Merkezi ürün - Central product

İçinde matematik özellikle alanında grup teorisi, merkezi ürün üretmenin bir yolu grup iki küçük gruptan. Merkezi ürün şuna benzer: direkt ürün, ancak merkezi üründe iki izomorf merkezi alt gruplar daha küçük grupların% 50'si, ürünün tek bir merkezi alt grubunda birleştirilir. Merkezi ürünler önemli bir yapıdır ve örneğin sınıflandırmak için kullanılabilir özel olmayan gruplar.

Tanım

Merkezi ürünle ilgili birkaç ilişkili ancak farklı nosyon vardır. Benzer şekilde direkt ürün hem iç hem de dış karakterizasyonlar vardır ve ek olarak faktörlerin kesişme noktasının ne kadar sıkı kontrol edildiğine dair farklılıklar vardır.

Bir grup G bir dahili merkezi ürün iki alt grubun H, K eğer (1) G tarafından üretilir H ve K ve (2) her unsur H her unsuru ile gidip gelir K (Gorenstein 1980, s. 29). Bazen daha katı gereksinim H ∩ K tam olarak merkeze eşittir, empoze edilir (Leedham-Green ve McKay 2002, s. 32). Alt gruplar H ve K daha sonra merkezi faktörler olarak adlandırılır G.

harici merkezi ürün iki gruptan oluşturulmuştur H ve K, iki alt grup H₁ ≤ Z (H), K₁ ≤ Z (K) ve bir grup izomorfizmi θ:H₁ → K₁. Harici merkezi ürün, doğrudan ürünün bölümüdür H × K normal alt grup tarafından N = { ( h, k ) : h içinde H₁, k içinde K₁, ve θ(h)⋅k = 1 }, (Gorenstein 1980, s. 29). Bazen daha katı gereksinim H₁ = Z (H) ve K₁ = Z (K), (Leedham-Green ve McKay 2002, s. 32).

Dahili bir merkezi ürün, harici bir merkezi ürüne izomorfiktir. H₁ = K₁ = H ∩ K ve θ kimlik. Harici bir merkezi ürün, görüntülerin dahili bir merkezi ürünüdür. H × 1 ve 1 × K bölüm grubunda ${displaystyle (H imes K) / N}$. Bu, (Gorenstein 1980, s. 29) ve (Leedham-Green ve McKay 2002, s. 32–33).

Harici merkezi ürünün genel olarak faktörleri tarafından belirlenmediğini unutmayın. H ve K tek başına. Merkezi ürünün izomorfizm tipi, izomorfizme bağlı olacaktır. θ. Bununla birlikte, bazı önemli durumlarda iyi tanımlanmıştır, örneğin H ve K ikisi de sonlu ekstra özel gruplar ve ${displaystyle H_ {1} = Z (H)}$ ve ${displaystyle K_ {1} = Z (K)}$.

Örnekler

• Pauli grubu ana ürünüdür döngüsel grup ${displaystyle C_ {4}}$ ve dihedral grubu ${displaystyle D_ {4}}$.
• Her ekstra özel grup ekstra özel sipariş gruplarının merkezi bir ürünüdür p³.
• Sonlu bir grubun katmanı, yani herkes tarafından oluşturulan alt grup normal altı basit basit alt gruplar, Gorenstein anlamında basit basit grupların merkezi bir ürünüdür.

Başvurular

temsil teorisi merkezi ürünler doğrudan ürünlerin temsil teorisine çok benzer ve bu nedenle iyi anlaşılmıştır (Gorenstein 1980, Ch. 3.7).

Merkezi ürünler, (Gorenstein 1980, s. 350, Lemma 10.5.5) kullanılan George Glauberman Sonlu grupların bir Klein dört grubu sabit noktasız otomorfizmlerin çözülebilir.

Referanslar

• Gorenstein, Daniel (1980), Sonlu Gruplar, New York: Chelsea, ISBN  978-0-8284-0301-6, BAY  0569209
• Leedham-Green, C.R.; McKay Susan (2002), Asal güç düzeni gruplarının yapısı, London Mathematical Society Monographs. Yeni seri, 27, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853548-5, BAY  1918951