}}$bunu elde ederiz

${displaystyle lambda _ {m {c}} = {sqrt {frac {gamma} {ho g}}}}$.

Eötvös numarasıyla ilişki

Yukarıdaki türetmeyi kullanabiliriz. Eötvös numarası, bir boyutsuz sıvının kaldırma kuvvetleri ile yüzey gerilimi arasındaki oranı temsil eden miktar. Tarafından tanıtılmasına rağmen Loránd Eötvös 1886'da, o zamandan beri onunla oldukça ayrışmış, yerini Wilfrid Noel Bond öyle ki son literatürde artık Bond numarası olarak anılmaktadır.

Bond numarası, karakteristik bir uzunluk içerecek şekilde yazılabilir - normalde bir sıvının eğrilik yarıçapı ve kılcal uzunluk^[7]

${displaystyle mathrm {Bo} = {frac {Delta ho, g, L ^ {2}} {gamma}}}$,

yukarıda tanımlanan parametrelerle ve ${displaystyle L}$ eğriliğin yarıçapı.

Bu nedenle bağ numarasını şu şekilde yazabiliriz:

${displaystyle mathrm {Bo} = sol ({frac {L} {lambda _ {m {c}}}} ight) ^ {2}}$,

ile ${displaystyle lambda _ {m {c}}}$ kılcal uzunluk.

Bağ numarası 1 olarak ayarlanmışsa, karakteristik uzunluk kılcal uzunluktur

Deneysel

Kılcal uzunluk, birçok farklı fiziksel fenomenin manipülasyonu yoluyla da bulunabilir. Bir yöntem odaklanmaktır kılcal etki Bu, sıvı yüzeyinin çevreleyen bir katıya çekilmesidir.^[8]

Jurin Yasası ile İlişki

Jurin yasası bir kılcal borudaki bir sıvının elde edebileceği maksimum yüksekliğin, borunun çapı ile ters orantılı olduğunu gösteren nicel bir yasadır. Bu yasa, kılcal bir tüpteki bir sıvının yüksekliğini ölçen geleneksel bir deney olan kılcal yükselme sırasında matematiksel olarak gösterilebilir. Bir sıvıya bir kılcal boru yerleştirildiğinde, basınçtaki dengesizlik nedeniyle sıvı tüp içinde yükselecek veya düşecektir. Karakteristik yükseklik, menisküsün altından tabana olan mesafedir ve Laplace basıncı ile yerçekimine bağlı basınç dengelendiğinde mevcuttur. Yüzey gerilimi ve yerçekiminin bir fonksiyonu olarak kılcal uzunluğu göstermek için yeniden düzenlenebilir.

${displaystyle lambda _ {m {c}} ^ {2} = {frac {hr} {2cos heta}}}$,

ile ${displaystyle h}$ sıvının yüksekliği, ${displaystyle r}$ kılcal borunun yarıçapı ve ${displaystyle heta}$ temas açısı.

Temas açısı, sıvı-katı arayüzü ile sıvı-buhar arayüzünün kesişmesiyle oluşan açı olarak tanımlanır.^[2] Açının boyutu, sıvının ıslanabilirliğini, yani sıvı ve katı yüzey arasındaki etkileşimi nicelendirir. Burada bir temas açısını ele alacağız ${displaystyle heta = 0}$, mükemmel ıslatma.

${displaystyle lambda _ {m {c}} ^ {2} = {frac {hr} {2}}}$.

Böylece ${displaystyle lambda _ {m {c}} ^ {2}}$ ile döngüsel 3 faktörlü bir denklem oluşturur ${displaystyle r, h}$.

Bu özellik genellikle fizikçiler tarafından bir sıvının belirli bir kılcal tüpte yükseleceği yüksekliği tahmin etmek için kullanılır, yarıçapı bilinen, deney yapmaya gerek kalmadan. Sıvının karakteristik yüksekliği kılcal uzunluktan yeterince az olduğunda, hidrostatik basıncın yerçekimine bağlı etkisi ihmal edilebilir.^[9]

Aynı kılcal yükselme öncüllerini kullanarak, kılcal uzunluk, hacim artışının ve kılcal çeperlerin ıslatma çevresinin bir fonksiyonu olarak bulunabilir.^[10]

Sabit bir damlacık ile ilişkilendirme

Kılcal uzunluğu bulmanın başka bir yolu, bir sapsız damlacık, her nokta bir eğrilik yarıçapına sahip olacak şekilde ve bunları Laplace basınç denklemine eşitleyin. Bu sefer eşitlik yine kılcal uzunluğu vermek için kullanılabilecek menisküs seviyesinin yüksekliği için çözülür.

Sabit damlacığın şekli, yarıçapın kılcal uzunluktan daha büyük veya daha küçük olup olmadığı ile doğru orantılıdır. Mikro damlalar, yarıçapı kılcal uzunluktan daha küçük olan damlalardır ve şekilleri yalnızca yüzey gerilimi ile belirlenir ve küresel bir başlık şekli oluşturur. Bir damlacık, kılcal uzunluktan daha büyük bir yarıçapa sahipse, bunlar makro damlalar olarak bilinirler ve yerçekimi kuvvetleri hakim olur. Makro damlalar yerçekimi ile 'düzleşecek' ve damlacığın yüksekliği azalacaktır.^[11]

Bir damlacık yarıçapına göre kılcal uzunluk

Tarih

Kılcallık araştırmaları bugüne kadar uzanmaktadır. Leonardo da Vinci ancak kılcal uzunluk fikri çok sonrasına kadar geliştirilmemiştir. Temelde kılcal uzunluk, aşağıdaki çalışmaların bir ürünüdür: Thomas Young ve Pierre Laplace. Her ikisi de yüzey geriliminin parçacıklar arasındaki kohezif kuvvetlerden kaynaklandığını ve bir sıvının yüzeyinin şeklinin bu kuvvetlerin kısa aralığını yansıttığını takdir etti. 19. yüzyılın başında bağımsız olarak basınç denklemler, ancak gösterim ve sunum nedeniyle, Laplace genellikle krediyi alır. Denklem, iki statik sıvı arasındaki eğimli bir yüzeydeki basıncın her zaman eğimli bir yüzeyin dışındakinden daha büyük olduğunu, ancak yarıçap sonsuza yaklaştıkça basıncın sıfıra düşeceğini gösterdi. Kuvvet yüzeye dik olduğundan ve eğriliğin merkezine doğru hareket ettiğinden, yüzey içbükey olduğunda bir sıvı yükselecek ve dışbükeyken bastıracaktır.^[12] Bu, yayınladığı çalışmanın matematiksel bir açıklamasıydı. James Jurin 1719'da,^[13] kılcal bir tüpteki bir sıvının aldığı maksimum yükseklik ile çapı arasındaki ilişkiyi ölçtüğü yerde - Jurin Yasası.^[10] Kılcal uzunluk, yerçekimine bağlı basıncı dengelediği noktada Laplace basınç denkleminin kullanımından gelişmiştir ve bazen denir Laplace kılcal sabiti, 1806'da Laplace tarafından tanıtıldıktan sonra.^[14]

Doğada

Kabarcıklar

Sabun kabarcıklarının boyutu kılcal uzunluk ile sınırlıdır

Bir damla gibi baloncuklar yuvarlaktır çünkü kohezif kuvvetler moleküllerini mümkün olan en sıkı gruplamaya, bir küreye çeker. Kabarcığın içindeki hapsolmuş hava nedeniyle, yüzey alanının sıfıra inmesi imkansızdır, bu nedenle kabarcık içindeki basınç dışarıdan daha büyüktür, çünkü basınçlar eşit olsaydı, o zaman kabarcık basitçe çökerdi.^[15] Bu basınç farkı Laplace'ın basınç denkleminden hesaplanabilir,

${displaystyle Delta P = {frac {2gamma} {R}}}$.

Bir sabun köpüğü için, iç ve dış olmak üzere iki sınır yüzeyi vardır ve bu nedenle aşırı basınca iki katkı ve Laplace'ın formülü iki katına çıkar.

${displaystyle Delta P = {frac {4gamma} {R}}}$.^[16]

Kılcal uzunluk daha sonra aynı şekilde işlenebilir, ancak filmin kalınlığı, ${displaystyle e_ {0}}$ Katı bir damlacığın aksine, kabarcığın içi boş bir merkeze sahip olduğu için dikkate alınmalıdır. Her iki tarafın da olduğu bir damlacık düşünmek yerine ${displaystyle lambda _ {c}}$ yukarıdaki türetmede olduğu gibi, bir balon için ${displaystyle m}$ şimdi

${displaystyle m = Delta ho R ^ {2} e_ {0}}$,

ile ${displaystyle R}$ ve ${displaystyle e_ {0}}$ sırasıyla balonun yarıçapı ve kalınlığı.

Yukarıdaki gibi, Laplace ve hidrostatik basınç eşitlenerek

${displaystyle R = {frac {gamma} {Delta ho ge_ {0}}} = {frac {lambda _ {m {c}} ^ {2}} {e_ {0}}}}$.

Bu nedenle kılcal uzunluk, bir sabun köpüğünün alabileceği maksimum boyutu belirleyen bir fizyokimyasal limite katkıda bulunur.^[5]

Ayrıca bakınız

• Kılcallık
• Yüzey gerilimi
• Basınç
• Tahvil numarası
• Jurin yasası
• Young-Laplace denklemi

Referanslar