Sonlu grupların temsil teorisi - Representation theory of finite groups - Wikipedia

temsil teorisi nın-nin grupları grupların belirli yapılar üzerinde nasıl davrandığını inceleyen matematiğin bir parçasıdır.

Burada odak noktası özellikle grupların işlemleri açık vektör uzayları. Bununla birlikte, diğer gruplara veya setleri ayrıca kabul edilir. Daha fazla ayrıntı için lütfen şu bölüme bakın: permütasyon temsilleri.

Birkaç belirgin istisna dışında, bu makalede yalnızca sonlu gruplar ele alınacaktır. Ayrıca kendimizi vektör uzaylarıyla sınırlayacağız. alanlar nın-nin karakteristik sıfır. Çünkü teorisi cebirsel olarak kapalı alanlar Karakteristik sıfırın tamamlanması, karakteristik sıfırın cebirsel olarak kapalı özel bir alanı için geçerli bir teori, karakteristik sıfırın cebirsel olarak kapalı her diğer alanı için de geçerlidir. Böylece, genelliği kaybetmeden vektör uzaylarını inceleyebiliriz.

Temsil teorisi, matematiğin birçok bölümünde olduğu kadar kuantum kimyası ve fiziğinde de kullanılmaktadır. Diğer şeylerin yanı sıra, cebir grupların yapısını incelemek. Ayrıca uygulamalar da var harmonik analiz ve sayı teorisi. Örneğin, temsil teorisi, modern yaklaşımda otomorfik formlar hakkında yeni sonuçlar elde etmek için kullanılır.

Tanım

Doğrusal gösterimler

İzin Vermek olmak –Vektör alanı ve sonlu bir grup. Bir doğrusal gösterim sonlu bir grubun bir grup homomorfizmi Buraya bir için gösterimdir genel doğrusal grup, ve bir ... için otomorfizm grubu. Bu, doğrusal bir temsilin bir harita olduğu anlamına gelir hangisini tatmin eder hepsi için Vektör uzayı temsil alanı denir Genellikle terim temsili temsil alanı için de kullanılır

Bir grubun bir içindeki temsili modül Bir vektör uzayı yerine doğrusal gösterim de denir.

Biz yazarız temsil için nın-nin Bazen notasyonu kullanırız mekanın hangi temsili olduğu açıksa aittir.

Bu yazıda, son bölüm haricinde, sonlu boyutlu temsil uzayları çalışmayla sınırlı kalacağız. Çoğu durumda olduğu gibi, yalnızca sınırlı sayıda vektör ilgi çekici, incelemek yeterlidir alt temsil bu vektörler tarafından oluşturulur. Bu alt temsilin temsil uzayı daha sonra sonlu boyutludur.

derece bir temsilin boyut temsil alanı Gösterim bazen bir temsilin derecesini belirtmek için kullanılır

Örnekler

önemsiz temsil tarafından verilir hepsi için

Derecenin temsili bir grubun çarpımsal bir homomorfizmdir grup Her unsuru gibi sonlu mertebeden, değerleri vardır birliğin kökleri. Örneğin, izin ver önemsiz bir doğrusal gösterim olabilir. Dan beri bir grup homomorfizmidir, tatmin etmesi gerekir Çünkü üretir değeriyle belirlenir Ve benzeri önemsiz Böylece, imajının olduğu sonuca ulaşıyoruz. altında birliğin dördüncü köklerinden oluşan grubun önemsiz olmayan bir alt grubu olmalıdır. Diğer bir deyişle, aşağıdaki üç haritadan biri olmalıdır:

İzin Vermek ve izin ver aşağıdakiler tarafından tanımlanan grup homomorfizmi olabilir:

Bu durumda doğrusal bir temsilidir derece

Permütasyon gösterimi

İzin Vermek sonlu bir küme olun ve izin verin hareket eden bir grup olmak Gösteren üzerindeki tüm permütasyonların grubu grup çarpımı olarak kompozisyon ile.

Sonlu bir küme üzerinde hareket eden bir grup, permütasyon temsilinin tanımı için bazen yeterli kabul edilir. Bununla birlikte, lineer temsiller için örnekler oluşturmak istediğimizden - grupların rastgele sonlu kümeler yerine vektör uzayları üzerinde hareket ettiği - farklı bir şekilde ilerlemeliyiz. Permütasyon temsilini oluşturmak için bir vektör uzayına ihtiyacımız var ile Temeli öğeleri tarafından indekslenebilir Permütasyon temsili grup homomorfizmidir veren hepsi için Tüm doğrusal haritalar bu özellik tarafından benzersiz bir şekilde tanımlanır.

Misal. İzin Vermek ve Sonra Üzerinde davranır üzerinden İlişkili doğrusal temsil ile için

Sol ve sağ düzenli temsil

İzin Vermek grup ol ve boyutun vektör uzayı olmak temelli öğeleri tarafından indekslenmiş düzenli sol temsil özel bir durumdur permütasyon temsili seçerek Bu şu anlama gelir hepsi için Böylece aile resimlerinin temeli Sol düzenli temsilin derecesi, grubun sırasına eşittir.

sağ-düzenli temsil benzer bir homomorfizm ile aynı vektör uzayında tanımlanır: Eskisi gibi temelidir Sol-düzenli temsil durumunda olduğu gibi, sağ-düzenli temsilin derecesi, sırasına eşittir.

Her iki temsil izomorf üzerinden Bu nedenle, her zaman ayrı tutulmazlar ve genellikle "düzenli temsil" olarak anılırlar.

Daha yakından bakıldığında aşağıdaki sonuç elde edilir: Belirli bir doğrusal gösterim dır-dir izomorf soldaki normal gösterime ancak ve ancak bir öyle ki temelidir

Misal. İzin Vermek ve temelde Sonra normal sol temsil tarafından tanımlanır için Sağ-düzenli gösterim benzer şekilde tanımlanır: için

Temsiller, modüller ve evrişim cebiri

İzin Vermek sonlu bir grup olalım değişmeli olmak yüzük ve izin ver ol grup cebiri nın-nin bitmiş Bu cebir ücretsizdir ve bir temel aşağıdaki unsurlar tarafından indekslenebilir: Çoğu zaman temel şu şekilde tanımlanır: . Her öğe daha sonra benzersiz bir şekilde ifade edilebilir

ile .

Çarpma bunu içeriye genişletir dağıtarak.

Şimdi izin ver olmak modül ve izin ver doğrusal bir temsili olmak içinde Biz tanımlıyoruz hepsi için ve . Doğrusal uzantı ile bir sol yapısına sahiptir.–Modül. Bunun tersi, doğrusal bir temsilini elde ederiz bir –Modül . Ek olarak, temsillerin homomorfizmleri, grup cebir homomorfizmleri ile önyargılı yazışmalar içindedir. Bu nedenle, bu terimler birbirinin yerine kullanılabilir.[1][2] Bu bir örnek kategorilerin izomorfizmi.

Varsayalım Bu durumda sol –Modül tarafından verilen kendisi sol düzenli gösterime karşılık gelir. Aynı şekilde bir hak olarak –Modül, sağdaki düzenli gösterime karşılık gelir.

Aşağıda tanımlayacağız evrişim cebiri: İzin Vermek grup ol, set bir –İşlemlerin toplanması ve skaler çarpım ile vektör uzayı, bu vektör uzayı izomorfiktir. İki elementin evrişimi tarafından tanımlandı

yapar bir cebir. Cebir denir evrişim cebiri.

Evrişim cebiri ücretsizdir ve grup elemanlarına göre indekslenmiş bir temele sahiptir: nerede

Elde ettiğimiz evrişimin özelliklerini kullanarak:

Arasında bir harita tanımlıyoruz ve tanımlayarak temelinde ve onu doğrusal olarak genişletiyor. Açıkçası önceki harita önyargılı. Yukarıdaki denklemde gösterildiği gibi iki temel öğenin evrişimine daha yakından bakıldığında, çarpımın buna karşılık gelir Böylece, evrişim cebiri ve grup cebiri, cebirler gibi izomorfiktir.

evrim

döner içine -cebir. Sahibiz

Bir temsilcilik bir grubun bir Cebir homomorfizmi tarafından Çokluk cebir homomorfizmlerinin karakteristik bir özelliği olduğundan, tatmin eder Eğer üniterdir, biz de elde ederiz Üniter temsilin tanımı için lütfen şu bölüme bakın: özellikleri. Bu bölümde (genelliği yitirmeden) her doğrusal temsilin üniter olduğu varsayılabileceğini göreceğiz.

Evrişim cebirini kullanarak bir Fourier dönüşümü bir grupta Alanında harmonik analiz Aşağıdaki tanımın Fourier dönüşümünün tanımı ile tutarlı olduğu gösterilmiştir.

İzin Vermek temsil olun ve izin verin olmak değerli fonksiyon açık . Fourier dönüşümü nın-nin olarak tanımlanır

Bu dönüşüm tatmin ediyor

Temsiller arasındaki haritalar

İki temsil arasında bir harita aynı grubun doğrusal bir haritadır özelliği ile herkes için geçerli Başka bir deyişle, aşağıdaki diyagram herkes için işe gidip gelir :

Eşdeğer map.svg

Böyle bir haritaya da denir -doğrusalveya bir eşdeğer harita. çekirdek, görüntü ve kokernel nın-nin varsayılan olarak tanımlanır. Eşdeğer haritaların bileşimi yine eşdeğer bir haritadır. Var temsiller kategorisi eşdeğer haritalarla morfizmler. Yine –Modüller. Böylece, temsillerini sağlarlar önceki bölümde açıklanan korelasyon nedeniyle.

İndirgenemez temsiller ve Schur'un lemması

İzin Vermek doğrusal bir temsili olmak İzin Vermek olmak -in değişken alt uzayı yani, hepsi için ve . Kısıtlama bir izomorfizmdir kendi üzerine. Çünkü herkes için geçerli bu yapı bir temsilidir içinde Denir alt temsil nın-nin Herhangi bir temsil V en az iki alt temsile sahiptir, biri yalnızca 0'dan oluşan ve biri V kendisi. Temsile bir indirgenemez temsil, eğer bu ikisi tek alt temsil ise. Bazı yazarlar, tam olarak basit modüller grup cebiri üzerinden .

Schur lemması indirgenemez gösterimler arasındaki haritalara güçlü bir sınırlama koyar. Eğer ve her ikisi de indirgenemez ve doğrusal bir haritadır öyle ki hepsi için , aşağıdaki ikilik vardır:

  • Eğer ve bir homotelik (yani için ). Daha genel olarak, eğer ve izomorfiktir, uzayı G-doğrusal haritalar tek boyutludur.
  • Aksi takdirde, iki gösterim izomorfik değilse, F 0 olmalıdır.

[3]

Özellikleri

İki temsil arandı eşdeğer veya izomorfeğer varsa – Temsil uzayları arasında doğrusal vektör uzayı izomorfizmi. Başka bir deyişle, eğer bijektif doğrusal bir harita varsa bunlar izomorfiktir. öyle ki hepsi için Özellikle, eşdeğer temsiller aynı dereceye sahiptir.

Bir temsilcilik denir sadık ne zaman dır-dir enjekte edici. Bu durumda arasında bir izomorfizma neden olur ve görüntü İkincisi bir alt grup olduğu için dikkate alabiliriz üzerinden alt grubu olarak

Alanın yanı sıra aralığı da sınırlayabiliriz:

İzin Vermek alt grubu olmak İzin Vermek doğrusal bir temsili olmak İle belirtiyoruz kısıtlama alt gruba

Karışıklık tehlikesi yoksa, sadece kullanabiliriz veya kısaca

Gösterim veya kısaca temsilin kısıtlanmasını belirtmek için de kullanılır nın-nin üstüne

İzin Vermek bir işlev olmak Biz yazarız veya kısaca alt gruba kısıtlama için

Bir grubun indirgenemez temsillerinin sayısının (veya buna uygun olarak basit –Modüller) sayısına eşittir eşlenik sınıfları nın-nin

Bir temsil denir yarı basit veya tamamen indirgenebilir olarak yazılabilirse doğrudan toplam indirgenemez temsiller. Bu, yarı basit bir cebir için karşılık gelen tanıma benzer.

Doğrudan temsillerin toplamının tanımı için lütfen şu bölüme bakın: doğrudan temsil toplamları.

Bir temsil denir izotipik ikili izomorfik indirgenemez temsillerin doğrudan toplamı ise.

İzin Vermek bir grubun belirli bir temsili olmak İzin Vermek indirgenemez bir temsili olmak izotip nın-nin indirgenemez tüm alt temsillerinin toplamı olarak tanımlanır izomorfik

Her vektör uzayında bir ile sağlanabilir iç ürün. Bir temsilcilik bir grubun bir iç çarpım ile donatılmış bir vektör uzayında üniter Eğer dır-dir üniter her biri için Bu, özellikle her birinin dır-dir köşegenleştirilebilir. Daha fazla ayrıntı için şu makaleye bakın: üniter temsiller.

Bir temsil, belirli bir iç ürüne göre üniterdir, ancak ve ancak iç ürün, indüklenen işlem ile ilgili olarak değişmez ise yani eğer ve sadece herkes için geçerli

Belirli bir iç çarpım değişerek değişmez bir iç ürün ile değiştirilebilir ile

Böylece, genelliği kaybetmeden, daha fazla düşünülen her temsilin üniter olduğunu varsayabiliriz.

Misal. İzin Vermek ol dihedral grubu nın-nin sipariş tarafından oluşturuldu özellikleri yerine getiren ve İzin Vermek doğrusal bir temsili olmak jeneratörlerde şu şekilde tanımlanmıştır:

Bu temsil sadıktır. Alt uzay bir –Değişmeyen alt uzay. Böylece, önemsiz olmayan bir alt temsil var ile Bu nedenle, temsil indirgenemez değildir. Bahsedilen alt temsil birinci derecededir ve indirgenemez. tamamlayıcı alt uzay nın-nin dır-dir – Değişmez de. Bu nedenle, alt beyanı alıyoruz ile

Bu alt temsil de indirgenemez. Bu, orijinal temsilin tamamen indirgenebilir olduğu anlamına gelir:

Her iki alt temsil de izotipiktir ve sıfır olmayan yalnızca iki izotipidir.

Sunum standart iç ürüne göre üniterdir. Çünkü ve üniterdir.

İzin Vermek herhangi bir vektör uzayı izomorfizmi olabilir. Sonra denklem ile tanımlanan hepsi için izomorfik bir temsildir

Temsilin alanını bir alt grupla sınırlayarak, ör. temsili alıyoruz Bu temsil, görüntü tarafından tanımlanır açık formu yukarıda gösterilen.

İnşaatlar

İkili temsil

İzin Vermek belirli bir temsil olun. ikili temsil veya aykırı temsil bir temsilidir içinde ikili vektör uzayı nın-nin Mülk tarafından tanımlanır

Doğal eşleştirme ile ilgili olarak arasında ve yukarıdaki tanım denklemi sağlar:

Bir örnek için, bu konuyla ilgili ana sayfaya bakın: İkili temsil.

Doğrudan temsillerin toplamı

İzin Vermek ve temsili olmak ve sırasıyla. Bu temsillerin doğrudan toplamı doğrusal bir temsildir ve şu şekilde tanımlanır:

İzin Vermek aynı grubun temsili olmak Basitlik uğruna, bu temsillerin doğrudan toplamı bir temsili olarak tanımlanır yani şu şekilde verilir görüntüleyerek çapraz alt grubu olarak

Misal. Let (burada ve sırasıyla hayali birim ve birliğin ilkel küp köküdür):

Sonra

Oluşturan elemanın imajını dikkate almak yeterli olduğundan, şunu buluyoruz:

Temsillerin tensör çarpımı

İzin Vermek doğrusal temsiller olabilir. Doğrusal gösterimi tanımlıyoruz içine tensör ürünü nın-nin ve tarafından içinde Bu temsile denir dış tensör ürünü temsillerin ve Varoluş ve benzersizlik, tensör ürününün özellikleri.

Misal. Sağlanan örneği yeniden inceliyoruz doğrudan toplam:

Dış tensör ürünü

Standart temeli kullanarak üreten eleman için aşağıdakilere sahibiz:

Açıklama. Unutmayın ki doğrudan toplam ve tensör ürünleri farklı derecelere sahiptir ve dolayısıyla farklı temsillerdir.

İzin Vermek aynı grubun iki doğrusal temsili olabilir. İzin Vermek unsuru olmak Sonra tarafından tanımlanır için ve yazarız Sonra harita doğrusal bir temsilini tanımlar aynı zamanda tensör ürünü verilen temsillerin.

Bu iki durumun kesin olarak ayırt edilmesi gerekir. İlk durum, grup çarpımının karşılık gelen temsil uzaylarının tensör çarpımına bir temsilidir. İkinci durum, grubun temsilidir bu tek grubun iki temsil uzayının tensör çarpımına. Ancak bu son durum, diyagonal alt gruba odaklanarak birincisinin özel bir durumu olarak görülebilir. Bu tanım, sınırlı sayıda yinelenebilir.

İzin Vermek ve grubun temsili olmak Sonra aşağıdaki kimlikle bir temsildir: . İzin Vermek ve izin ver temsili olmak İzin Vermek temsili olmak ve temsil Sonra yukarıdaki kimlik şu sonuca götürür:

hepsi için
Teorem. İndirgenemez temsilleri izomorfizme kadar tam olarak temsiller içinde ve indirgenemez temsilleridir ve sırasıyla.

Simetrik ve değişen kare

İzin Vermek doğrusal bir temsili olmak İzin Vermek temeli olmak Tanımlamak genişleyerek doğrusal olarak. Daha sonra bunu tutar ve bu nedenle bölünür içinde

Bu alt uzaylar –Değişiktir ve bununla, simetrik kare ve alternatif kare, sırasıyla. Bu alt temsiller ayrıca şurada tanımlanmıştır: bu durumda kama ürünü olarak adlandırılsalar da ve simetrik ürün Durumunda vektör uzayı genel olarak bu iki ürünün doğrudan toplamına eşit değildir.

Ayrışmalar

Temsilleri daha kolay anlamak için, temsil uzayının daha basit alt temsillerin doğrudan toplamına ayrıştırılması arzu edilir. Bu, aşağıdaki sonuçlarda göreceğimiz gibi sonlu gruplar için başarılabilir. Daha ayrıntılı açıklamalar ve kanıtlar şurada bulunabilir: [1] ve [2].

Teorem. (Maschke ) İzin Vermek doğrusal bir gösterim olabilir karakteristik sıfır alan üzerinde bir vektör uzayıdır. İzin Vermek olmak -in değişken alt uzayı Sonra tamamlayıcı nın-nin var ve bir -değişmeyen.

Bir alt temsil ve onun tamamlayıcısı, bir gösterimi benzersiz şekilde belirler.

Aşağıdaki teorem, temsilleri hakkında çok güzel bir sonuç sağladığı için daha genel bir şekilde sunulacaktır. kompakt - ve dolayısıyla sonlu - gruplar:

Teorem. Bir kompakt grubun karakteristik sıfır alanı üzerindeki her doğrusal temsili, indirgenemez temsillerin doğrudan toplamıdır.

Veya dilinde -modüller: If grup cebiri yarı basittir, yani basit cebirlerin doğrudan toplamıdır.

Bu ayrıştırmanın benzersiz olmadığını unutmayın. Bununla birlikte, bu ayrıştırmada belirli bir indirgenemez gösterime izomorfik bir alt temsilin kaç kez meydana geldiği, ayrıştırma seçiminden bağımsızdır.

Kanonik ayrışma

Benzersiz bir ayrıştırma elde etmek için, birbiriyle izomorfik olan tüm indirgenemez alt temsillerin birleştirilmesi gerekir. Bu, temsil alanının, izotiplerinin doğrudan bir toplamına ayrıştırıldığı anlamına gelir. Bu ayrışma benzersiz bir şekilde belirlenir. Denir kanonik ayrıştırma.

İzin Vermek bir grubun indirgenemez tüm temsillerinin kümesi olun izomorfizme kadar. İzin Vermek temsili olmak ve izin ver tüm izotiplerin kümesi olmak projeksiyon kanonik ayrışmaya karşılık gelen

nerede ve ait olan karakter

Aşağıda, izotipin önemsiz gösterime nasıl belirleneceğini gösteriyoruz:

Tanım (Projeksiyon formülü). Her temsil için bir grubun biz tanımlarız

Genel olarak, değil -doğrusal. Biz tanımlıyoruz

Sonra bir -doğrusal harita, çünkü

Önerme. Harita bir projeksiyon itibaren -e

Bu önerme, belirli bir temsilin önemsiz alt temsilinin izotipini açıkça belirlememizi sağlar.

How often the trivial representation occurs in tarafından verilir This result is a consequence of the fact that the eigenvalues of a projeksiyon are only veya and that the eigenspace corresponding to the eigenvalue is the image of the projection. Since the trace of the projection is the sum of all eigenvalues, we obtain the following result

içinde denotes the isotype of the trivial representation.

İzin Vermek be a nontrivial irreducible representation of Then the isotype to the trivial representation of is the null space. That means the following equation holds

İzin Vermek fasulye ortonormal taban nın-nin Then we have:

Therefore, the following is valid for a nontrivial irreducible representation :

Misal. İzin Vermek be the permutation groups in three elements. İzin Vermek be a linear representation of defined on the generating elements as follows:

This representation can be decomposed on first look into the left-regular representation of which is denoted by in the following, and the representation ile

With the help of the irreducibility criterion taken from the next chapter, we could realize that is irreducible but değil. This is because (in terms of the inner product from ”Inner product and characters” below) we have

The subspace nın-nin is invariant with respect to the left-regular representation. Restricted to this subspace we obtain the trivial representation.

The orthogonal complement of dır-dir Restricted to this subspace, which is also –invariant as we have seen above, we obtain the representation veren

Again, we can use the irreducibility criterion of the next chapter to prove that is irreducible. Şimdi, ve are isomorphic because hepsi için içinde is given by the matrix

A decomposition of in irreducible subrepresentations is: nerede denotes the trivial representation and

is the corresponding decomposition of the representation space.

We obtain the canonical decomposition by combining all the isomorphic irreducible subrepresentations: ... -isotype of and consequently the canonical decomposition is given by

The theorems above are in general not valid for infinite groups. This will be demonstrated by the following example: let

Together with the matrix multiplication is an infinite group. acts on by matrix-vector multiplication. We consider the representation hepsi için The subspace bir -invariant subspace. However, there exists no -invariant complement to this subspace. The assumption that such a complement exists would entail that every matrix is diagonalizable bitmiş This is known to be wrong and thus yields a contradiction.

The moral of the story is that if we consider infinite groups, it is possible that a representation - even one that is not irreducible - can not be decomposed into a direct sum of irreducible subrepresentations.

Karakter teorisi

Tanımlar

karakter of a representation is defined as the map

içinde gösterir iz of the linear map [4]

Even though the character is a map between two groups, it is not in general a group homomorphism, as the following example shows.

İzin Vermek be the representation defined by:

Karakter tarafından verilir

Characters of permutation representations are particularly easy to compute. Eğer V ... G-representation corresponding to the left action of on a finite set , sonra

Örneğin,[5] the character of the regular representation tarafından verilir

nerede denotes the neutral element of

Özellikleri

A crucial property of characters is the formula

This formula follows from the fact that the iz of a product AB of two square matrices is the same as the trace of BA. Fonksiyonlar satisfying such a formula are called class functions. Put differently, class functions and in particular characters are constant on each conjugacy class It also follows from elementary properties of the trace that is the sum of the özdeğerler nın-nin with multiplicity. If the degree of the representation is n, then the sum is n uzun. Eğer s has order m, these eigenvalues are all m-th roots of unity. This fact can be used to show that and it also implies

Since the trace of the identity matrix is the number of rows, nerede is the neutral element of ve n is the dimension of the representation. Genel olarak, bir normal subgroup içinde The following table shows how the characters of two given representations give rise to characters of related representations.

Characters of several standard constructions
RepresentationKarakter
dual representation
doğrudan toplam
tensor product of the representations

symmetric square
alternating square

By construction, there is a direct sum decomposition of . On characters, this corresponds to the fact that the sum of the last two expressions in the table is , the character of .

Inner product and characters

In order to show some particularly interesting results about characters, it is rewarding to consider a more general type of functions on groups:

Definition (Class functions). A function denir sınıf işlevi eşlenik sınıflarında sabitse yani

Bir matrisin izi eşlenik altında korunduğu için her karakterin bir sınıf işlevi olduğuna dikkat edin.

Tüm sınıf işlevlerinin kümesi bir -Algebra ve ile gösterilir . Boyutu, eşlenik sınıflarının sayısına eşittir.

Bu bölümün aşağıdaki sonuçlarının kanıtları şurada bulunabilir: [1], [2] ve [3].

Bir iç ürün sonlu bir gruptaki tüm sınıf fonksiyonları kümesi üzerinde tanımlanabilir:

Ortonormal özellik. Eğer farklı indirgenemez karakterleridir , yukarıda tanımlanan iç çarpıma göre tüm sınıf fonksiyonlarının vektör uzayı için ortonormal bir temel oluştururlar, yani.

  • Her sınıf işlevi indirgenemez karakterlerin benzersiz bir doğrusal kombinasyonu olarak ifade edilebilir .

İndirgenemez karakterlerin oluşturduğu doğrulanabilir indirgenemez tüm karakterlere ortogonal olan sıfırdan farklı bir sınıf işlevi olmadığını göstererek. İçin bir temsil ve bir sınıf işlevi, ifade Bundan dolayı indirgenemez, biz var itibaren Schur lemması. Varsayalım tüm karakterlere ortogonal olan bir sınıf işlevidir. Sonra yukarıdakilere sahibiz her ne zaman indirgenemez. Ama sonra bunu takip ediyor hepsi için , ayrıştırılabilirlik ile. Al düzenli temsil olmak. Uygulanıyor belirli bir temel öğeye , anlıyoruz . Bu herkes için doğru olduğu için , sahibiz

Ortonormal özellikten, bir grubun izomorfik olmayan indirgenemez temsillerinin sayısının sayısına eşittir eşlenik sınıfları nın-nin

Ayrıca, bir sınıf işlevi bir karakterdir ancak ve ancak indirgenemez farklı karakterlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak yazılabiliyorsa negatif olmayan tamsayı katsayıları ile: eğer bir sınıf işlevidir öyle ki nerede negatif olmayan tam sayılar, o zaman doğrudan toplamın karakteridir temsillerin karşılık gelen Tersine, herhangi bir karakteri indirgenemez karakterlerin toplamı olarak yazmak her zaman mümkündür.

iç ürün yukarıda tanımlanan tüm set üzerine genişletilebilir değerli fonksiyonlar sonlu bir grupta:

Bir simetrik çift doğrusal form ayrıca tanımlanabilir

Bu iki biçim, karakter kümesiyle eşleşir. Karışıklık tehlikesi yoksa her iki formun indeksi ve ihmal edilecek.

İzin Vermek iki olmak –Modüller. Bunu not et –Modüller basitçe . Ortonormal özellik, indirgenemez temsillerinin sayısını verdiğinden tam olarak eşlenik sınıflarının sayısı, o zaman tam olarak o kadar basit –Modüller (izomorfizmaya kadar) eşlenik sınıfları olduğu için

Biz tanımlıyoruz içinde hepsinin vektör uzayı –Doğrusal haritalar. Bu form, doğrudan toplama göre iki doğrusaldır.

Aşağıda, bu çift doğrusal formlar, temsillerin ayrıştırılması ve indirgenemezliği açısından bazı önemli sonuçlar elde etmemizi sağlayacaktır.

Örneğin, izin ver ve karakterleri olmak ve sırasıyla. Sonra

Aşağıdaki teoremi, Schur'un lemması ve temsillerin tam indirgenebilirliği ile birlikte yukarıdaki sonuçlardan türetmek mümkündür.

Teorem. İzin Vermek doğrusal bir temsili olmak karakterle İzin Vermek nerede indirgenemez. İzin Vermek indirgenemez bir temsili olmak karakterle Ardından alt temsillerin sayısı izomorfik olan verilen ayrışmadan bağımsızdır ve iç çarpıma eşittir yani –İzotip nın-nin ayrıştırma seçiminden bağımsızdır. Ayrıca şunları da elde ederiz:
ve böylece
Sonuç. Aynı karaktere sahip iki temsil izomorfiktir. Bu, her temsilin karakterine göre belirlendiği anlamına gelir.

Bununla, temsilleri analiz etmek için çok faydalı bir sonuç elde ediyoruz:

İndirgenemezlik kriteri. İzin Vermek temsilin karakteri ol o zaman bizde var Dava sadece ve ancak indirgenemez.

Bu nedenle, ilk teoremi kullanarak, indirgenemez temsillerinin karakterleri erkek için ortonormal küme açık bu iç ürüne göre.

Sonuç. İzin Vermek ile vektör uzayı olmak Belirli bir indirgenemez temsil nın-nin içerilir - zamanlar düzenli temsil. Başka bir deyişle, eğer normal temsilini gösterir o zaman bizde: içinde indirgenemez tüm temsillerinin kümesidir çiftler halinde birbirlerine izomorfik değildirler.

Grup cebiri açısından bu şu anlama gelir: cebir olarak.

Sayısal bir sonuç olarak şunu elde ederiz:

içinde normal temsildir ve ve karşılık gelen karakterler ve sırasıyla. Hatırlamak grubun nötr unsurunu ifade eder.

Bu formül, bir grubun indirgenemez temsillerinin izomorfizme kadar sınıflandırılması problemi için "gerekli ve yeterli" bir koşuldur. Bir grubun indirgenemez temsillerinin tüm izomorfizm sınıflarını bulup bulmadığımızı kontrol etmemizi sağlar.

Benzer şekilde, normal temsilin karakterini kullanarak değerlendirilir. denklemi alıyoruz:

Evrişim cebiri yoluyla temsillerin açıklamasını kullanarak, bu denklemlerin eşdeğer bir formülasyonunu elde ederiz:

Fourier ters çevirme formülü:

ek olarak Plancherel formülü tutar:

Her iki formülde de bir grubun doğrusal bir temsilidir ve

Yukarıdaki sonucun ek bir sonucu vardır:

Lemma. İzin Vermek grup olun. O zaman aşağıdaki eşdeğerdir:
  • dır-dir değişmeli.
  • Her işlev açık bir sınıf işlevidir.
  • Tüm indirgenemez temsiller derecesi var

Uyarılmış temsil

Bölümünde gösterildiği gibi doğrusal temsillerin özellikleri, - kısıtlama yoluyla - bir grubun temsilinden başlayarak bir alt grubun temsilini elde edebiliriz. Doğal olarak ters süreçle ilgileniyoruz: Bir alt grubun temsilinden başlayarak bir grubun temsilini elde etmek mümkün müdür? Aşağıda tanımlanan uyarılmış temsilin bize gerekli konsepti sağladığını göreceğiz. Kuşkusuz, bu yapı ters değil, daha çok kısıtlamaya bağlıdır.

Tanımlar

İzin Vermek doğrusal bir temsili olmak İzin Vermek alt grup olmak ve kısıtlama. İzin Vermek alt temsilcisi olmak Biz yazarız bu temsili belirtmek için. İzin Vermek Vektör uzayı sadece bağlıdır sol coset nın-nin İzin Vermek olmak temsili sistem nın-nin sonra

alt temsilidir

Bir temsilcilik nın-nin içinde denir indüklenmiş temsil tarafından nın-nin içinde Eğer

Buraya temsili bir sistemi gösterir ve hepsi için ve herkes için Başka bir deyişle: temsil tarafından indüklenir eğer her biri benzersiz bir şekilde yazılabilir

nerede her biri için

Temsili gösteririz nın-nin temsil tarafından indüklenen nın-nin gibi veya kısaca karışıklık tehlikesi yoksa. Temsil alanı, genellikle temsil haritası yerine kullanılır, örn. veya temsil ise tarafından indüklenir

İndüklenmiş temsilin alternatif açıklaması

Kullanarak grup cebiri indüklenen temsilin alternatif bir tanımını elde ederiz:

İzin Vermek grup ol a –Modül ve a –Submodülü alt gruba karşılık gelen nın-nin Biz söylüyoruz tarafından indüklenir Eğer içinde ilk faktöre göre etki eder: hepsi için

Özellikleri

Bu bölümde sunulan sonuçlar kanıt olmadan sunulacaktır. Bunlar şurada bulunabilir: [1] ve [2].

İndüklenmiş temsilin tekliği ve varlığı. İzin Vermek bir alt grubun doğrusal bir temsili olabilir nın-nin Sonra doğrusal bir temsil var nın-nin tarafından indüklenen Bu temsilin izomorfizme kadar benzersiz olduğuna dikkat edin.
Tümevarımın geçişkenliği. İzin Vermek temsili olmak ve izin ver artan bir grup dizisi olabilir. O zaman bizde
Lemma. İzin Vermek neden olmak ve izin ver doğrusal bir temsili olmak Şimdi izin ver özelliği tatmin eden doğrusal bir harita olması hepsi için Sonra benzersiz bir şekilde belirlenmiş doğrusal bir harita var hangi genişler ve hangisi için herkes için geçerlidir

Bu, eğer yorumluyorsak olarak –Modül, bizde nerede hepsinin vektör uzayı –Homomorfizmler -e Aynısı için de geçerlidir

Sınıf fonksiyonları üzerinde tümevarım. Temsillerde olduğu gibi, yapabiliriz - indüksiyon - bir alt gruptaki bir sınıf işlevinden grupta bir sınıf işlevi elde edin. İzin Vermek sınıf işlevi olmak Bir fonksiyon tanımlıyoruz açık tarafından

Diyoruz dır-dir indüklenmiş tarafından ve yaz veya

Önerme. İşlev bir sınıf işlevidir Eğer ... karakter bir temsilin nın-nin sonra indüklenen temsilin karakteridir nın-nin
Lemma. Eğer bir sınıf işlevidir ve bir sınıf işlevidir o zaman bizde:
Teorem. İzin Vermek temsili olmak temsilin neden olduğu alt grubun İzin Vermek ve karşılık gelen karakterler olabilir. İzin Vermek temsili bir sistem olmak İndüklenen karakter şu şekilde verilir:

Frobenius karşılıklılığı

Önleyici bir özet olarak, Frobenius karşılıklılığından çıkarılacak ders, haritaların ve vardır bitişik birbirlerine.

İzin Vermek indirgenemez bir temsili olmak ve izin ver indirgenemez bir temsili olmak sonra Frobenius karşılıklılığı bize şunu söyler içinde bulunur sıklıkta içinde bulunur

Frobenius karşılıklılığı. Eğer ve sahibiz

Bu ifade aynı zamanda iç ürün.

Mackey'nin indirgenemezlik kriteri

George Mackey indüklenmiş temsillerin indirgenemezliğini doğrulamak için bir kriter oluşturdu. Bunun için önce gösterimle ilgili bazı tanımlamalara ve bazı özelliklere ihtiyacımız olacak.

İki temsil ve bir grubun arandı ayrık, eğer ortak bir indirgenemez bileşenleri yoksa, yani

İzin Vermek grup ol ve izin ver alt grup olun. Biz tanımlıyoruz için İzin Vermek alt grubun temsili olmak Bu, kısıtlama ile bir temsili tanımlar nın-nin Biz yazarız için Ayrıca başka bir temsil tanımlıyoruz nın-nin tarafından Bu iki temsilin karıştırılmaması gerekir.

Mackey'nin indirgenemezlik kriteri. Uyarılmış temsil indirgenemez, ancak ve ancak aşağıdaki koşullar sağlandığında:
  • indirgenemez
  • Her biri için iki temsil ve nın-nin ayrık.[6]

Durum için normal biz var ve . Böylece aşağıdakileri elde ederiz:

Sonuç. İzin Vermek normal bir alt grup olmak Sonra indirgenemez ancak ve ancak indirgenemez ve konjugatlara izomorfik değildir için

Özel gruplara başvurular

Bu bölümde, şimdiye kadar sunulan teorinin normal alt gruplara ve değişmeli normal bir alt gruba sahip bir alt grubun yarı doğrudan ürünü olan özel bir gruba bazı uygulamalarını sunuyoruz.

Önerme. İzin Vermek olmak normal alt grup Grubun ve izin ver indirgenemez bir temsili olmak O zaman aşağıdaki ifadelerden biri geçerli olmalıdır:
  • ya uygun bir alt grup var nın-nin kapsamak ve indirgenemez bir temsil nın-nin hangi indükler ,
  • veya izotipik -modül.
Kanıt. Düşünmek olarak -modül ve izotiplere ayrıştırın . Bu ayrışma önemsizse, ikinci durumdayız. Aksi takdirde, daha büyük -aksiyon bu izotipik modülleri değiştirir; Çünkü indirgenemez -modül, permütasyon eylemi geçişli (aslında ilkel ). Herhangi birini düzeltin ; stabilizatör içinde nın-nin temelde iddia edilen özellikleri sergilediği görülmektedir.

Unutmayın ki değişmeli, sonra izotipik modüller indirgenemez, birinci derece ve tüm homot türler.

Aşağıdakileri de elde ederiz

Sonuç. İzin Vermek değişmeli normal bir alt grup olmak ve izin ver herhangi bir indirgenemez temsili olmak İle ifade ediyoruz indeks nın-nin içinde Sonra [1]

Eğer değişmeli bir alt grubudur (normal olması gerekmez), genellikle memnun değil ama yine de hala geçerli.

Yarı yönlü bir ürünün temsillerinin sınıflandırılması

Aşağıda, izin ver normal yarı yönlü faktör olacak şekilde yarı yönlü bir ürün olmak, , değişmeli. Böyle bir grubun indirgenemez temsilleri indirgenemez tüm temsillerinin gösterilmesiyle sınıflandırılabilir belirli alt gruplardan oluşturulabilir . Bu, Wigner ve Mackey'in "küçük gruplarının" sözde yöntemidir.

Dan beri dır-dir değişmeli indirgenemez karakterleri birinci dereceye sahip ve grubu oluştur Grup hareketler açık tarafından için

İzin Vermek olmak temsili sistem of yörünge nın-nin içinde Her biri için İzin Vermek Bu bir alt gruptur İzin Vermek karşılık gelen alt grup olmak Şimdi işlevi genişletiyoruz üstüne tarafından için Böylece, bir sınıf işlevidir Üstelik, o zamandan beri hepsi için gösterilebilir ki bir grup homomorfizmidir -e Bu nedenle, bir temsilimiz var kendi karakterine eşit olan birinci dereceden.

Şimdi indirgenemez bir temsili olmak Sonra indirgenemez bir temsil elde ederiz nın-nin birleştirerek ile kanonik projeksiyon Son olarak, tensör ürünü nın-nin ve Böylece indirgenemez bir temsil elde ederiz nın-nin

Sonunda indirgenemez temsillerinin sınıflandırmasını elde etmek için temsili kullanıyoruz nın-nin tensör ürünü tarafından indüklenen Böylece aşağıdaki sonucu elde ederiz:

Önerme.
  • indirgenemez.
  • Eğer ve izomorfikse ve ayrıca izomorfiktir
  • Her indirgenemez temsili izomorfiktir

Önerinin ispatı için diğerlerinin yanı sıra Mackey'in kriteri ve Frobenius karşılıklılığına dayalı bir sonuca ihtiyaç vardır. Daha fazla ayrıntı bulunabilir [1].

Başka bir deyişle, tüm indirgenemez temsillerini sınıflandırdık

Temsil halkası

Temsil halkası değişmeli grup olarak tanımlanır

İle sağlanan çarpım ile tensör ürünü, bir yüzük olur. Unsurları arandı sanal temsiller.

Karakter bir halka homomorfizmi tüm sınıf işlevleri kümesinde karmaşık değerlerle

içinde indirgenemez karakterler, karşılık gelen

Bir temsil, karakteri ile belirlendiği için, dır-dir enjekte edici. Görüntüleri arandı sanal karakterler.

İndirgenemez karakterler bir ortonormal taban nın-nin bir izomorfizma neden olur

Bu izomorfizm, bir temelde tanımlanır temel tensörler tarafından sırasıyla ve genişletilmiş çift ​​doğrusal.

Biz yazarız tüm karakterlerin kümesi için ve tarafından oluşturulan grubu belirtmek için yani iki karakterin tüm farklılıklarının kümesi. Daha sonra bunu tutar ve Böylece biz var ve sanal karakterler, optimal bir şekilde sanal temsillere karşılık gelir.

Dan beri tutar, tüm sanal karakterlerin kümesidir. İki karakterin çarpımı başka bir karakter sağladığından, yüzüğün alt halkasıdır üzerindeki tüm sınıf fonksiyonlarının Çünkü temelini oluşturmak olduğu gibi elde ederiz bir izomorfizm

İzin Vermek alt grubu olmak Kısıtlama böylece bir halka homomorfizmini tanımlar hangi ile gösterilecek veya Benzer şekilde, sınıf fonksiyonları üzerindeki indüksiyon, değişmeli grupların bir homomorfizmini tanımlar. hangisi olarak yazılacak veya kısaca

Göre Frobenius karşılıklılığı, bu iki homomorfizm çift doğrusal formlara göre bitişiktir ve Ayrıca formül gösteriyor ki bir ideal yüzüğün

Temsili kısıtlama ile harita benzer şekilde tanımlanabilir ve indüksiyon ile haritayı elde ederiz için Frobenius karşılıklılığı nedeniyle, bu haritaların birbirine bitişik olduğu ve görüntünün bir ideal yüzüğün

Eğer değişmeli bir halkadır, homomorfizmler ve uzatılabilir Doğrusal haritalar:

içinde tüm indirgenemez temsilleridir izomorfizme kadar.

İle özellikle elde ederiz ki ve arasında homomorfizm sağlamak ve

İzin Vermek ve ilgili temsillere sahip iki grup olmak ve Sonra, temsilidir direkt ürün gösterildiği gibi önceki bölüm. Bu bölümün bir başka sonucu da, tüm indirgenemez temsillerinin tam olarak temsiller nerede ve indirgenemez temsilleridir ve sırasıyla. Bu, kimlik olarak temsil halkasına geçer. içinde ... tensör ürünü temsil halkalarının –Modüller.

İndüksiyon teoremleri

İndüksiyon teoremleri, belirli bir sonlu grubun temsil halkasını ilişkilendirir G bir ailenin temsil halkalarına X bazı alt kümelerden oluşan H nın-nin G. Daha kesin olarak, bu tür bir alt grup koleksiyonu için, indüksiyon functoru bir harita verir

; tümevarım teoremleri bu haritanın veya yakından ilgili olanların yüzeyselliği için kriterler verir.

Artin'in indüksiyon teoremi bu sonuç grubundaki en temel teoremdir. Aşağıdakilerin eşdeğer olduğunu iddia eder:

  • kokernel nın-nin sonludur.
  • alt grupların eşleniklerinin birleşimidir yani

Dan beri grup olarak sonlu olarak üretilirse, ilk nokta aşağıdaki gibi yeniden ifade edilebilir:

  • Her karakter için nın-nin sanal karakterler var ve bir tam sayı öyle ki

Serre (1977) bu teoremin iki ispatını verir. Örneğin, G döngüsel alt gruplarının birleşimidir, her karakter karakterlerin indüklediği rasyonel karakter katsayıları ile doğrusal bir kombinasyondur. döngüsel alt gruplar nın-nin Döngüsel grupların temsilleri iyi anlaşıldığından, özellikle indirgenemez temsiller tek boyutlu olduğundan, bu, temsilleri üzerinde belirli bir kontrol sağlar. G.

Yukarıdaki koşullar altında, genel olarak doğru değildir örten. Brauer'in indüksiyon teoremi bunu iddia ediyor örten X hepsinin ailesi temel alt gruplarBurada bir grup H dır-dir temel eğer biraz asal varsa p öyle ki H ... direkt ürün bir döngüsel grup asal ve bir -Grup Başka bir deyişle, her karakter nın-nin temel alt grupların karakterleri tarafından indüklenen karakterlerin tamsayı katsayıları ile doğrusal bir kombinasyondur. H Brauer'in teoreminde ortaya çıkan, döngüsel gruplardan daha zengin bir temsil teorisine sahiptir, en azından bu tür için indirgenemez bir temsil olma özelliğine sahiptirler. H (zorunlu olarak temel) bir alt grubun tek boyutlu bir gösterimi ile indüklenir . (Bu son mülkün herhangi bir süper çözülebilir grup, içerir üstelsıfır gruplar ve özellikle temel gruplar.) Derece 1 temsillerinden temsilleri indükleme becerisinin, sonlu grupların temsil teorisinde bazı başka sonuçları vardır.

Gerçek temsiller

Genel alt alanlara ilişkin kanıtlar ve temsiller hakkında daha fazla bilgi için bakınız [2].

Eğer bir grup gerçek bir vektör uzayında hareket eder karmaşık vektör uzayında karşılık gelen gösterim denir gerçek ( denir karmaşıklaştırma nın-nin ). Yukarıda belirtilen karşılık gelen temsil, hepsi için

İzin Vermek gerçek bir temsil olun. Doğrusal harita dır-dir herkes için değerli Böylece, gerçek bir temsilin karakterinin her zaman gerçek değerli olduğu sonucuna varabiliriz. Ancak gerçek değerli bir karaktere sahip her temsil gerçek değildir. Bunu açıklığa kavuşturmak için izin ver grubun sonlu, değişmeli olmayan bir alt grubu olmak

Sonra Üzerinde davranır Herhangi bir matrisin izinden beri gerçektir, temsilin karakteri gerçek değerlidir. Varsayalım gerçek bir temsildir, o zaman yalnızca gerçek değerli matrislerden oluşur. Böylece, Bununla birlikte, daire grubu değişmeli ancak değişmeli olmayan bir grup olarak seçildi. Şimdi sadece değişmeli olmayan, sonlu bir altgrubun varlığını kanıtlamamız gerekiyor. Böyle bir grup bulmak için şunu gözlemleyin: birimleri ile tanımlanabilir kuaterniyonlar. Şimdi izin ver Aşağıdaki iki boyutlu gösterimi gerçek değerli değildir, ancak gerçek değerli bir karaktere sahiptir:

Sonra görüntüsü gerçek değere sahip değildir, ancak yine de bir alt kümesidir Dolayısıyla, temsilin karakteri gerçektir.

Lemma. İndirgenemez bir temsil nın-nin gerçektir ancak ve ancak bir dejenere olmayan simetrik çift doğrusal form açık tarafından korunan

İndirgenemez bir temsili gerçek bir vektör uzayında, alanı genişletirken indirgenebilir hale gelebilir. Örneğin, döngüsel grubun aşağıdaki gerçek temsili, üzerinde düşünüldüğünde indirgenebilir.

Bu nedenle, gerçek olan tüm indirgenemez temsilleri sınıflandırarak indirgenemez gerçek temsillerin tamamını hala sınıflandırmadık. Ancak aşağıdakileri başardık:

İzin Vermek gerçek bir vektör uzayı olabilir. İzin Vermek indirgenemez şekilde hareket etmek ve izin ver Eğer indirgenemez değildir, tam olarak iki indirgenemez faktör vardır ve bunların karmaşık eşlenik temsilleri

Tanım. Bir kuaterniyonik temsil (karmaşık) bir temsildir sahip olan –Değişken anti-lineer homomorfizm doyurucu Böylece, bir çarpık simetrik, dejenere olmayan –İnvariant bilineer form, üzerinde kuaterniyonik bir yapı tanımlar

Teorem. İndirgenemez bir temsil aşağıdakilerden biridir ve yalnızca biridir:
(i) karmaşık: gerçek değerli değildir ve yoktur –Değişmeyen dejenere olmayan iki doğrusal form
(ii) gerçek: gerçek bir temsil; var –Değişmeyen dejenere olmayan simetrik çift doğrusal form.
(iii) kuaterniyonik: gerçek ama gerçek değil; var –Değişken çarpık simetrik dejenere olmayan çift doğrusal form.

Belirli grupların temsilleri

Simetrik gruplar

Temsili simetrik gruplar yoğun bir şekilde çalışıldı. Eşlenik sınıfları (ve bu nedenle, yukarıdakilere göre, indirgenemez temsiller) karşılık gelir bölümler nın-nin n. Örneğin, bölümlere karşılık gelen üç indirgenemez temsili vardır

3; 2+1; 1+1+1

3. Böyle bir bölüm için bir Genç tablo bir bölümü gösteren grafik bir cihazdır. Böyle bir bölüme (veya Young tablosuna) karşılık gelen indirgenemez temsil, a Specht modülü.

Farklı simetrik grupların temsilleri ilişkilidir: herhangi bir temsili bir temsilini verir tümevarım yoluyla ve tam tersi kısıtlama ile. Tüm bu temsil halkalarının doğrudan toplamı

bu yapılardan bir yapıyı miras alır Hopf cebiri hangisinin yakından ilişkili olduğu ortaya çıkıyor simetrik fonksiyonlar.

Lie tipinin sonlu grupları

Belirli bir dereceye kadar, , gibi n değişir, benzer bir tada sahiptir. ; yukarıda belirtilen indüksiyon işleminin yerini sözde parabolik indüksiyon. Ancak, aksine , tüm temsillerin önemsiz temsillerin tümevarımı ile elde edilebildiği durumlarda, bu doğru değildir . Bunun yerine, yeni yapı taşları olarak bilinen tüberkül gösterimleri, ihtiyaç vardır.

Temsilleri and more generally, representations of finite groups of Lie type have been thoroughly studied. Bonnafé (2011) describes the representations of . A geometric description of irreducible representations of such groups, including the above-mentioned cuspidal representations, is obtained by Deligne-Lusztig theory, which constructs such representation in the l-adik kohomoloji nın-nin Deligne-Lusztig varieties.

The similarity of the representation theory of ve goes beyond finite groups. philosophy of cusp forms highlights the kinship of representation theoretic aspects of these types of groups with general linear groups of local fields gibi Qp and of the ring of Adeles, görmek Bump (2004).

Outlook - Sıkıştırılmış grupların temsilleri

The theory of representations of compact groups may be, to some degree, extended to locally compact groups. The representation theory unfolds in this context great importance for harmonic analysis and the study of automorphic forms. For proofs, further information and for a more detailed insight which is beyond the scope of this chapter please consult [4] ve [5].

Tanım ve özellikler

Bir topolojik grup is a group together with a topoloji with respect to which the group composition and the inversion are sürekli.Such a group is called kompakt, if any cover of which is open in the topology, has a finite subcover. Closed subgroups of a compact group are compact again.

İzin Vermek be a compact group and let be a finite-dimensional –vector space. A linear representation of -e bir continuous group homomorphism yani is a continuous function in the two variables ve

A linear representation of içine Banach alanı is defined to be a continuous group homomorphism of into the set of all bijective bounded linear operators açık with a continuous inverse. Dan beri we can do without the last requirement. In the following, we will consider in particular representations of compact groups in Hilbert spaces.

Just as with finite groups, we can define the grup cebiri ve evrişim cebiri. However, the group algebra provides no helpful information in the case of infinite groups, because the continuity condition gets lost during the construction. Instead the convolution algebra takes its place.

Most properties of representations of finite groups can be transferred with appropriate changes to compact groups. For this we need a counterpart to the summation over a finite group:

Haar ölçüsünün varlığı ve benzersizliği

On a compact group there exists exactly one ölçü such that:

  • It is a left-translation-invariant measure
  • The whole group has unit measure:

Such a left-translation-invariant, normed measure is called Haar ölçüsü Grubun

Dan beri is compact, it is possible to show that this measure is also right-translation-invariant, i.e. it also applies

By the scaling above the Haar measure on a finite group is given by hepsi için

All the definitions to representations of finite groups that are mentioned in the section ”Properties”, also apply to representations of compact groups. But there are some modifications needed:

To define a subrepresentation we now need a closed subspace. This was not necessary for finite-dimensional representation spaces, because in this case every subspace is already closed. Furthermore, two representations of a compact group are called equivalent, if there exists a bijective, continuous, linear operator between the representation spaces whose inverse is also continuous and which satisfies hepsi için

Eğer is unitary, the two representations are called unitary equivalent.

To obtain a –invariant iç ürün from a not –invariant, we now have to use the integral over instead of the sum. Eğer is an inner product on a Hilbert uzayı which is not invariant with respect to the representation nın-nin sonra

bir –invariant inner product on due to the properties of the Haar measure Thus, we can assume every representation on a Hilbert space to be unitary.

İzin Vermek be a compact group and let İzin Vermek be the Hilbert space of the square integrable functions on We define the operator on this space by nerede

Harita üniter bir temsilidir Denir düzenli sol temsil. sağ-düzenli temsil is defined similarly. As the Haar measure of is also right-translation-invariant, the operator açık tarafından verilir Sağ düzenli temsil, daha sonra verilen üniter temsildir. İki temsil ve birbirlerine ikili.

Eğer sonsuzdur, bu temsillerin sonlu derecesi yoktur. sol ve sağ düzenli temsil Başlangıçta tanımlandığı gibi, grup yukarıda tanımlandığı gibi sol ve sağ düzenli gösterime izomorfiktir. sonludur. Bunun nedeni, bu durumda

Yapılar ve ayrışmalar

Verilenlerden yeni temsiller oluşturmanın farklı yolları, daha sonra ele alacağımız ikili temsil dışında, kompakt gruplar için de kullanılabilir. doğrudan toplam ve tensör ürünü sonlu sayıda zirve / faktör ile sonlu gruplar için olduğu gibi tam olarak aynı şekilde tanımlanır. Bu aynı zamanda simetrik ve değişen kare için de geçerlidir. Ancak, bir Haar ölçüsüne ihtiyacımız var direkt ürün İki grubun çarpımının indirgenemez temsillerinin (izomorfizme kadar) tam olarak faktör gruplarının indirgenemez gösterimlerinin tensör ürünü olduğunu söyleyerek teoremi genişletmek için kompakt gruplar. İlk olarak, doğrudan ürünün iki kompakt grup, ürün topolojisi ile sağlandığında yine kompakt bir gruptur. Doğrudan ürün üzerindeki Haar ölçümü, daha sonra faktör grupları üzerindeki Haar ölçümlerinin çarpımı ile verilir.

Kompakt gruplarda ikili gösterim için topolojik ikili vektör uzayının Bu, vektör uzayından tüm sürekli doğrusal fonksiyonallerin vektör uzayıdır. temel alana. İzin Vermek kompakt bir grubun temsili olmak içinde

İkili temsil mülkiyet tarafından tanımlanır

Böylece, ikili temsilin şu şekilde verildiği sonucuna varabiliriz: hepsi için Harita yine sürekli bir grup homomorfizmi ve dolayısıyla bir temsildir.

Hilbert uzaylarında: indirgenemez ancak ve ancak indirgenemez.

Bölümün sonuçlarını aktararak ayrışmalar kompakt gruplar için aşağıdaki teoremleri elde ederiz:

Teorem. İndirgenemez her temsil kompakt bir grubun bir Hilbert uzayı sonlu boyutludur ve bir iç ürün açık öyle ki üniterdir. Haar ölçümü normalleştirildiği için bu iç çarpım benzersizdir.

Kompakt bir grubun her temsili, bir doğrudan Hilbert toplamı indirgenemez temsiller.

İzin Vermek kompakt grubun üniter bir temsili olabilir İndirgenemez bir temsil için tanımladığımız sonlu gruplar için olduğu gibi izotip veya izotipik bileşen alt uzay olmak

Bu, tüm değişmez kapalı alt uzayların toplamıdır hangileri -İzomorfik

Eşdeğer indirgenemez temsillerin izotiplerinin çiftler halinde ortogonal olduğuna dikkat edin.

Teorem.
(ben) kapalı bir değişmez alt uzaydır
(ii) dır-dir - kopyalarının doğrudan toplamına izomorfik
(iii) Kanonik ayrışma: izotiplerin doğrudan Hilbert toplamıdır içinde indirgenemez temsillerin tüm izomorfizm sınıflarından geçer.

Kanonik ayrışmaya karşılık gelen izdüşüm içinde izotipidir tarafından verilen kompakt gruplar içindir

nerede ve indirgenemez gösterime karşılık gelen karakterdir

Projeksiyon formülü

Her temsil için kompakt bir grubun biz tanımlarız

Genel olarak değil -doğrusal. İzin Vermek

Harita olarak tanımlanır endomorfizm açık mülke sahip olarak

Hilbert uzayının iç çarpımı için geçerli olan

Sonra dır-dir –Doğrusal, çünkü

Haar ölçüsünün değişmezliğini kullandığımız yerde.

Önerme. Harita bir projeksiyon -e

Temsil sonlu boyutlu ise, sonlu gruplar durumunda olduğu gibi önemsiz alt temsilin doğrudan toplamını belirlemek mümkündür.

Karakterler, Schur'un lemması ve iç çarpımı

Genel olarak, kompakt grupların temsilleri, Hilbert ... ve Banach uzayları. Çoğu durumda sonlu boyutlu değildirler. Bu nedenle, atıfta bulunmak yararlı değildir karakterler kompakt grupların temsillerinden bahsederken. Bununla birlikte, çoğu durumda çalışmayı sonlu boyutlar durumuyla sınırlamak mümkündür:

Kompakt grupların indirgenemez gösterimleri sonlu boyutlu ve üniter olduğundan (bkz. ilk alt bölüm ), indirgenemez karakterleri sonlu gruplar için yapıldığı gibi tanımlayabiliriz.

Oluşturulan temsiller sonlu boyutlu kaldığı sürece, yeni inşa edilen temsillerin karakterleri sonlu gruplar için olduğu gibi elde edilebilir.

Schur lemması kompakt gruplar için de geçerlidir:

İzin Vermek kompakt bir grubun indirgenemez üniter bir temsili olabilir Sonra her sınırlandı Şebeke mülkü tatmin etmek hepsi için kimliğin skaler bir katıdır, yani var öyle ki

Tanım. Formül

tüm kare integrallenebilir fonksiyonlar setinde bir iç çarpımı tanımlar kompakt bir grubun Aynı şekilde

iki doğrusal bir form tanımlar kompakt bir grubun

Temsil uzayları üzerindeki çift doğrusal form, sonlu gruplar için olduğu gibi tam olarak tanımlanır ve bu nedenle, aşağıdaki sonuçlar geçerlidir:

Teorem. İzin Vermek ve iki izomorfik olmayan indirgenemez temsilin karakterleri olabilir ve sırasıyla. O zaman aşağıdakiler geçerlidir
  • yani "norm" a sahiptir
Teorem. İzin Vermek temsili olmak karakterle Varsayalım indirgenemez bir temsilidir karakterle Alt temsillerinin sayısı eşittir için verilen herhangi bir ayrıştırmadan bağımsızdır ve iç çarpıma eşittir
İndirgenemezlik Kriteri. İzin Vermek temsilin karakteri ol sonra pozitif bir tamsayıdır. Dahası ancak ve ancak indirgenemez.

Bu nedenle, ilk teoremi kullanarak, indirgenemez temsillerinin karakterleri erkek için ortonormal küme açık bu iç ürüne göre.

Sonuç. İndirgenemez her temsil nın-nin içerilir - düzenli sol gösterimde zamanlar.
Lemma. İzin Vermek kompakt bir grup olun. O zaman aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
  • değişmeli.
  • Tüm indirgenemez temsilleri derecesi var
Ortonormal Özellik. İzin Vermek grup olun. İzomorfik olmayan indirgenemez temsilleri erkek için ortonormal taban içinde bu iç ürüne göre.

İzomorfik olmayan indirgenemez temsillerin birimdik olduğunu zaten bildiğimiz için, sadece bunların ürettiklerini doğrulamamız gerekiyor. Bu, sıfır olmayan kare integrallenebilir fonksiyonun bulunmadığını kanıtlayarak yapılabilir. tüm indirgenemez karakterlere ortogonal.

Sonlu gruplar durumunda olduğu gibi, bir grubun izomorfizmine kadar indirgenemez temsillerin sayısı eşlenik sınıflarının sayısına eşittir Bununla birlikte, kompakt bir grup genel olarak sonsuz sayıda eşlenik sınıfına sahip olduğundan, bu herhangi bir yararlı bilgi sağlamaz.

Uyarılmış temsil

Eğer kapalı bir sonlu alt gruptur indeks kompakt bir grupta tanımı uyarılmış temsil sonlu gruplar için benimsenebilir.

Bununla birlikte, indüklenen temsil daha genel olarak tanımlanabilir, böylece tanım, alt grubun indeksinden bağımsız olarak geçerlidir.

Bu amaçla izin ver kapalı alt grubun üniter bir temsili olabilir Sürekli uyarılmış temsil aşağıdaki gibi tanımlanır:

İzin Vermek tüm ölçülebilir, kare integrallenebilir fonksiyonların Hilbert uzayını gösterir mülk ile hepsi için Norm tarafından verilir

ve temsil sağ çeviri olarak verilir:

İndüklenen temsil daha sonra yine üniter bir temsildir.

Dan beri kompakttır, indüklenen temsil, indirgenemez temsillerinin doğrudan toplamına ayrıştırılabilir. Aynı izotipe ait tüm indirgenemez temsillerin eşit çoklukta göründüğüne dikkat edin.

İzin Vermek temsili olmak o zaman kanonik bir izomorfizm vardır

Frobenius karşılıklılığı iç çarpım ve çift doğrusal formun değiştirilmiş tanımlarıyla birlikte kompakt gruplara aktarılır. Teorem artık kare integrallenebilir fonksiyonlar için geçerli sınıf işlevleri yerine, ancak alt grup kapatılmalıdır.

Peter-Weyl Teoremi

Kompakt grupların temsil teorisindeki bir diğer önemli sonuç Peter-Weyl Teoremidir. Genellikle şu şekilde sunulur ve kanıtlanır: harmonik analiz merkezi ve temel ifadelerinden birini temsil ettiği için.

Peter-Weyl Teoremi. İzin Vermek kompakt bir grup olun. Her indirgenemez temsil için nın-nin İzin Vermek fasulye ortonormal taban nın-nin Biz tanımlıyoruz matris katsayıları için O zaman aşağıdakilere sahibiz ortonormal taban nın-nin :

Kompakt gruplar üzerindeki fonksiyonlar için Fourier serisinin bir genellemesini elde etmek için bu teoremi yeniden formüle edebiliriz:

Peter-Weyl Teoremi (İkinci versiyon).[7] Bir doğal var -İzomorfizm
içinde indirgenemez tüm temsillerinin kümesidir izomorfizme kadar ve karşılık gelen temsil alanıdır Daha somut olarak:

Tarih

Genel özellikler temsil teorisi bir sonlu grup G, üzerinde Karışık sayılar tarafından keşfedildi Ferdinand Georg Frobenius 1900'den önceki yıllarda. modüler temsil teorisi nın-nin Richard Brauer geliştirildi.

Ayrıca bakınız

Edebiyat

  • Bonnafé, Cedric (2010). SL2 (Fq) Temsilleri. Cebir ve Uygulamalar. 13. Springer. ISBN  9780857291578.
  • Bump Daniel (2004), Lie Grupları, Matematik Yüksek Lisans Metinleri, 225, New York: Springer-Verlag, ISBN  0-387-21154-3
  • [1] Serre, Jean-Pierre (1977), Sonlu Grupların Doğrusal Gösterimleri, New York: Springer Verlag, ISBN  0-387-90190-6
  • [2] Fulton, William; Harris, Joe: Temsil Teorisi Bir İlk Ders. Springer-Verlag, New York 1991, ISBN  0-387-97527-6.
  • [3] Alperin, J.L .; Bell, Rowen B .: Gruplar ve Temsilcilikler Springer-Verlag, New York 1995, ISBN  0-387-94525-3.
  • [4] Deitmar, Anton: Automorphe Formen Springer-Verlag 2010, ISBN  978-3-642-12389-4, s. 89-93,185-189
  • [5] Echterhoff, Siegfried; Deitmar, Anton: Harmonik analizin ilkeleri Springer-Verlag 2009, ISBN  978-0-387-85468-7, s. 127-150
  • [6] Lang, Serge: Cebir Springer-Verlag, New York 2002, ISBN  0-387-95385-X, s. 663-729
  • [7] Sengupta, Ambar (2012). Sonlu grupları temsil etme: yarı basit bir giriş. New York. ISBN  9781461412311. OCLC  769756134.

Referanslar

  1. ^ (Serre 1971, s. 47)
  2. ^ (Sengupta 2012, s. 62)
  3. ^ Kanıt. Varsayalım sıfır değildir. Sonra herkes için geçerlidir Bu nedenle elde ederiz hepsi için ve Ve şimdi biliyoruz ki dır-dir – Değişmez. Dan beri indirgenemez ve sonlandırıyoruz Şimdi izin ver Bu var demektir öyle ki ve bizde var Böylece, şunu anlıyoruz ki bir –Değişmeyen alt uzay. Çünkü sıfır değildir ve indirgenemez, bizde Bu nedenle, bir izomorfizmdir ve ilk ifade kanıtlanmıştır. Temel alanımız olduğu için Biz biliyoruz ki en az bir özdeğere sahiptir İzin Vermek sonra ve bizde var hepsi için Yukarıdaki hususlara göre, bu ancak yani
  4. ^ Bazı yazarlar karakteri şu şekilde tanımlar: , ancak bu tanım bu makalede kullanılmamaktadır.
  5. ^ eylemini kullanarak G tek başına
  6. ^ Bu teoremin bir kanıtı bulunabilir [1].
  7. ^ Bu teoremin bir kanıtı ve kompakt grupların temsil teorisi ile ilgili daha fazla bilgi şurada bulunabilir: [5].