O Kategorisi - Category O

İçinde temsil teorisi nın-nin yarıbasit Lie cebirleri, O Kategorisi (veya kategori ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ ) bir kategori kimin nesneler kesin temsiller bir yarı basit Lie cebiri ve morfizmler vardır homomorfizmler temsillerin.

Giriş

Varsayalım ki ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ bir (genellikle karmaşık ) yarıbasit Lie cebiri ile Cartan alt cebiri ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ , ${ displaystyle Phi}$ bir kök sistem ve ${ displaystyle Phi ^ {+}}$ bir sistemdir pozitif kökler. Gösteren ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { alpha}}$ kök boşluk bir köke karşılık gelen ${ displaystyle alpha in Phi}$ ve ${ displaystyle { mathfrak {n}}: = bigoplus _ { alpha in Phi ^ {+}} { mathfrak {g}} _ { alpha}}$ a üstelsıfır alt cebir.

Eğer ${ displaystyle M}$ bir ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modül ve ${ mathfrak {h}} ^ {*}} içinde { displaystyle lambda$ , sonra ${ displaystyle M _ { lambda}}$ ... ağırlık alanı

{ displaystyle M _ { lambda} = {v , M: forall h { mathfrak {h}} , , h cdot v = lambda (h) v }.}

O kategorisinin tanımı

Kategori nesneleri ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ vardır ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modüller ${ displaystyle M}$ öyle ki

${ displaystyle M}$ sonlu olarak üretilir
${ displaystyle M = bigoplus _ { lambda { mathfrak {h}} ^ {*}} M _ { lambda}} içinde$
${ displaystyle M}$ yerel olarak ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ -sonlu. Yani her biri için ${ displaystyle v M olarak}$ , ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ -modül tarafından oluşturulan ${ displaystyle v}$ sonlu boyutludur.

Bu kategorideki morfizmler, ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -bu modüllerin homomorfizmleri.

Temel özellikler

O kategorisindeki her modülün sonlu boyutlu ağırlık alanları.
O kategorisindeki her modül bir Noetherian modülü.
O bir değişmeli kategori
O var yeterli projektif ve Enjeksiyonlar.
O kapalı alt modüller, bölümler ve sonlu doğrudan toplamlar
O içindeki nesneler ${ displaystyle Z ({ mathfrak {g}})}$ -sonlu, yani eğer ${ displaystyle M}$ bir nesnedir ve ${ displaystyle v M olarak}$ , sonra alt uzay ${ displaystyle Z ({ mathfrak {g}}) v subseteq M}$ tarafından oluşturuldu ${ displaystyle v}$ eylemi altında merkez of evrensel zarflama cebiri, sonlu boyutludur.

Örnekler

Hepsi sonlu boyutlu ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modüller ve bunların ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -homomorfizmler O kategorisindedir.
Verma modülleri ve genelleştirilmiş Verma modülleri ve onların ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -homomorfizmler O kategorisindedir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Humphreys, James E. (2008), Yarıbasit Lie cebirlerinin BGG kategorisindeki O temsilleri (PDF), AMS, ISBN 978-0-8218-4678-0, dan arşivlendi orijinal (PDF) 2012-03-21 tarihinde